Die Blackwell-Girshick-Gleichung ist eine Gleichung in der Stochastik, mit der sich die Varianz von zufälligen Summen von Zufallsvariablen berechnen lässt.
Sie ist nach David Blackwell und Abe Girshick benannt.
Aussage Bearbeiten
Ist eine Zufallsvariable mit Werten in und sind unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, die auch von unabhängig sind, und existiert für alle und das zweite Moment, dann besitzt die durch
definierte Zufallsvariable die Varianz
Die Blackwell-Girshick-Gleichung lässt sich mit Hilfe der bedingten Varianz und der Varianzzerlegung herleiten. Sind die auch Zufallsvariablen auf , so kann die Herleitung schon elementar mittels der Kettenregel und der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion erfolgen.
Beispiel Bearbeiten
Sei Poisson-verteilt zum Erwartungswert und die Bernoulli-verteilt zum Parameter . Dann ist
Verwendung und verwandte Konzepte Bearbeiten
Die Blackwell-Girshick-Gleichung wird in der Schadensversicherungsmathematik verwendet, um die Varianz zusammengesetzter Verteilungen wie zum Beispiel der zusammengesetzten Poisson-Verteilung zu berechnen. Ähnliche Aussagen über den Erwartungswert von zusammengesetzten Verteilungen liefert die Formel von Wald.
Literatur Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.