Die zusammengesetzte Poisson Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Poisson Verteilung und spielt eine wichtige Rolle bei Poisson Prozessen und der Theorie der unendlichen Teilbarkeit Im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen ist bei der zusammengesetzten Poisson Verteilung nicht a priori festgelegt ob sie stetig oder diskret ist Sie sollte nicht mit der gemischten Poisson Verteilung verwechselt werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Erwartungswert 2 2 Varianz 2 3 Schiefe 2 4 Wolbung 2 5 Kumulanten 2 6 Momenterzeugende Funktion 2 7 Charakteristische Funktion 2 8 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion 2 9 Unendliche Teilbarkeit 3 Beziehung zu anderen Verteilungen 3 1 Beziehung zur Poisson Verteilung 3 2 Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung 4 Weblinks 5 LiteraturDefinition BearbeitenIst N displaystyle N nbsp eine Poisson verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert l displaystyle lambda nbsp und sind X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp unabhangig und identisch verteilte Zufallsvariablen so heisst die Zufallsvariable Y i 1 N X i displaystyle Y sum i 1 N X i nbsp zusammengesetzt Poisson verteilt Sind die X i displaystyle X i nbsp alle auf N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp definiert also diskret so heisst Y displaystyle Y nbsp diskret zusammengesetzt Poisson verteilt In beiden Fallen schreibt man Y C P o i m displaystyle Y sim CPoi mu nbsp wobei m displaystyle mu nbsp das Wahrscheinlichkeitsmass von X i displaystyle X i nbsp ist Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfallen geschlossen angeben aber eventuell mit dem Panjer Algorithmus approximieren Gelegentlich finden sich auch in der deutschen Literatur die Begriffe die englischen Begriffe Compound Poisson und discrete compound Poisson Eigenschaften BearbeitenErwartungswert Bearbeiten Fur den Erwartungswert gilt nach der Formel von Wald E Y l E X 1 displaystyle operatorname E Y lambda operatorname E X 1 nbsp Varianz Bearbeiten Nach der Blackwell Girshick Gleichung gilt Var Y l E X 1 2 l Var X 1 l E X 1 2 displaystyle operatorname Var Y lambda operatorname E X 1 2 lambda operatorname Var X 1 lambda operatorname E X 1 2 nbsp wenn die zweiten Momente von X i displaystyle X i nbsp existieren Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz Schiefe Bearbeiten Mittels der Kumulanten ergibt sich fur die Schiefe v Y l E X 1 3 l E X 1 2 3 2 displaystyle operatorname v Y frac lambda operatorname E X 1 3 left lambda operatorname E X 1 2 right frac 3 2 nbsp Wolbung Bearbeiten Fur den Exzess ergibt sich mittels der Kumulanten g E X 1 4 l E X 1 2 2 displaystyle gamma frac operatorname E X 1 4 lambda operatorname E X 1 2 2 nbsp Kumulanten Bearbeiten Die kumulantenerzeugende Funktion ist g X t l M X 1 t 1 displaystyle g X t lambda M X 1 t 1 nbsp wobei M X 1 t displaystyle M X 1 t nbsp die Momenterzeugende Funktion von X 1 displaystyle X 1 nbsp ist Damit gilt fur alle Kumulanten k k l E X 1 k displaystyle kappa k lambda operatorname E X 1 k nbsp Momenterzeugende Funktion Bearbeiten Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der X i displaystyle X i nbsp M Y t exp l M X 1 t 1 displaystyle M Y t exp lambda M X 1 t 1 nbsp Charakteristische Funktion Bearbeiten Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson Verteilung und der charakteristischen Funktion der X i displaystyle X i nbsp f Y t exp l f X 1 t 1 displaystyle varphi Y t exp lambda varphi X 1 t 1 nbsp Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Bearbeiten Sind die X i displaystyle X i nbsp diskret so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von N displaystyle N nbsp und von X i displaystyle X i nbsp zu m Y t exp l m X 1 t 1 displaystyle m Y t exp lambda m X 1 t 1 nbsp Unendliche Teilbarkeit Bearbeiten Eine zusammengesetzt Poisson verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar Es lasst sich zeigen dass eine Zufallsvariable auf N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp genau dann unendlich teilbar ist wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson verteilt ist Beziehung zu anderen Verteilungen BearbeitenBeziehung zur Poisson Verteilung Bearbeiten Ist X i 1 displaystyle X i 1 nbsp fast sicher so fallen Poisson Verteilung und zusammengesetzte Poisson Verteilung zusammen Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung Bearbeiten Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind handelt es sich um zusammengesetzte Poisson Verteilungen Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als p log 1 p neg displaystyle p text log 1 p text neg nbsp und r l ln 1 p log displaystyle r frac lambda ln 1 p text log nbsp Weblinks BearbeitenA V Prokhorov Poisson distribution In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zusammengesetzte Poisson Verteilung amp oldid 195988169
