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Bose Einstein Statistik Die oder auch Bose Einstein Verteilung benannt nach Satyendranath Bose 1894 1974 und Albert Eins

Bose-Einstein-Statistik

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl eines Quantenzustands der Energie  im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Besetzungszahl als Funktion der Energie
für Bosonen (Bose-Einstein-Statistik, obere Kurve)
bzw. Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik, untere Kurve),
jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur .
Das chemische Potential ist ein Parameter, der von Temperatur und Dichte abhängt;
im Bose-Fall ist es immer kleiner als die Energie und würde im Grenzfall der Bose-Einstein-Kondensation verschwinden;
im Fermi-Fall dagegen ist es positiv, bei entspricht es der Fermi-Energie.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen zweier Bosonen ( und : Ortsvariable; : Spinvariable) die Wellenfunktion bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt , während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt . Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit Bearbeiten

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

mit

  • dem chemischen Potential , welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: ;
    daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte definiert.
  • der Energienormierung . Die Wahl von hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
    • üblicherweise wird sie gewählt zu mit der Boltzmann-Konstanten ;
    • sie beträgt , wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad zu multiplizieren (: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie Bearbeiten

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur , Teilchenzahl und Volumen ) die freie Energie

ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei die Gesamtzahl aller Bosonen und die Anzahl Bosonen im Energieniveau mit , d. h. die Bosonen seien über die Energieniveaus verteilt. sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau , d. h. die Energieniveaus seien jeweils -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der Bosonen sich im -ten Energieniveau befinden und welche der Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:

Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen variiert werden, um das Minimum von zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils Bosonen auf die Plätze für alle Energieniveaus . Aus Gleichung (4) folgt damit:

Dabei gibt der Binomialkoeffizient

die Anzahl der Möglichkeiten an, dass Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das -fach entartete Energieniveau zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von Teilchen).

Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe ( für ) und ergibt sich weiter

Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie unter der Nebenbedingung , aber variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:

Darin ist der (von unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen und , da jedes genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da nur Variable von , aber nicht von mit ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach wie folgt: .

Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):


Die partielle Ableitung kann aus Gl. (6) mit berechnet werden:

Damit ergibt sich aus Gleichung (8)

Einsetzen der durch gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit und Umstellung ergibt

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential .

Literatur Bearbeiten

  • U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).

Einzelnachweise Bearbeiten

  • Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker: Thermodynamics and Statistical Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1997, ISBN 0-387-94299-8 (englisch). insbes. S. 310–313
  • Marcelo Alonso, Edward J. Finn: Fundamental University Physics, Vol. III, Quantum and Statistical Physics. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts 1968 (englisch).QRSTUV-DA-89876; insbes. Kap. 13.2, S. 519; Kap. 13.5, S. 529

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Bose Einstein Statistik oder auch Bose Einstein Verteilung benannt nach Satyendranath Bose 1894 1974 und Albert Einstein 1879 1955 ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik dort auch die Herleitung Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl n E displaystyle langle n E rangle eines Quantenzustands der Energie E displaystyle E im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur T displaystyle T fur identische Bosonen als besetzende Teilchen Besetzungszahl n displaystyle langle n rangle als Funktion der Energie E m displaystyle E mu fur Bosonen Bose Einstein Statistik obere Kurve bzw Fermionen Fermi Dirac Statistik untere Kurve jeweils im Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit und bei konstanter Temperatur T gt 0 displaystyle T gt 0 Das chemische Potential m displaystyle mu ist ein Parameter der von Temperatur und Dichte abhangt im Bose Fall ist es immer kleiner als die Energie und wurde im Grenzfall der Bose Einstein Kondensation verschwinden im Fermi Fall dagegen ist es positiv bei T 0 K displaystyle T 0 mathrm K entspricht es der Fermi Energie Analog existiert fur Fermionen die Fermi Dirac Statistik die ebenso wie die Bose Einstein Statistik im Grenzfall grosser Energie E displaystyle E in die Boltzmann Statistik ubergeht Kernpunkt der Bose Einstein Statistik ist dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen x y z m displaystyle x y z m zweier Bosonen x y displaystyle x y und z displaystyle z Ortsvariable m displaystyle m Spinvariable die Wellenfunktion ps displaystyle psi bzw der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt ps ps displaystyle psi rightarrow psi wahrend es in der Fermi Dirac Statistik sehr wohl wechselt ps ps displaystyle psi rightarrow psi Im Gegensatz zu Fermionen konnen deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein Teilchen Zustand sein also die gleichen Quantenzahlen haben Inhaltsverzeichnis 1 Bei Wechselwirkungsfreiheit 2 Herleitung aus einem Minimum der freien Energie 3 Literatur 4 Einzelnachweise 5 Siehe auch 6 WeblinksBei Wechselwirkungsfreiheit BearbeitenBei Wechselwirkungsfreiheit Bosegas ergibt sich fur Bosonen die folgende Formel n E 1 e b E m 1 displaystyle langle n E rangle frac 1 e beta E mu 1 nbsp mit dem chemischen Potential m displaystyle mu nbsp welches fur Bosonen stets kleiner als der niedrigste mogliche Energiewert ist m lt E displaystyle mu lt E nbsp daher ist die Bose Einstein Statistik nur fur Energiewerte E m gt 0 displaystyle E mu gt 0 nbsp definiert der Energienormierung b displaystyle beta nbsp Die Wahl von b displaystyle beta nbsp hangt von der verwendeten Temperaturskala ab ublicherweise wird sie gewahlt zu b 1 k B T displaystyle beta 1 k mathrm B T nbsp mit der Boltzmann Konstanten k B displaystyle k mathrm B nbsp sie betragt b 1 T displaystyle beta 1 T nbsp wenn die Temperatur in Energieeinheiten etwa Joule gemessen wird dies geschieht wenn k B displaystyle k mathrm B nbsp auch in der Definition der Entropie welche dann einheitenlos ist nicht auftaucht Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur T l displaystyle T lambda nbsp erhalt man bei Wechselwirkungsfreiheit unter der Annahme dass m displaystyle mu nbsp gegen das Energie Minimum strebt die Bose Einstein Kondensation Man beachte dass es sich bei n E displaystyle langle n E rangle nbsp um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt Benotigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus so ist obiger Ausdruck zusatzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad g i 2 s 1 displaystyle g i 2s 1 nbsp zu multiplizieren s displaystyle s nbsp Spin bei Bosonen immer ganzzahlig vgl auch Multiplizitat Herleitung aus einem Minimum der freien Energie BearbeitenAus der Bedingung dass im thermischen Gleichgewicht bei konstanter Temperatur T displaystyle T nbsp Teilchenzahl N displaystyle N nbsp und Volumen V displaystyle V nbsp die freie Energie F E T S 1 displaystyle F E TS qquad 1 nbsp ein Minimum annimmt kann die Bose Einstein Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden Es sei N displaystyle N nbsp die Gesamtzahl aller Bosonen und N i displaystyle N i nbsp die Anzahl Bosonen im Energieniveau E i displaystyle E i nbsp mit i 1 2 I displaystyle i 1 2 dots I nbsp d h die N displaystyle N nbsp Bosonen seien uber die Energieniveaus E i displaystyle E i nbsp verteilt D i displaystyle D i nbsp sei die Anzahl der moglichen Zustande im Energieniveau E i displaystyle E i nbsp d h die Energieniveaus E 1 E 2 E I displaystyle E 1 E 2 dots E I nbsp seien jeweils D 1 D 2 D I displaystyle D 1 D 2 dots D I nbsp fach entartet Fur den Makrozustand des Systems ist es unerheblich welche der N displaystyle N nbsp Bosonen sich im i displaystyle i nbsp ten Energieniveau befinden und welche der D i displaystyle D i nbsp Zustande sie darin besetzen Der Makrozustand wird daher vollstandig durch N 1 N 2 N I displaystyle N 1 N 2 dots N I nbsp bestimmt Fur eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt N i 1 I N i 2 E i 1 I N i E i 3 S k B ln W 4 displaystyle begin aligned N amp sum i 1 I N i amp qquad 2 E amp sum i 1 I N i E i amp qquad 3 S amp k rm B ln W amp qquad 4 amp end aligned nbsp Gleichung 2 gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder die konstant gehalten werden soll wahrend die einzelnen N i displaystyle N i nbsp variiert werden um das Minimum von F displaystyle F nbsp zu erreichen Gleichung 3 gibt die zur vorliegenden Verteilung gehorende Energie E displaystyle E nbsp des Systems an Gleichung 4 ist nach Ludwig Boltzmann die Entropie des Zustands des Systems Makrozustand wobei W i 1 I W i displaystyle textstyle W prod i 1 I W i nbsp die Wahrscheinlichkeit fur die Besetzungszahlen N 1 N 2 N I displaystyle N 1 N 2 dots N I nbsp angibt d h die Anzahl der moglichen Verteilungen Mikrozustande von jeweils N i displaystyle N i nbsp Bosonen auf die Platze D i displaystyle D i nbsp fur alle Energieniveaus i 1 2 I displaystyle i 1 2 dots I nbsp Aus Gleichung 4 folgt damit S k B ln i 1 I W i k B i 1 I ln W i 5 displaystyle S k rm B ln prod i 1 I W i k rm B sum i 1 I ln W i qquad 5 nbsp Dabei gibt der Binomialkoeffizient W i N i D i 1 N i N i D i 1 N i D i 1 displaystyle W i binom N i D i 1 N i frac N i D i 1 N i D i 1 nbsp die Anzahl der Moglichkeiten an dass N i displaystyle N i nbsp Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das D i displaystyle D i nbsp fach entartete Energieniveau E i displaystyle E i nbsp zu besetzen Kombination mit Wiederholung von N i displaystyle N i nbsp Teilchen Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling Reihe ln k k ln k k displaystyle ln k approx k ln k k nbsp fur k displaystyle k to infty nbsp und N i gt gt 1 D i gt gt 1 displaystyle N i gt gt 1 D i gt gt 1 nbsp ergibt sich weiter ln W i ln N i D i 1 ln N i ln D i 1 N i D i 1 ln N i D i 1 N i D i 1 N i ln N i N i D i 1 ln D i 1 D i 1 N i D i 1 ln N i D i 1 N i ln N i D i 1 ln D i 1 6 displaystyle begin aligned ln W i amp ln N i D i 1 ln N i ln D i 1 amp approx N i D i 1 ln N i D i 1 N i D i 1 N i ln N i N i D i 1 ln D i 1 D i 1 amp N i D i 1 ln N i D i 1 N i ln N i D i 1 ln D i 1 qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad 6 end aligned nbsp Um die Verteilung zu finden bei der die freie Energie F displaystyle F nbsp unter der Nebenbedingung N c o n s t displaystyle N mathrm const nbsp aber N i displaystyle N i nbsp variabel minimal wird kann die Methode der Lagrange Multiplikatoren benutzt werden F N i l N N i 0 displaystyle frac partial F partial N i lambda frac partial N partial N i 0 qquad nbsp fur i 1 2 3 I 7 displaystyle i 1 2 3 dots I qquad 7 nbsp Darin ist l displaystyle lambda nbsp der von i displaystyle i nbsp unabhangige Lagrange Multiplikator Hierbei gilt fur die partiellen Ableitungen N N i 1 displaystyle frac partial N partial N i 1 nbsp und E N i E i displaystyle frac partial E partial N i E i nbsp da jedes N i displaystyle N i nbsp genau einmal linear in der Summe von Gleichung 2 bzw 3 vorkommt Da N i displaystyle N i nbsp nur Variable von W i displaystyle W i nbsp aber nicht von W j displaystyle W j nbsp mit j i displaystyle j neq i nbsp ist vereinfacht sich die Summe von Gleichung 5 durch die partielle Ableitung nach N i displaystyle N i nbsp wie folgt S N i k B ln W i N i displaystyle frac partial S partial N i k rm B frac partial ln W i partial N i nbsp Damit ergibt sich aus Gleichung 1 und 7 l F N i E N i T S N i E i k B T ln W i N i 8 displaystyle lambda frac partial F partial N i frac partial E partial N i T frac partial S partial N i E i k rm B T frac partial ln W i partial N i qquad 8 nbsp Die partielle Ableitung ln W i N i displaystyle frac partial ln W i partial N i nbsp kann aus Gl 6 mit N i gt gt 1 displaystyle N i gt gt 1 nbsp berechnet werden ln W i N i ln N i D i 1 1 ln N i 1 ln N i D i 1 ln N i ln D i N i 1 1 N i ln D i N i 1 displaystyle begin aligned frac partial ln W i partial N i amp approx ln N i D i 1 1 ln N i 1 amp ln N i D i 1 ln N i amp ln D i N i 1 1 N i amp approx ln D i N i 1 end aligned nbsp Damit ergibt sich aus Gleichung 8 l E i k B T ln D i N i 1 displaystyle lambda E i k rm B T ln D i N i 1 nbsp Einsetzen der durch f i N i D i displaystyle f i frac N i D i nbsp gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit f i displaystyle f i nbsp und Umstellung ergibt f i 1 exp E i l k B T 1 displaystyle f i frac 1 exp frac E i lambda k rm B T 1 nbsp Dies ist die Bose Einstein Statistik Der Lagrange Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential m l displaystyle mu lambda nbsp Literatur BearbeitenU Krey A Owen Basic Theoretical Physics a Concise Overview Springer Berlin Heidelberg New York 2007 ISBN 978 3 540 36804 5 auf Englisch L D Landau E M Lifschitz Statistische Physik Verlag Harri Deutsch ehem Akademie Verlag Berlin 1987 verwendet unubliche Temperatureinheit Einzelnachweise BearbeitenWalter Greiner Ludwig Neise Horst Stocker Thermodynamics and Statistical Mechanics Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1997 ISBN 0 387 94299 8 englisch insbes S 310 313Marcelo Alonso Edward J Finn 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