In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh Verteilung nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh oder Betragsverteilung 2 Art eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhangigkeit von s displaystyle sigma Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhangig sind dann ist der Betrag Rayleigh verteilt Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Ubertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf wenn zwischen dem Sender wie einer Basisstation und dem Empfanger beispielsweise einem Mobiltelefon kein direkter Sichtkontakt besteht Der durch die Mehrwegeausbreitung uber verschiedene zufallige Reflexion und Streuungen beispielsweise an Gebaudewanden und anderen Hindernissen beeintrachtigte Ubertragungskanal lasst sich dann mit Hilfe der Rayleigh Verteilung als sogenannter Rayleigh Kanal modellieren Die Verteilung von 10 Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Ofteren durch eine Rayleigh Verteilung beschrieben wenn nicht eine zweiparametrige Weibull Verteilung gewahlt werden soll Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Momente 2 2 Erwartungswert 2 3 Varianz 2 4 Schiefe 2 5 Wolbung Kurtosis 2 6 Charakteristische Funktion 2 7 Momenterzeugende Funktion 2 8 Entropie 2 9 Modus 3 Parameterschatzung 4 Beziehungen zu anderen Verteilungen 4 1 Beziehung zur Chi Quadrat Verteilung 4 2 Beziehung zur Weibull Verteilung 4 3 Beziehung zur Rice Verteilung 4 4 Beziehung zur Exponentialverteilung 4 5 Beziehung zur Gammaverteilung 4 6 Beziehung zur Normalverteilung 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine stetige Zufallsvariable X displaystyle X nbsp heisst Rayleigh verteilt mit Parameter s gt 0 displaystyle sigma gt 0 nbsp wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f x s x s 2 e x 2 2 s 2 x 0 0 x lt 0 displaystyle f x sigma begin cases displaystyle frac x sigma 2 e frac x 2 2 sigma 2 amp x geq 0 0 amp x lt 0 end cases nbsp besitzt Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion F x 1 e x 2 2 s 2 x 0 0 x lt 0 displaystyle F x begin cases displaystyle 1 e frac x 2 2 sigma 2 amp x geq 0 0 amp x lt 0 end cases nbsp Eigenschaften BearbeitenMomente Bearbeiten Die Momente beliebiger Ordnung konnen uber folgende Formel errechnet werden m k s k 2 k 2 G 1 k 2 displaystyle mu k sigma k 2 k 2 Gamma 1 k 2 nbsp wobei G displaystyle Gamma cdot nbsp die Gammafunktion darstellt Erwartungswert Bearbeiten Der Erwartungswert ergibt sich zu E X s p 2 displaystyle operatorname E X sigma sqrt frac pi 2 nbsp Varianz Bearbeiten Die Varianz der Verteilung ist Var X 4 p 2 s 2 displaystyle operatorname Var X frac 4 pi 2 sigma 2 nbsp Somit ist das Verhaltnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant E X Var X p 2 2 4 p p 4 p 1 91 displaystyle frac operatorname E X sqrt operatorname Var X sqrt frac pi 2 sqrt frac 2 4 pi sqrt frac pi 4 pi approx 1 91 nbsp Schiefe Bearbeiten Fur die Schiefe erhalt man v X 2 p p 3 4 p 3 2 0 631 1 displaystyle operatorname v X frac 2 sqrt pi pi 3 4 pi 3 2 approx 0 6311 nbsp Wolbung Kurtosis Bearbeiten Die Wolbung ergibt sich zu b 2 X 6 p 2 24 p 16 4 p 2 0 245 1 displaystyle beta 2 X frac 6 pi 2 24 pi 16 4 pi 2 approx 0 2451 nbsp Charakteristische Funktion Bearbeiten Die charakteristische Funktion ist f t 1 s t e s 2 t 2 2 p 2 erf s t 2 i displaystyle varphi t 1 sigma te sigma 2 t 2 2 sqrt frac pi 2 left operatorname erf left frac sigma t sqrt 2 right i right nbsp wobei erf displaystyle operatorname erf cdot nbsp die komplexe Fehlerfunktion ist Momenterzeugende Funktion Bearbeiten Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch M t 1 s t e s 2 t 2 2 p 2 erf s t 2 1 displaystyle M t 1 sigma te sigma 2 t 2 2 sqrt frac pi 2 left operatorname erf left frac sigma t sqrt 2 right 1 right nbsp wobei erf displaystyle operatorname erf cdot nbsp wiederum die Fehlerfunktion ist Entropie Bearbeiten Die Entropie ausgedruckt in nats ergibt sich zu 1 ln s 2 g 2 displaystyle 1 ln left frac sigma sqrt 2 right frac gamma 2 nbsp wobei g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante bezeichnet Modus Bearbeiten Das Maximum erreicht die Rayleigh Verteilung fur x s displaystyle x sigma nbsp denn fur x 0 displaystyle x geq 0 nbsp gilt 0 d f d x x e x 2 2 s 2 s 2 x 2 e x 2 2 s 2 s 4 x s displaystyle 0 frac mathrm d f mathrm d x left x right frac e frac x 2 2 sigma 2 sigma 2 x 2 frac e frac x 2 2 sigma 2 sigma 4 quad Longleftrightarrow quad x sigma nbsp Damit ist s displaystyle sigma nbsp der Modus der Rayleigh Verteilung Im Maximum hat f displaystyle f nbsp den Wert f s 1 s e 1 2 displaystyle f left sigma right frac 1 sigma e frac 1 2 nbsp Parameterschatzung BearbeitenDie Maximum Likelihood Schatzung von s displaystyle sigma nbsp aus Messwerten x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp erfolgt uber s 1 2 n i 1 n x i 2 displaystyle sigma approx sqrt frac 1 2n sum i 1 n x i 2 nbsp Beziehungen zu anderen Verteilungen BearbeitenDie Chi Verteilung Weibull Verteilung und Rice Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh Verteilung Beziehung zur Chi Quadrat Verteilung Bearbeiten Wenn R R a y l e i g h 1 displaystyle R sim mathrm Rayleigh 1 nbsp dann ist R 2 displaystyle R 2 nbsp Chi Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden R 2 x 2 2 displaystyle R 2 sim chi 2 2 nbsp Beziehung zur Weibull Verteilung Bearbeiten R a y l e i g h s 2 W e i 1 2 s 2 2 displaystyle mathrm Rayleigh sigma 2 mathrm Wei left frac 1 2 sigma 2 2 right nbsp Beziehung zur Rice Verteilung Bearbeiten R a y l e i g h s R i c e 0 s displaystyle mathrm Rayleigh sigma mathrm Rice 0 sigma nbsp Beziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten Wenn X displaystyle X nbsp exponentialverteilt mit X E x p l displaystyle X sim mathrm Exp lambda nbsp ist dann ist Y X R a y l e i g h 1 2 l displaystyle Y sqrt X sim mathrm Rayleigh left frac 1 sqrt 2 lambda right nbsp Beziehung zur Gammaverteilung Bearbeiten Wenn R R a y l e i g h s displaystyle R sim mathrm Rayleigh sigma nbsp dann ist i 1 N R i 2 displaystyle sum i 1 N R i 2 nbsp gammaverteilt mit den Parametern N displaystyle N nbsp und 2 s 2 displaystyle 2 sigma 2 nbsp Y i 1 N R i 2 G N 2 s 2 displaystyle Y sum i 1 N R i 2 sim Gamma N 2 sigma 2 nbsp Beziehung zur Normalverteilung Bearbeiten X 2 Y 2 displaystyle sqrt X 2 Y 2 nbsp ist Rayleigh verteilt wenn X N 0 s 2 displaystyle X sim mathcal N 0 sigma 2 nbsp und Y N 0 s 2 displaystyle Y sim mathcal N 0 sigma 2 nbsp zwei stochastisch unabhangige normalverteilte Zufallsgrossen sind Literatur BearbeitenEdgar Dietrich Alfred Schulze Statistische Verfahren zur Maschinen und Prozessqualifikation 6 Auflage Carl Hanser Verlag 2009 ISBN 978 3 446 41525 6 Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rayleigh Verteilung amp oldid 227908541
