www.wikidata.de-de.nina.az

Weibull Verteilung Dichtefunktion Dichtefunktion für verschiedene Formparameter k displaystyle k Verteilungsfunktion Ver

Weibull-Verteilung

Weibull-Verteilung
Dichtefunktion
Dichtefunktion für verschiedene Formparameter
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion für verschiedene Formparameter k
Parameter — Formparameter
— inverser Skalenparameter
Träger
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz

Die Weibull-Verteilung (nach Waloddi Weibull, 1951) ist eine zweiparametrige Familie von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über der Menge der positiven reellen Zahlen. Abhängig von ihren beiden Parametern ähnelt sie einer Normalverteilung oder asymmetrischen Verteilungen wie der Exponentialverteilung. Sie wird unter anderem zur statistischen Modellierung von Windgeschwindigkeiten oder zur Beschreibung der Lebensdauer und Ausfallhäufigkeit von elektronischen Bauelementen oder (spröden) Werkstoffen herangezogen. Wenn sie als Verteilung einer zufälligen Lebensdauer verwendet wird, berücksichtigt sie, anders als eine Exponentialverteilung, die Vorgeschichte eines Objekts, sie ist gedächtnisbehaftet und berücksichtigt die Alterung eines Bauelements nicht nur mit der Zeit, sondern in Abhängigkeit von seinem Einsatz. Sie lässt sich an steigende, konstante und fallende Ausfallraten technischer Systeme anpassen. Eine besondere Bedeutung hat die Weibull-Verteilung in der Ereigniszeitanalyse.

Definition Bearbeiten

Es gibt eine zweiparametrige und eine dreiparametrige Weibull-Verteilung. In vielen Anwendungen wird die zweiparametrige Weibull-Verteilung verwendet, die hier zunächst behandelt wird. Weiter unten gibt es einen Abschnitt zur dreiparametrigen Weibull-Verteilung.

Skalenparameter Bearbeiten

Der Skalenparameter ist .

In manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten wird durch seinen Kehrwert, die charakteristische Lebensdauer , ersetzt. ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind. Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

Wird kein Skalenparameter angegeben, so ist implizit gemeint.

Formparameter Bearbeiten

Der Formparameter oder Weibull-Modul ist der Parameter .

Alternativ werden gerne die Buchstaben oder verwendet.

In der Praxis typische Werte liegen im Bereich .

Durch den Formparameter lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Überlebensfunktion und Ausfallrate Bearbeiten

Gegeben sei eine Weibull-Verteilung mit Parametern .

Die Dichtefunktion ist

Die Verteilungsfunktion ist

Die Überlebensfunktion oder Zuverlässigkeitsfunktion, ist

Die Ausfallrate ist

Abweichende Parametrisierung Bearbeiten

Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch , d. h., die Weibull-Verteilung wird definiert als Verteilung mit den Parameter und der Dichtefunktion

Diese Darstellung wird häufig in der statistischen Theorie und in Statistikprogrammen verwendet, da bei dieser Parametrisierung ein Skalenparameter ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Erwartungswert Bearbeiten

Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist

mit der Gammafunktion .

Varianz Bearbeiten

Die Varianz der Verteilung ist

Schiefe Bearbeiten

Die Schiefe der Verteilung ist

mit dem Mittelwert und der Standardabweichung .

Entropie Bearbeiten

Die Entropie der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Anwendungen Bearbeiten

Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen wie beispielsweise technischen Komponenten lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine „Badewannen-Kurve“ ergibt. Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab:

  • Frühausfälle mit , beispielsweise in der Einlaufphase („Kinderkrankheiten“).
  • Zufällige Ausfälle mit in der Betriebsphase
  • Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit

In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie allerdings als Rosin-Rammler-Verteilung oder Rosin-Rammler-Sperling-Bennet-Verteilung (kurz RRSB-Verteilung) bezeichnet.

Für gehört die Verteilung zu den Verteilungen mit schweren Rändern, deren Dichte langsamer als exponentiell abfällt.

Weibullnetz Bearbeiten

Weibullnetz

Trägt man die Verteilung in der Form

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

Hierbei bezeichnet den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert , so geht die Kurve in eine Gerade über.

Windgeschwindigkeit Bearbeiten

Windgeschwindigkeitshäufigkeiten.

Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten (grün). Ein Gauß-Fit (blau) nähert sich den Zahlen nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibull-Verteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den Fitparametern und folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.

Dreiparametrige Weibull-Verteilung Bearbeiten

Es gibt eine dreiparametrige Weibull-Verteilung die durch Erweiterung der zweiparametrigen Weibull-Verteilung mit einem zusätzlichen Verschiebungsparameter erfolgt, der aus statistischer Sicht ein Lageparameter ist.

Definition Bearbeiten

Eine Zufallsvariable heißt dreiparametrig Weibull-verteilt mit dem zusätzlichen Lageparameter , falls die Zufallsvariable (zweiparametrig) Weibull-verteilt ist.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Eine dreiparametrig Weibull-verteilte Zufallsvariable mit den Parametern , und dem Lageparameter hat die Dichtefunktion
und die Verteilungsfunktion
  • Für jeden fixierten Parameter bildet die zweiparametrige Familie der Dichtefunktionen eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter und dem Skalenparamater .
  • Wenn die Zufallsvariable eine zweiparametrige Weibull-Verteilung mit den Parametern und hat, dann hat die Zufallsvariable eine dreiparametrige Weibull-Verteilung mit den Parametern , und . Damit ergibt sich unmittelbar
und
Die dreiparametrig Weibull-verteilte Zufallsvariable hat also einen um den Wert verschobenen Erwartungswert im Vergleich zur zweiparametrig Weibull-verteilten Zufallsvariable , aber dieselbe Varianz.

Gespiegelte Weibull-Verteilung Bearbeiten

Die Zufallsvariable sei Weibull-verteilt. Dann hat die Zufallsvariable eine gespiegelte Weibull-Verteilung (engl.: reverse-Weibull distribution). Es gilt und . Wenn die Verteilungsfunktion von bezeichnet, dann hat die Variable die Verteilungsfunktion

da

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, da eine stetige Zufallsvariable ist.

Die Familie der Verteilungsfunktionen

gespiegelter Weibull-Verteilungen tritt in der Extremwerttheorie als Verteilungstyp möglicherer Extremwertverteilungen bei der Untersuchung der Maxima unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen auf. Die zugehörigen Verteilungen werden als Extremwertverteilungen vom Typ III oder als Extremwertverteilungen vom Weibull-Typ bezeichnet. Irritierend kann sein, dass manche Autoren gespiegelte Weibull-Verteilungen als Weibull-Verteilungen bezeichnen.

Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten

Beziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten

  • Man sieht, dass der Fall die Exponentialverteilung ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate . Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender () oder fallender () Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
  • Ist der Parameter , dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
  • Besitzt eine Exponentialverteilung mit Parameter , dann besitzt die Zufallsvariable eine Weibull-Verteilung . Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von :
    .
    Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte Exponentialfunktion Bearbeiten

Die Funktion

wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
  • Horst Rinne: The Weibull Distribution – A Handbook. CRC Press, Boca Raton 2008, ISBN 978-1-4200-8744-4, doi:10.1201/9781420087444.
  • Horst Rinne: Zur Genesis der Weibull-Verteilung. In: Horst Rinne, Bernhard Rüger, Heinrich Strecker (Hrsg.): Grundlagen der Statistik und ihre Anwendungen – Festschrift für Kurt Weichselberger. Physica-Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3-7908-0872-5, S. 76–86.
  • Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung. Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
  • Holger Wilker: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte. BoD, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-6241-5.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Weibull-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Quellen Bearbeiten

  1. Waloddi Weibull: A statistical distribution function of wide applicability. In: Journal of Applied Mechanics. Band 18, Nr. 3, 1951, S. 293–297, doi:10.1115/1.4010337.
  2. Thomas Cloodt: Zuverlässigkeit und Lebensdauer. In: https://www.cloodt.de/pdf_archiv/1lebensd.pdf. Clodt Verlag, 2014, abgerufen am 28. Juni 2021.
  3. Ayse Kizilersu, Markus Kreer, Anthony W. Thomas: The Weibull distribution. In: Significance. 15. Jahrgang, Nr. 2, 2018, S. 10–11, doi:10.1111/j.1740-9713.2018.01123.x.
  4. Siehe auch: en:Exponentiated Weibull distribution
  5. Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. 3. Auflage. VDA, Frankfurt a. M. 2000, ISSN 0943-9412, Abschnitt 2.4.3. (Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie 3)
  6. Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, 3.9.5 Weibull-Verteilung, S. 295–298.
  7. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Weibull-Verteilung, S. 493–494.
  8. ↑ Laurens de Haan, Ana Ferreira: Extrem Value Theory. An Introduction. Springer, New York 2006, ISBN 978-1-4419-2020-1, S. 10, doi:10.1007/0-387-34471-3.
  9. Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 33). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-60931-8, S. 152, 154, doi:10.1007/978-3-642-33483-2.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Weibull VerteilungDichtefunktion Dichtefunktion fur verschiedene Formparameter k displaystyle k Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion F x displaystyle F x fur verschiedene Formparameter kParameter k gt 0 displaystyle k gt 0 Formparameterl gt 0 displaystyle lambda gt 0 inverser SkalenparameterTrager x R x 0 displaystyle x in mathbb R colon x geq 0 Dichtefunktion f x l k l x k 1 e l x k x gt 0 displaystyle f x lambda k lambda x k 1 mathrm e lambda x k x gt 0 Verteilungsfunktion F x 1 e l x k x 0 displaystyle F x 1 mathrm e lambda x k x geq 0 Erwartungswert l 1 G 1 1 k displaystyle lambda 1 Gamma 1 1 k Varianz l 2 G 1 2 k G 2 1 1 k displaystyle lambda 2 Gamma 1 2 k Gamma 2 1 1 k Die Weibull Verteilung nach Waloddi Weibull 1951 1 ist eine zweiparametrige Familie von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen uber der Menge der positiven reellen Zahlen Abhangig von ihren beiden Parametern ahnelt sie einer Normalverteilung oder asymmetrischen Verteilungen wie der Exponentialverteilung Sie wird unter anderem zur statistischen Modellierung von Windgeschwindigkeiten oder zur Beschreibung der Lebensdauer und Ausfallhaufigkeit von elektronischen Bauelementen oder sproden Werkstoffen herangezogen Wenn sie als Verteilung einer zufalligen Lebensdauer verwendet wird berucksichtigt sie anders als eine Exponentialverteilung die Vorgeschichte eines Objekts sie ist gedachtnisbehaftet und berucksichtigt die Alterung eines Bauelements nicht nur mit der Zeit sondern in Abhangigkeit von seinem Einsatz Sie lasst sich an steigende konstante und fallende Ausfallraten technischer Systeme anpassen Eine besondere Bedeutung hat die Weibull Verteilung in der Ereigniszeitanalyse Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Skalenparameter 1 2 Formparameter 1 3 Dichtefunktion Verteilungsfunktion Uberlebensfunktion und Ausfallrate 1 4 Abweichende Parametrisierung 2 Eigenschaften 2 1 Erwartungswert 2 2 Varianz 2 3 Schiefe 2 4 Entropie 3 Anwendungen 3 1 Weibullnetz 3 2 Windgeschwindigkeit 4 Dreiparametrige Weibull Verteilung 4 1 Definition 4 2 Eigenschaften 5 Gespiegelte Weibull Verteilung 6 Beziehung zu anderen Verteilungen 6 1 Beziehung zur Exponentialverteilung 6 2 Gestreckte Exponentialfunktion 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 QuellenDefinition BearbeitenEs gibt eine zweiparametrige und eine dreiparametrige Weibull Verteilung In vielen Anwendungen wird die zweiparametrige Weibull Verteilung verwendet die hier zunachst behandelt wird Weiter unten gibt es einen Abschnitt zur dreiparametrigen Weibull Verteilung Skalenparameter Bearbeiten Der Skalenparameter ist 1 l gt 0 displaystyle tfrac 1 lambda gt 0 nbsp In manchen Anwendungen insbesondere bei Zeitabhangigkeiten wird l displaystyle lambda nbsp durch seinen Kehrwert die charakteristische Lebensdauer T displaystyle T nbsp ersetzt T displaystyle T nbsp ist bei Lebensdauer Analysen jene Zeitspanne nach der ca 63 2 der Einheiten ausgefallen sind 2 Dieser Wert ist eine Kenngrosse der Weibull Verteilung T l 1 displaystyle T cdot lambda 1 nbsp Wird kein Skalenparameter angegeben so ist implizit l 1 displaystyle lambda 1 nbsp gemeint Formparameter Bearbeiten Der Formparameter oder Weibull Modul ist der Parameter k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp Alternativ werden gerne die Buchstaben b displaystyle b nbsp oder b displaystyle beta nbsp verwendet In der Praxis typische Werte liegen im Bereich 0 25 k 5 displaystyle 0 25 leq k leq 5 nbsp Durch den Formparameter k displaystyle k nbsp lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren Fur k 1 displaystyle k 1 nbsp ergibt sich die Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate Fur k 2 displaystyle k 2 nbsp ergibt sich die Rayleigh Verteilung Fur k 3 602 displaystyle k approx 3 602 nbsp ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender Schiefe ahnlich der Normalverteilung Dichtefunktion Verteilungsfunktion Uberlebensfunktion und Ausfallrate Bearbeiten Gegeben sei eine Weibull Verteilung 3 mit Parametern l k gt 0 displaystyle lambda k gt 0 nbsp Die Dichtefunktion ist f x l k l x k 1 e l x k fur x gt 0 0 sonst displaystyle f x begin cases lambda cdot k cdot lambda cdot x k 1 mathrm e lambda cdot x k amp text fur x gt 0 0 amp text sonst end cases nbsp Die Verteilungsfunktion ist F x 1 e l x k fur x 0 0 sonst displaystyle F x begin cases 1 mathrm e lambda cdot x k amp text fur x geq 0 0 amp text sonst end cases nbsp Die Uberlebensfunktion oder Zuverlassigkeitsfunktion ist R x 1 F x e l x k fur x 0 1 sonst displaystyle R x 1 F x begin cases mathrm e lambda cdot x k amp text fur x geq 0 1 amp text sonst end cases nbsp Die Ausfallrate ist h x f x R x l k l x k 1 fur x 0 0 sonst displaystyle h x frac f x R x begin cases lambda cdot k cdot lambda cdot x k 1 amp text fur x geq 0 0 amp text sonst end cases nbsp Abweichende Parametrisierung Bearbeiten Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch T 1 l displaystyle T frac 1 lambda nbsp d h die Weibull Verteilung wird definiert als Verteilung mit den Parameter T k gt 0 displaystyle T k gt 0 nbsp und der Dichtefunktion f k T x k T x T k 1 e x T k fur x gt 0 0 sonst displaystyle f k T x begin cases frac k T cdot left frac x T right k 1 cdot mathrm e left x T right k amp text fur x gt 0 0 amp text sonst end cases nbsp Diese Darstellung wird haufig in der statistischen Theorie und in Statistikprogrammen verwendet da bei dieser Parametrisierung T displaystyle T nbsp ein Skalenparameter ist Eigenschaften BearbeitenErwartungswert Bearbeiten Der Erwartungswert der Weibull Verteilung ist E X 1 l G 1 1 k displaystyle operatorname E X frac 1 lambda cdot Gamma left 1 frac 1 k right nbsp mit der Gammafunktion G displaystyle Gamma nbsp Varianz Bearbeiten Die Varianz der Verteilung ist Var X 1 l 2 G 1 2 k G 2 1 1 k displaystyle operatorname Var X frac 1 lambda 2 left Gamma left 1 frac 2 k right Gamma 2 left 1 frac 1 k right right nbsp Schiefe Bearbeiten Die Schiefe der Verteilung ist v X G 1 3 k l 3 3 m s 2 m 3 s 3 displaystyle operatorname v X frac Gamma 1 3 k lambda 3 3 mu sigma 2 mu 3 sigma 3 nbsp mit dem Mittelwert m E X displaystyle mu operatorname E X nbsp und der Standardabweichung s Var X displaystyle sigma sqrt operatorname Var X nbsp Entropie Bearbeiten Die Entropie der Weibull Verteilung ausgedruckt in nats betragt k 1 g k ln l k 1 displaystyle frac k 1 gamma k ln lambda k 1 nbsp wobei g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante bezeichnet Anwendungen BearbeitenBei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen wie beispielsweise technischen Komponenten lassen sich diese mit drei Weibull Verteilungen so abbilden dass sich eine Badewannen Kurve ergibt 4 Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab 5 Fruhausfalle mit k lt 1 displaystyle k lt 1 nbsp beispielsweise in der Einlaufphase Kinderkrankheiten Zufallige Ausfalle mit k 1 displaystyle k 1 nbsp in der Betriebsphase Ermudungs und Verschleissausfalle am Ende der Produktlebensdauer mit k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrossenverteilung Hier wird sie allerdings als Rosin Rammler Verteilung oder Rosin Rammler Sperling Bennet Verteilung kurz RRSB Verteilung bezeichnet Fur k lt 1 displaystyle k lt 1 nbsp gehort die Verteilung zu den Verteilungen mit schweren Randern deren Dichte langsamer als exponentiell abfallt Weibullnetz Bearbeiten nbsp WeibullnetzTragt man die Verteilung in der Form ln ln 1 1 F x k ln x k ln T displaystyle ln left ln frac 1 1 F x right k cdot ln x k cdot ln T nbsp in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird ergibt sich eine Gerade bei der man den Parameter k displaystyle k nbsp leicht als Steigung ablesen kann Die charakteristische Lebensdauer T displaystyle T nbsp kann dann folgendermassen bestimmt werden T e a k displaystyle T mathrm e left displaystyle frac a k right nbsp Hierbei bezeichnet a displaystyle a nbsp den y Achsenabschnitt Oft kommt es vor dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfanglichen Betriebszeit t 0 displaystyle t 0 nbsp Ausfalle eintreten beispielsweise infolge des Verschleiss von Bremsbelagen Dies kann in der Weibull Verteilungsfunktion berucksichtigt werden Sie hat dann folgendes Aussehen F t 1 e t t 0 T t 0 k displaystyle F t 1 mathrm e left displaystyle frac t t 0 T t 0 right displaystyle k nbsp Tragt man die Funktion wieder auf ergibt sich keine Gerade sondern eine nach oben konvexe Kurve Verschiebt man alle Punkte um den Wert t 0 displaystyle t 0 nbsp so geht die Kurve in eine Gerade uber Windgeschwindigkeit Bearbeiten nbsp Windgeschwindigkeitshaufigkeiten Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten grun Ein Gauss Fit blau nahert sich den Zahlen nur ungenugend Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten noch ist die Verteilung symmetrisch Eine Weibull Verteilung fuhrt einen zweiten freien Parameter ein Durch sie wird die Verteilung fur grosse und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert ebenso die Werte um das Maximum Aus den Fitparametern l 1 5 1 0 194 displaystyle lambda 1 5 1 0 194 nbsp und k 2 00 displaystyle k 2 00 nbsp folgt ein Erwartungswert von 4 5 m s in guter Ubereinstimmung mit dem Wert von 4 6 m s bestimmt aus den Messwerten Dreiparametrige Weibull Verteilung BearbeitenEs gibt eine dreiparametrige Weibull Verteilung 6 7 die durch Erweiterung der zweiparametrigen Weibull Verteilung mit einem zusatzlichen Verschiebungsparameter erfolgt der aus statistischer Sicht ein Lageparameter ist Definition Bearbeiten Eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp heisst dreiparametrig Weibull verteilt mit dem zusatzlichen Lageparameter c R displaystyle c in mathbb R nbsp falls die Zufallsvariable X c displaystyle X c nbsp zweiparametrig Weibull verteilt ist Eigenschaften Bearbeiten Eine dreiparametrig Weibull verteilte Zufallsvariable X displaystyle X nbsp mit den Parametern T 1 l gt 0 displaystyle T frac 1 lambda gt 0 nbsp k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp und dem Lageparameter c R displaystyle c in mathbb R nbsp hat die Dichtefunktionf k T c x 0 fur x c k T x c T k 1 e x c T k fur x gt c displaystyle f k T c x begin cases 0 amp text fur x leq c frac k T cdot left frac x c T right k 1 cdot mathrm e left frac x c T right k amp text fur x gt c end cases nbsp dd und die VerteilungsfunktionF k T c x 1 exp x c T k fur x 0 0 sonst displaystyle F k T c x begin cases 1 exp frac x c T k amp text fur x geq 0 0 amp text sonst end cases nbsp dd Fur jeden fixierten Parameter k displaystyle k nbsp bildet die zweiparametrige Familie der Dichtefunktionen f k T c T gt 0 c R displaystyle left f k T c right T gt 0 c in mathbb R nbsp eine Lage Skalen Familie mit dem Lageparameter c displaystyle c nbsp und dem Skalenparamater T displaystyle T nbsp Wenn die Zufallsvariable X displaystyle X nbsp eine zweiparametrige Weibull Verteilung mit den Parametern k displaystyle k nbsp und T displaystyle T nbsp hat dann hat die Zufallsvariable X X c displaystyle X X c nbsp eine dreiparametrige Weibull Verteilung mit den Parametern k displaystyle k nbsp T displaystyle T nbsp und c displaystyle c nbsp Damit ergibt sich unmittelbarE X c E X displaystyle operatorname E X c operatorname E X nbsp dd undVar X Var X displaystyle operatorname Var X operatorname Var X nbsp dd Die dreiparametrig Weibull verteilte Zufallsvariable X displaystyle X nbsp hat also einen um den Wert c displaystyle c nbsp verschobenen Erwartungswert im Vergleich zur zweiparametrig Weibull verteilten Zufallsvariable X displaystyle X nbsp aber dieselbe Varianz Gespiegelte Weibull Verteilung BearbeitenDie Zufallsvariable X displaystyle X nbsp sei Weibull verteilt Dann hat die Zufallsvariable Y X displaystyle Y X nbsp eine gespiegelte Weibull Verteilung engl reverse Weibull distribution 8 Es gilt P X gt 0 1 displaystyle P X gt 0 1 nbsp und P Y lt 0 1 displaystyle P Y lt 0 1 nbsp Wenn F X displaystyle F X nbsp die Verteilungsfunktion von X displaystyle X nbsp bezeichnet dann hat die Variable Y displaystyle Y nbsp die Verteilungsfunktion F Y t 1 F X t t R displaystyle F Y t 1 F X t t in mathbb R nbsp da F Y t P Y t P X t P X t 1 P X lt t 1 P X t 1 F X t displaystyle F Y t P Y leq t P X leq t P X geq t 1 P X lt t 1 P X leq t 1 F X t nbsp wobei das vorletzte Gleichheitszeichen gilt da X displaystyle X nbsp eine stetige Zufallsvariable ist Die Familie der Verteilungsfunktionen PS a x exp x a fur x 0 1 fur x gt 0 a gt 0 displaystyle Psi alpha x begin cases exp x alpha amp text fur x leq 0 1 amp text fur x gt 0 end cases quad alpha gt 0 nbsp gespiegelter Weibull Verteilungen tritt in der Extremwerttheorie als Verteilungstyp moglicherer Extremwertverteilungen bei der Untersuchung der Maxima unabhangig und identisch verteilter Zufallsvariablen auf 8 Die zugehorigen Verteilungen werden als Extremwertverteilungen vom Typ III oder als Extremwertverteilungen vom Weibull Typ bezeichnet Irritierend kann sein dass manche Autoren gespiegelte Weibull Verteilungen als Weibull Verteilungen bezeichnen 9 Beziehung zu anderen Verteilungen BearbeitenBeziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten Man sieht dass der Fall k 1 displaystyle k 1 nbsp die Exponentialverteilung Exp l displaystyle operatorname Exp lambda nbsp ergibt Mit anderen Worten Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate l displaystyle lambda nbsp Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp oder fallender k lt 1 displaystyle k lt 1 nbsp Ausfallrate dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull Verteilung uber Ist der Parameter k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate also ein alterndes System beschrieben Besitzt X displaystyle X nbsp eine Exponentialverteilung Exp l displaystyle operatorname Exp lambda nbsp mit Parameter l displaystyle lambda nbsp dann besitzt die Zufallsvariable Y X 1 k k gt 0 displaystyle Y X 1 k k gt 0 nbsp eine Weibull Verteilung Wei l 1 k k displaystyle operatorname Wei lambda 1 k k nbsp Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von Y displaystyle Y nbsp F Y y P Y y P X 1 k y P X y k 1 e l y k 1 e l 1 k y k y gt 0 displaystyle F Y y P Y leq y P X 1 k leq y P X leq y k 1 e lambda cdot y k 1 e lambda 1 k cdot y k y gt 0 nbsp Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull Verteilung Gestreckte Exponentialfunktion Bearbeiten Die Funktion 1 F x e l x k displaystyle 1 F x mathrm e lambda cdot x k nbsp wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet Siehe auch BearbeitenMortalitat ExtremwerttheorieLiteratur BearbeitenBernard W Lindgren Statistical Theory Chapman amp Hall New York u a 1993 ISBN 0 412 04181 2 Marek Fisz Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1970 Joachim Hartung Barbel Elpelt Karl Heinz Klosener Statistik Oldenbourg Munchen 2002 ISBN 3 486 25905 9 Horst Rinne The Weibull Distribution A Handbook CRC Press Boca Raton 2008 ISBN 978 1 4200 8744 4 doi 10 1201 9781420087444 Horst Rinne Zur Genesis der Weibull Verteilung In Horst Rinne Bernhard Ruger Heinrich Strecker Hrsg Grundlagen der Statistik und ihre Anwendungen Festschrift fur Kurt Weichselberger Physica Verlag Heidelberg 1995 ISBN 3 7908 0872 5 S 76 86 Horst Rinne Hans Joachim Mittag Statistische Methoden der Qualitatssicherung Hanser Munchen Wien 2002 ISBN 3 446 15503 1 Holger Wilker Weibull Statistik in der Praxis Leitfaden zur Zuverlassigkeitsermittlung technischer Produkte BoD Norderstedt 2010 ISBN 978 3 8391 6241 5 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Weibull Verteilung Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Grundlagen der Weibull Verteilung Youtube Weibull Verteilung in der Zuverlassigkeitsanalyse Weibull Verteilung und deren Anwendung bei KeramikenQuellen Bearbeiten Waloddi Weibull A statistical distribution function of wide applicability In Journal of Applied Mechanics Band 18 Nr 3 1951 S 293 297 doi 10 1115 1 4010337 Thomas Cloodt Zuverlassigkeit und Lebensdauer In https www cloodt de pdf archiv 1lebensd pdf Clodt Verlag 2014 abgerufen am 28 Juni 2021 Ayse Kizilersu Markus Kreer Anthony W Thomas The Weibull distribution In Significance 15 Jahrgang Nr 2 2018 S 10 11 doi 10 1111 j 1740 9713 2018 01123 x Siehe auch en Exponentiated Weibull distribution Zuverlassigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten 3 Auflage VDA Frankfurt a M 2000 ISSN 0943 9412 Abschnitt 2 4 3 Qualitatsmanagement in der Automobilindustrie 3 Horst Rinne Taschenbuch der Statistik 4 Auflage Harri Deutsch Frankfurt am Main 2008 ISBN 978 3 8171 1827 4 3 9 5 Weibull Verteilung S 295 298 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Weibull Verteilung S 493 494 a b Laurens de Haan Ana Ferreira Extrem Value Theory An Introduction Springer New York 2006 ISBN 978 1 4419 2020 1 S 10 doi 10 1007 0 387 34471 3 Paul Embrechts Thomas Mikosch Claudia Kluppelberg Modelling extremal events Stochastic Modelling and Applied Probability Band 33 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1997 ISBN 3 540 60931 8 S 152 154 doi 10 1007 978 3 642 33483 2 Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Normdaten Sachbegriff GND 4065029 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weibull Verteilung amp oldid 237695337