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Extremwerttheorie Die englisch extreme value theory ist ein Teilgebiet der mathematischen Statistik das sich mit maximal

Extremwerttheorie

Die Extremwerttheorie (englisch extreme value theory) ist ein Teilgebiet der mathematischen Statistik, das sich mit maximalen und minimalen Werten von Stichproben beschäftigt.

Ein zentrales Resultat ist die Tatsache, dass für das Maximum (und das Minimum) einer Stichprobe (egal welcher Verteilung) nur drei Typen von Grenzverteilungen möglich sind, welche sich in einer so genannten verallgemeinerten Extremwertverteilung zusammenfassen lassen. Max-stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall.

Definitionen Bearbeiten

Es seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in den reellen Zahlen und ihr Maximum. Ferner bezeichne die Verteilungsfunktion von , und sei eine nicht-ausgeartete Verteilungsfunktion – also keine Funktion, die nur die Werte Null oder Eins annehmen kann. Falls dann Folgen existieren, so dass die Konvergenz gilt, so kann nur eine der folgenden Verteilungen sein (Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko), je nachdem, ob die Ausläufer der Verteilung exponentiell abfallen, polynomiell abfallen oder an einer Stelle den Wert Null erreichen:

Diese drei Verteilungen können auch zu einer einzigen Klasse (Jenkinson-von-Mises-Darstellung) parametrisiert werden. Die (oder eine) verallgemeinerte Verteilung heißt Extremwertverteilung. Als Parameter werden oft und verwendet, wobei eine Typ-III-Verteilung beschreibt und eine Typ-II-Verteilung.

Anwendungen Bearbeiten

Sie findet unter anderem Anwendung in der Finanzmathematik und Versicherungsmathematik. Die Theorie wurde u. a. angewendet für die Untersuchung der Rekordentwicklung in der Leichtathletik und von Klimarekorden.

Typische Fragestellungen könnten unter anderem sein:

  • Wie hoch soll ein Staudamm gebaut werden, wenn man sichergehen möchte, dass er in den nächsten 100 Jahren nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschwemmt wird?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Börsencrashs im kommenden Jahr, der zu einem Kursverfall von mehr als 15 % führt?

Nicht-Normalverteilungen mit „Fat tails“ Bearbeiten

Für solche sehr seltene Ereignisse, also z. B. sehr hohe wirtschaftliche Gewinne oder Verluste, sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie der extremen Ereignisse unter Umständen nicht mehr die gewohnten Normalverteilungen (oder Überlagerungen davon) charakteristisch, die sich wie Gaußfunktionen verhalten, also wie „Standard-Glockenkurven“ der Breite , genauer: wie , die also im Randbereich rascher als exponentiell abfallen. Stattdessen dominieren Verteilungsfunktionen, die im Zentralbereich wie Gaußfunktionen aussehen, aber im Randbereich nur algebraisch klein werden, , mit einem charakteristischen „fat tail“-Exponenten, der in der physikalischen Literatur mit bezeichnet wird und bestimmte „universelle“ Werte annehmen kann.

Literatur Bearbeiten

  • Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg, Thomas Mikosch: Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8.
  • Emil Julius Gumbel: Statistics of extremes. Columbia University Press, New York 1958, ISBN 978-0-231-92958-5.
  • Laurens de Haan, Ana Ferreira: Extreme Value Theory. An Introduction. Springer, New York 2006, ISBN 978-1-4419-2020-1.
  • Rolf-Dieter Reiss, Michael Thomas: Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology an Other Fields. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-7230-9.
  • Sidney I. Resnick: Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-75952-4.

Weblinks Bearbeiten

  • Advanced Extremal Models for Operational Risk (PDF; 112 kB)
  • Wenn es um Kopf und Kragen geht: Extremwerttheorie (PDF; 271 kB)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Daniel Gembris: Entwicklung von Rekorden in der Leichtathletik. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 8, 2008, S. 14–16. (spektrum.de)
  2. Gregor Wergen, Joachim Krug, Stefan Rahmstorf: Klimarekorde. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 2, 2014, S. 80–87. (spektrum.de)
  3. Rosario N. Mantegna, H. Eugene Stanley: An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-62008-2. ( (Memento vom 10. April 2016 im Internet Archive))
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Veröffentlichungsdatum:
Die Extremwerttheorie englisch extreme value theory ist ein Teilgebiet der mathematischen Statistik das sich mit maximalen und minimalen Werten von Stichproben beschaftigt Ein zentrales Resultat ist die Tatsache dass fur das Maximum und das Minimum einer Stichprobe egal welcher Verteilung nur drei Typen von Grenzverteilungen moglich sind welche sich in einer so genannten verallgemeinerten Extremwertverteilung zusammenfassen lassen Max stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Anwendungen 2 1 Nicht Normalverteilungen mit Fat tails 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEs seien X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp unabhangig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in den reellen Zahlen und M n max 1 i n X i displaystyle M n max 1 leq i leq n X i nbsp ihr Maximum Ferner bezeichne F x P M n x displaystyle F x P M n leq x nbsp die Verteilungsfunktion von M n displaystyle M n nbsp und sei G displaystyle G nbsp eine nicht ausgeartete Verteilungsfunktion also keine Funktion die nur die Werte Null oder Eins annehmen kann Falls dann Folgen a n b n displaystyle a n b n nbsp existieren so dass die Konvergenz F b n a n x G x displaystyle F b n a n x rightarrow G x nbsp gilt so kann G displaystyle G nbsp nur eine der folgenden Verteilungen sein Satz von Fisher Tippett Gnedenko je nachdem ob die Auslaufer der Verteilung exponentiell abfallen polynomiell abfallen oder an einer Stelle den Wert Null erreichen Gumbel Typ Typ I Genauer Wenn die Variable X displaystyle X nbsp eine Gumbel Verteilung hat so hat log X displaystyle log X nbsp eine Extremwertverteilung vom Typ I Frechet Typ Typ II Genauer Wenn die Variable X displaystyle X nbsp eine Frechet Verteilung hat so hat 1 X displaystyle 1 X nbsp eine Extremwertverteilung vom Typ II Weibull Typ Typ III Genauer Wenn die Variable X displaystyle X nbsp eine Weibull Verteilung hat so hat X displaystyle X nbsp eine Extremwertverteilung vom Typ III Diese drei Verteilungen konnen auch zu einer einzigen Klasse Jenkinson von Mises Darstellung parametrisiert werden Die oder eine verallgemeinerte Verteilung heisst Extremwertverteilung Als Parameter werden oft K s displaystyle K sigma nbsp und m displaystyle mu nbsp verwendet wobei K lt 0 displaystyle K lt 0 nbsp eine Typ III Verteilung beschreibt und K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp eine Typ II Verteilung Anwendungen BearbeitenSie findet unter anderem Anwendung in der Finanzmathematik und Versicherungsmathematik Die Theorie wurde u a angewendet fur die Untersuchung der Rekordentwicklung in der Leichtathletik 1 und von Klimarekorden 2 Typische Fragestellungen konnten unter anderem sein Wie hoch soll ein Staudamm gebaut werden wenn man sichergehen mochte dass er in den nachsten 100 Jahren nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 uberschwemmt wird Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Borsencrashs im kommenden Jahr der zu einem Kursverfall von mehr als 15 fuhrt Nicht Normalverteilungen mit Fat tails Bearbeiten Fur solche sehr seltene Ereignisse also z B sehr hohe wirtschaftliche Gewinne oder Verluste sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie der extremen Ereignisse unter Umstanden nicht mehr die gewohnten Normalverteilungen oder Uberlagerungen davon charakteristisch die sich wie Gaussfunktionen verhalten also wie Standard Glockenkurven der Breite s displaystyle sigma nbsp genauer wie d x 2 p s e x x 2 2 s displaystyle dx sqrt 2 pi sigma cdot e x x 2 2 sigma nbsp die also im Randbereich rascher als exponentiell abfallen Stattdessen dominieren Verteilungsfunktionen die im Zentralbereich wie Gaussfunktionen aussehen aber im Randbereich nur algebraisch klein werden d x x x a displaystyle sim dx cdot x x alpha nbsp mit einem charakteristischen fat tail Exponenten der in der physikalischen Literatur mit a displaystyle alpha nbsp bezeichnet wird und bestimmte universelle Werte annehmen kann 3 Literatur BearbeitenPaul Embrechts Claudia Kluppelberg Thomas Mikosch Modelling Extremal Events for Insurance and Finance Springer Berlin 1997 ISBN 3 540 60931 8 Emil Julius Gumbel Statistics of extremes Columbia University Press New York 1958 ISBN 978 0 231 92958 5 Laurens de Haan Ana Ferreira Extreme Value Theory An Introduction Springer New York 2006 ISBN 978 1 4419 2020 1 Rolf Dieter Reiss Michael Thomas Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance Finance Hydrology an Other Fields 3 Auflage Birkhauser Basel 2007 ISBN 978 3 7643 7230 9 Sidney I Resnick Extreme Values Regular Variation and Point Processes Springer New York 2008 ISBN 978 0 387 75952 4 Weblinks BearbeitenAdvanced Extremal Models for Operational Risk PDF 112 kB Wenn es um Kopf und Kragen geht Extremwerttheorie PDF 271 kB Einzelnachweise Bearbeiten Daniel Gembris Entwicklung von Rekorden in der Leichtathletik In Spektrum der Wissenschaft Nr 8 2008 S 14 16 spektrum de Gregor Wergen Joachim Krug Stefan Rahmstorf Klimarekorde In Spektrum der Wissenschaft Nr 2 2014 S 80 87 spektrum de Rosario N Mantegna H Eugene Stanley An Introduction to Econophysics Correlations and Complexity in Finance Cambridge University Press Cambridge 1999 ISBN 0 521 62008 2 cambridge org Memento vom 10 April 2016 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Extremwerttheorie amp oldid 224654838