Levy Verteilungen benannt nach dem franzosischen Mathematiker Paul Levy sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Standard Levy Verteilung 3 Eigenschaften 4 Momente 5 Anwendung 6 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Levy Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und m 0Die Dichtefunktion der Levy Verteilungen lautet f x g 2 p 1 x m 3 2 exp g 2 x m x gt m displaystyle f x sqrt frac gamma 2 pi cdot frac 1 x mu 3 2 cdot exp left frac gamma 2 x mu right quad x gt mu nbsp mit den beiden Parametern g gt 0 m R displaystyle gamma gt 0 mu in mathbb R nbsp m displaystyle mu nbsp ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der x displaystyle x nbsp Achse g displaystyle gamma nbsp ist ein Skalenparameter Stauchung fur g lt 1 displaystyle gamma lt 1 nbsp Streckung fur g gt 1 displaystyle gamma gt 1 nbsp Standard Levy Verteilung BearbeitenDie Standard Levy Verteilung ist die Levy Verteilung mit den Parameterwerten g 1 m 0 displaystyle gamma 1 mu 0 nbsp ihre Dichtefunktion lautet damit f x 1 2 p x 3 e 1 2 x x gt 0 displaystyle f x frac 1 sqrt 2 pi cdot x 3 cdot e frac 1 2x quad x gt 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Standard Levy Verteilung gehort wie die Normalverteilung und die Cauchy Verteilung zur ubergeordneten Familie der alpha stabilen Verteilungen d h sie erfullt die Bedingung X 1 X 2 X n n 1 a X displaystyle X 1 X 2 dotsb X n sim n 1 alpha X nbsp hier mit a 1 2 displaystyle alpha 1 2 nbsp fur alle unabhangigen Standard Levy verteilten Zufallsgrossen X 1 X 2 X n X displaystyle X 1 X 2 ldots X n X nbsp Da die Theorie der a displaystyle alpha nbsp stabilen Verteilungen massgeblich von Levy mitgestaltet wurde spricht man um Verwechslungen vorzubeugen auch oft von der eigentlichen Levy Verteilung Momente BearbeitenDie Levy Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert denn es gilt E X displaystyle operatorname E X infty nbsp Die Levy Verteilung gehort somit zu den Verteilungen mit schweren Randern die vor allem dazu verwendet werden extreme Ereignisse z B einen Borsencrash in der Finanzmathematik zu modellieren Anwendung BearbeitenMit der Levy Verteilung lassen sich verschiedene Phanomene insbesondere in der Natur beschreiben Verlauf von Borsenkursen 1 Umpolung des Erdmagnetfeldes 2 Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tonen in Melodien 3 Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche 4 Teilchenbewegungen in turbulenten Stromungen 5 Einzelnachweise Bearbeiten Applebaum D Lectures on Levy processes and Stochastic calculus Braunschweig Lecture 2 Levy processes PDF 282 kB University of Sheffield 22 Juli 2010 S 37 53 abgerufen am 13 Juni 2014 Belle Dume Geomagnetic flip may not be random after all In physicsworld com 21 Marz 2006 abgerufen am 13 Juni 2014 Lisa Zyga Musical melodies obey same laws as foraging animals In phys org Science X Network 8 Januar 2016 abgerufen am 23 April 2023 englisch Lisa Zyga Musical melodies obey same laws as foraging animals In phys org Science X Network 8 Januar 2016 abgerufen am 23 April 2023 englisch Lisa Zyga Musical melodies obey same laws as foraging animals In phys org Science X Network 8 Januar 2016 abgerufen am 23 April 2023 englisch Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Levy Verteilung amp oldid 236995408
