Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung uber der Menge der positiven reellen Zahlen Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang Verteilung fur nichtganzzahlige Parameter Wie diese wird sie beispielsweise verwendet in der Warteschlangentheorie um Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben in der Versicherungsmathematik um kleinere bis mittlere Schaden zu modellieren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Alternative Parametrisierung 2 Eigenschaften 2 1 Erwartungswert 2 2 Varianz 2 3 Schiefe 2 4 Reproduktivitat 2 5 Charakteristische Funktion 2 6 Momenterzeugende Funktion 2 7 Entropie 2 8 Summe gammaverteilter Zufallsgrossen 3 Beziehung zu anderen Verteilungen 3 1 Beziehung zur Betaverteilung 3 2 Beziehung zur Chi Quadrat Verteilung 3 3 Beziehung zur Erlang Verteilung 3 4 Beziehung zur Exponentialverteilung 3 5 Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenDie Gammaverteilung G p b displaystyle mathcal G p b nbsp ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f x b p G p x p 1 e b x x gt 0 0 x 0 displaystyle f x begin cases frac displaystyle b p displaystyle Gamma p x p 1 e bx amp x gt 0 0 amp x leq 0 end cases nbsp definiert Sie besitzt die reellen Parameter b displaystyle b nbsp und p displaystyle p nbsp Der Parameter b displaystyle b nbsp ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter p displaystyle p nbsp ist ein Formparameter Um ihre Normierbarkeit zu garantieren wird b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp und p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp gefordert Der Vorfaktor b p G p displaystyle b p Gamma p nbsp dient der korrekten Normierung der Ausdruck G p displaystyle Gamma p nbsp steht fur den Funktionswert der Gammafunktion nach der die Verteilung auch benannt ist nbsp Die Gammaverteilung genugt damit der Verteilungsfunktion F x P p b x x 0 0 x lt 0 displaystyle F x begin cases P p bx amp x geq 0 0 amp x lt 0 end cases nbsp wobei P p b x displaystyle P p bx nbsp die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist nbsp Alternative Parametrisierung Bearbeiten Alternativ zur obigen im deutschsprachigen Raum ublichen Parametrisierung mit p displaystyle p nbsp und b displaystyle b nbsp findet man auch haufig a p b b displaystyle alpha p beta b nbsp oder k p 8 1 b displaystyle left k p theta frac 1 b right nbsp b b displaystyle beta b nbsp ist die Umkehrung eines Skalenparameters und 8 1 b displaystyle theta 1 b nbsp ist der Skalenparameter selbst Dichte und Momente andern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen der Erwartungswert ware hier beispielsweise a b displaystyle alpha beta nbsp beziehungsweise k 8 displaystyle k theta nbsp Da diese Parametrisierungen im angelsachsischen Raum vorherrschen werden sie besonders haufig in der Fachliteratur verwendet Um Missverstandnissen vorzubeugen wird empfohlen die Momente explizit anzugeben also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert p b displaystyle p b nbsp und Varianz p b 2 displaystyle p b 2 nbsp zu sprechen Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar Eigenschaften BearbeitenDie Dichte f displaystyle f nbsp besitzt fur p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp an der Stelle x M p 1 b displaystyle x M tfrac p 1 b nbsp ihr Maximum und fur p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp an den Stellen x W x M p 1 1 2 b displaystyle x W x M pm frac p 1 frac 1 2 b nbsp Wendepunkte Erwartungswert Bearbeiten Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist E X p b displaystyle operatorname E X p over b nbsp Varianz Bearbeiten Die Varianz der Gammaverteilung ist Var X p b 2 displaystyle operatorname Var X p over b 2 nbsp Schiefe Bearbeiten Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch v X 2 p displaystyle operatorname v X frac 2 sqrt p nbsp Reproduktivitat Bearbeiten Die Gammaverteilung ist reproduktiv Die Summe aus den stochastisch unabhangigen gammaverteilten Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp mit den Parametern b displaystyle b nbsp und p x displaystyle p x nbsp bzw p y displaystyle p y nbsp ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b displaystyle b nbsp und p x p y displaystyle p x p y nbsp Charakteristische Funktion Bearbeiten Die charakteristische Funktion hat die Form ϕ X s b b i s p displaystyle phi X s left frac b b is right p nbsp Momenterzeugende Funktion Bearbeiten Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist m X s b b s p displaystyle m X s left frac b b s right p nbsp Entropie Bearbeiten Die Entropie der Gammaverteilung betragt H X ln G p ln b 1 p ps p p displaystyle H X ln left Gamma p right ln left b right 1 p psi p p nbsp wobei ps p displaystyle psi p nbsp die Digamma Funktion bezeichnet Summe gammaverteilter Zufallsgrossen Bearbeiten Sind X 1 G p 1 b displaystyle X 1 sim mathcal G p 1 b nbsp und X 2 G p 2 b displaystyle X 2 sim mathcal G p 2 b nbsp unabhangige gammaverteilte Zufallsgrossen dann ist auch die Summe X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp gammaverteilt und zwar X 1 X 2 G p 1 p 2 b displaystyle X 1 X 2 sim mathcal G p 1 p 2 b nbsp Allgemein gilt Sind X i G p i b i 1 n displaystyle X i sim mathcal G p i b quad i 1 ldots n nbsp stochastisch unabhangig dann ist X 1 X n G p 1 p n b displaystyle X 1 dotsb X n sim mathcal G p 1 dotsb p n b nbsp Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter Beziehung zu anderen Verteilungen BearbeitenBeziehung zur Betaverteilung Bearbeiten Wenn X G p 1 b displaystyle X sim mathcal G p 1 b nbsp und Y G p 2 b displaystyle Y sim mathcal G p 2 b nbsp unabhangige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern p 1 b displaystyle p 1 b nbsp bzw p 2 b displaystyle p 2 b nbsp dann ist die Grosse X X Y displaystyle tfrac X X Y nbsp betaverteilt mit Parametern p 1 displaystyle p 1 nbsp und p 2 displaystyle p 2 nbsp kurz Beta p 1 p 2 G p 1 b G p 1 b G p 2 b displaystyle operatorname Beta p 1 p 2 sim frac mathcal G p 1 b mathcal G p 1 b mathcal G p 2 b nbsp Beziehung zur Chi Quadrat Verteilung Bearbeiten Die Chi Quadrat Verteilung mit k displaystyle k nbsp Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p k 2 displaystyle p k 2 nbsp und b 1 2 displaystyle b 1 2 nbsp Beziehung zur Erlang Verteilung Bearbeiten Die Erlang Verteilung mit dem Parameter l displaystyle lambda nbsp und n displaystyle n nbsp Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p n displaystyle p n nbsp und b l displaystyle b lambda nbsp und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des p displaystyle p nbsp ten seltenen Poisson verteilten Ereignisses Beziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten Wahlt man in der Gammaverteilung den Parameter p 1 displaystyle p 1 nbsp so erhalt man die Exponentialverteilung mit Parameter l b displaystyle lambda b nbsp Die Faltung von n displaystyle n nbsp Exponentialverteilungen mit demselben l displaystyle lambda nbsp ergibt eine Gamma Verteilung mit p n b l displaystyle p n b lambda nbsp Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung Bearbeiten Ist X displaystyle X nbsp Gamma verteilt dann ist Y e X displaystyle Y e X nbsp Log Gamma verteilt Literatur BearbeitenBernard W Lindgren Statistical Theory Chapman amp Hall New York u a 1993 ISBN 0 412 04181 2 Marek Fisz Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 11 Auflage Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1989 ISBN 3 326 00079 0 P Heinz Muller Hrsg Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik 5 bearb und wesentlich erw Auflage Akad Verlag Leipzig 1991 ISBN 3 05 500608 9Weblinks Bearbeitensiehe auch Levy Prozess mit Bild von einem Gamma Prozess Interaktives Applet der Universitat Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung http www uni konstanz de FuF wiwi heiler os vt gamma html Gerechnete Beweise http www eisber net StatWiki index php WS2 Zettel1 Gamma VerteilungDiskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gammaverteilung amp oldid 229443807
