Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Die Logarithmische Gammaverteilung auch Log Gammaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Heavy tailed Verteilung ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Grossschadenbereich der Industrie Haftpflicht Ruckversicherung 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Erwartungswert 2 2 Varianz 2 3 Variationskoeffizient 2 4 Schiefe 2 5 Momente 2 6 Produkte von logarithmisch Gamma verteilte Zufallsvariablen 3 Beziehung zu anderen Verteilungen 3 1 Beziehung zur Gammaverteilung 3 2 Beziehung zur Paretoverteilung 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine stetige Zufallsgrosse X displaystyle X nbsp mit den Parametern a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp und b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp genugt der logarithmischen Gammaverteilung wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f x b a G a x b 1 ln x a 1 x 1 0 x lt 1 displaystyle f x begin cases dfrac b a Gamma a x b 1 ln x a 1 amp x geq 1 0 amp x lt 1 end cases nbsp besitzt Ihre Verteilungsfunktion lautet dann F x g a b ln x G a x 1 0 x lt 1 displaystyle F x begin cases dfrac gamma a b ln x Gamma a amp x geq 1 0 amp x lt 1 end cases nbsp wobei g p q displaystyle gamma p q nbsp die unvollstandige Gammafunktion ist Eigenschaften BearbeitenErwartungswert Bearbeiten Fur b gt 1 displaystyle b gt 1 nbsp ergibt sich der Erwartungswert zu E X 1 1 b a displaystyle operatorname E X left 1 frac 1 b right a nbsp Varianz Bearbeiten Die Varianz ergibt sich fur b gt 2 displaystyle b gt 2 nbsp als Var X 1 2 b a 1 1 b 2 a displaystyle operatorname Var X left 1 frac 2 b right a left 1 frac 1 b right 2a nbsp Variationskoeffizient Bearbeiten Aus Erwartungswert und Varianz erhalt man sofort den Variationskoeffizienten VarK X 1 1 b b 2 a 1 displaystyle operatorname VarK X sqrt left 1 frac 1 b b 2 right a 1 nbsp Schiefe Bearbeiten Die Schiefe lasst sich fur b gt 3 displaystyle b gt 3 nbsp geschlossen darstellen als v X b b 3 a 3 b 2 b 2 b 1 a 2 b b 1 3 a b b 2 a b b 1 2 a 3 2 displaystyle operatorname v X frac left frac b b 3 right a 3 left frac b 2 b 2 b 1 right a 2 left frac b b 1 right 3a left left frac b b 2 right a left frac b b 1 right 2a right frac 3 2 nbsp Momente Bearbeiten Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als b displaystyle b nbsp Produkte von logarithmisch Gamma verteilte Zufallsvariablen Bearbeiten Sind X 1 L G p 1 b displaystyle X 1 sim mathcal LG p 1 b nbsp und X 2 L G p 2 b displaystyle X 2 sim mathcal LG p 2 b nbsp unabhangige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrossen dann ist auch das X 1 X 2 displaystyle X 1 cdot X 2 nbsp logarithmisch gammaverteilt und zwar X 1 X 2 L G p 1 p 2 b displaystyle X 1 cdot X 2 sim mathcal LG p 1 p 2 b nbsp Allgemein gilt Sind X i L G p i b i 1 n displaystyle X i sim mathcal LG p i b quad i 1 ldots n nbsp stochastisch unabhangig dann ist i 1 n X i L G p 1 p n b displaystyle prod i 1 n X i sim mathcal LG p 1 dotsb p n b nbsp Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter Beziehung zu anderen Verteilungen BearbeitenIn der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schaden haufig mit Hilfe von Poisson negativ Binomial oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert Zur Beschreibung der Schadenshohe eignen sich dagegen die Gamma logarithmische Gamma oder logarithmische Normalverteilung Beziehung zur Gammaverteilung Bearbeiten Wenn die Zufallsvariable X displaystyle X nbsp Gamma verteilt ist dann ist Y e X displaystyle Y e X nbsp Log Gamma verteilt Beziehung zur Paretoverteilung Bearbeiten Die Paretoverteilung mit den Parametern k displaystyle k nbsp und x m i n 1 displaystyle x mathrm min 1 nbsp entspricht der Log Gammaverteilung mit den Parametern a 1 displaystyle a 1 nbsp und b k displaystyle b k nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Claudia Cottin Sebastian Dohler Risikoanalyse Modellierung Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen Springer Verlag 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Logarithmische Gammaverteilung amp oldid 209122248
