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Warteschlangentheorie Die oder Bedienungstheorie ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Unternehmensf

Warteschlangentheorie

Die Warteschlangentheorie (oder Bedienungstheorie) ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Unternehmensforschung und somit ein Beispiel für angewandte Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der mathematischen Analyse von Systemen, in denen Aufträge von Bedienungsstationen bearbeitet werden, und gibt Antwort auf die Fragen nach den charakteristischen Größen wie der Stabilität des Wartesystems, der Anzahl der Kunden im System, ihrer Wartezeit usw. Sie unterstützt unter anderem Führungsentscheidungen über den Personaleinsatz und den Abfertigungsprozess und hilft, ein System zur Leistungsmessung auszubauen. Ihre Anwendung reicht von Computern, Telekommunikationssystemen, Verkehrssystemen über Logistik bis zu Fertigungssystemen.

Systematik Bearbeiten

Grundsätzlich besteht ein Wartesystem aus einem Bedienbereich, in dem ein oder mehrere Ausführungseinheiten Aufträge bearbeiten, und einem Warteraum, in dem eintreffende Aufträge bei gerade nicht freien, aber verfügbaren Ausführungseinheiten auf die Bedienung warten. Abgefertigte Aufträge verlassen das System.

Ein Wartesystem wird mit sechs Parametern beschrieben (hier in Reihenfolge der Kendall-Notation):

Mittels dieser Annahmen liefert die Warteschlangentheorie Aussagen über Leistungsgrößen wie die mittlere Warteschlangenlänge, die Anzahl der Kunden im Wartesystem, die mittlere Wartezeit oder Ähnliches. Von David George Kendall wurde eine einheitliche Notation zur Beschreibung der Wartesysteme entwickelt, die Kendall-Notation. Wartesysteme ohne Warteraum werden als Verlustsysteme bezeichnet. Zentrale Aussagen sind das Gesetz von Little, Erlang B und Erlang C wie auch der Satz von Gordon–Newell.

Anwendungsbereiche Bearbeiten

Die Warteschlangentheorie wird bei der Analyse von Computern, Telekommunikationssystemen (Callcenter), Verkehrssystemen (Verkehrsfluss), Logistik und Fertigungssystemen eingesetzt. Je nach Anwendungsbereich haben die abstrakten Begriffe Auftrag und Bedienungsstation sehr unterschiedliche Bedeutungen.

Mehrere solcher (einfacher) Wartesysteme können zu sogenannten Warteschlangennetzen zusammengesetzt werden. Zur mathematischen Analyse von Wartesystemen wurden verschiedene Ansätze entwickelt. Dazu gehören Markow-Ketten, Petri-Netze und die ereignisdiskrete Simulation.

Geschichte Bearbeiten

Die erste Anwendung der Warteschlangentheorie erfolgte durch den Mathematiker Agner Krarup Erlang 1909 zur Dimensionierung von Telefonvermittlungsanlagen (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations). In den 1930er Jahren ermöglichte die Pollaczek-Chintschin Formel weitere Vereinfachungen der Theorie. Spätere, bedeutende Beiträge kamen von David George Kendall, Dennis Victor Lindley, James R. Jackson, Gordon F. Newell, Felix Pollaczek, Carl Adam Petri, Leonard Kleinrock und Paul Ehrenfest. Durch die Entwicklung von Computern und Computernetzwerken gewann die Forschung in diesem Bereich auch an Bedeutung.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Natalja N. Amossova: Bedienungstheorie: Eine Einführung. Teubner, Leipzig 1986, ISBN 3-322-00309-4.
  • Dieter Baum: Grundlagen der Warteschlangentheorie. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39631-1.
  • Gunter Bolch, Stefan Greiner, Hermann de Meer, Kishor S. Trivedi: Queuing networks and Markov chains. Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, 2006.
  • Donald Gross, Carl M. Harris: Fundamentals of queuing theory. Wiley & Sons, New York 1994.
  • Heinz Häfner: Ein Warteschlangenansatz zur integrierten Produktionsplanung. Physica-Verlag, Heidelberg 1992 (zugleich Dissertation Univ. Mannheim), ISBN 3-7908-0579-3.
  • Uwe Kiencke: Ereignisdiskrete Systeme: Modellierung und Steuerung verteilter Systeme. 2., überarb. und erw. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2006, ISBN 3-486-58011-6.
  • Edward D. Lazowska, John Zahorjan, G. Scott Graham, Kenneth C. Sevcik: Quantitative system performance: computer Ssystem analysis using queueing network models. Prentice-Hall, 1984. (cs.washington.edu)
  • Volker Rausch: Bediensysteme der Instandhaltung. Eine Verknüpfung von mathematisch-statistischen Methoden und der Bedientheorie. SVH, Saarbrücken 2010, ISBN 978-3-8381-1492-7.
  • Volker Rausch: Offene und geschlossene Bediensysteme in der Produktions- und Verfahrenstechnik. Grin Verlag, München 2015, ISBN 978-3-656-89453-7.
  • Markus Sommereder: Modellierung von Warteschlangensystemen mit Markov-Ketten: Grundlagen, Konzepte, Methoden. Verlag Dr. Müller, Saarbrücken 2008, ISBN 978-3-8364-5697-5.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Warteschlangentheorie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Die Warteschlangentheorie oder Bedienungstheorie ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Unternehmensforschung und somit ein Beispiel fur angewandte Mathematik Sie beschaftigt sich mit der mathematischen Analyse von Systemen in denen Auftrage von Bedienungsstationen bearbeitet werden und gibt Antwort auf die Fragen nach den charakteristischen Grossen wie der Stabilitat des Wartesystems der Anzahl der Kunden im System ihrer Wartezeit usw Sie unterstutzt unter anderem Fuhrungsentscheidungen uber den Personaleinsatz und den Abfertigungsprozess und hilft ein System zur Leistungsmessung auszubauen Ihre Anwendung reicht von Computern Telekommunikationssystemen Verkehrssystemen uber Logistik bis zu Fertigungssystemen Inhaltsverzeichnis 1 Systematik 2 Anwendungsbereiche 3 Geschichte 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksSystematik BearbeitenGrundsatzlich besteht ein Wartesystem aus einem Bedienbereich in dem ein oder mehrere Ausfuhrungseinheiten Auftrage bearbeiten und einem Warteraum in dem eintreffende Auftrage bei gerade nicht freien aber verfugbaren Ausfuhrungseinheiten auf die Bedienung warten Abgefertigte Auftrage verlassen das System Ein Wartesystem wird mit sechs Parametern beschrieben hier in Reihenfolge der Kendall Notation Ankunftsprozess Der stochastische Prozess der die Ankunft neuer Auftrage beschreibt Haufig wird hierzu ein Poisson Prozess verwendet Servicezeitverteilung Die stochastische Verteilung der Ausfuhrungszeiten die reine Bearbeitungsdauer eines Auftrages ohne Wartezeit In vielen Fallen wird hierzu eine Exponentialverteilung angenommen Anzahl der Ausfuhrungseinheiten Anzahl der Einheiten die parallel Auftrage bearbeiten konnen Beispielsweise die Anzahl der geoffneten Kassen in einem Supermarkt Kapazitat der Warteschlange Gibt die maximale Anzahl von wartenden Auftragen an die maximale Lange der Warteschlange In vielen Fallen wird diese als unendlich gross angenommen displaystyle infty nbsp Population Die Menge aller moglichen Auftrage aus denen durch den Ankunftsprozess Auftrage ins System gelangen Wird in vielen Fallen als unendlich gross angenommen displaystyle infty nbsp Abfertigungsdisziplin Gibt an in welcher Reihenfolge in der Warteschlange wartende Auftrage abgearbeitet werden Meistens wird das FCFS Prinzip angewendet Dies bedeutet dass jeweils der Auftrag am vorderen Ende der Schlange als nachster abgefertigt wird Mittels dieser Annahmen liefert die Warteschlangentheorie Aussagen uber Leistungsgrossen wie die mittlere Warteschlangenlange die Anzahl der Kunden im Wartesystem die mittlere Wartezeit oder Ahnliches Von David George Kendall wurde eine einheitliche Notation zur Beschreibung der Wartesysteme entwickelt die Kendall Notation Wartesysteme ohne Warteraum werden als Verlustsysteme bezeichnet Zentrale Aussagen sind das Gesetz von Little Erlang B und Erlang C wie auch der Satz von Gordon Newell Anwendungsbereiche BearbeitenDie Warteschlangentheorie wird bei der Analyse von Computern Telekommunikationssystemen Callcenter Verkehrssystemen Verkehrsfluss Logistik und Fertigungssystemen eingesetzt Je nach Anwendungsbereich haben die abstrakten Begriffe Auftrag und Bedienungsstation sehr unterschiedliche Bedeutungen Computer Auftrag Task Bedienungsstation CPU Telekommunikation Auftrag Telefonanruf Bedienungsstation Telefonleitung Verkehrssystem Auftrag Autofahrer Bedienungsstation Tankstelle Fertigung Auftrag zu montierende Maschine Bedienungsstation MonteurMehrere solcher einfacher Wartesysteme konnen zu sogenannten Warteschlangennetzen zusammengesetzt werden Zur mathematischen Analyse von Wartesystemen wurden verschiedene Ansatze entwickelt Dazu gehoren Markow Ketten Petri Netze und die ereignisdiskrete Simulation Geschichte BearbeitenDie erste Anwendung der Warteschlangentheorie erfolgte durch den Mathematiker Agner Krarup Erlang 1909 zur Dimensionierung von Telefonvermittlungsanlagen The Theory of Probabilities and Telephone Conversations In den 1930er Jahren ermoglichte die Pollaczek Chintschin Formel weitere Vereinfachungen der Theorie Spatere bedeutende Beitrage kamen von David George Kendall Dennis Victor Lindley James R Jackson Gordon F Newell Felix Pollaczek Carl Adam Petri Leonard Kleinrock und Paul Ehrenfest Durch die Entwicklung von Computern und Computernetzwerken gewann die Forschung in diesem Bereich auch an Bedeutung Siehe auch BearbeitenWarteschlangen Petri Netz Wartezeitparadoxon Erneuerungstheorie Erlang Einheit Netflow Personalbedarfsplanung ServicelevelLiteratur BearbeitenNatalja N Amossova Bedienungstheorie Eine Einfuhrung Teubner Leipzig 1986 ISBN 3 322 00309 4 Dieter Baum Grundlagen der Warteschlangentheorie Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 39631 1 Gunter Bolch Stefan Greiner Hermann de Meer Kishor S Trivedi Queuing networks and Markov chains Wiley amp Sons Hoboken New Jersey 2006 Donald Gross Carl M Harris Fundamentals of queuing theory Wiley amp Sons New York 1994 Heinz Hafner Ein Warteschlangenansatz zur integrierten Produktionsplanung Physica Verlag Heidelberg 1992 zugleich Dissertation Univ Mannheim ISBN 3 7908 0579 3 Uwe Kiencke Ereignisdiskrete Systeme Modellierung und Steuerung verteilter Systeme 2 uberarb und erw Auflage Oldenbourg Verlag Munchen 2006 ISBN 3 486 58011 6 Edward D Lazowska John Zahorjan G Scott Graham Kenneth C Sevcik Quantitative system performance computer Ssystem analysis using queueing network models Prentice Hall 1984 cs washington edu Volker Rausch Bediensysteme der Instandhaltung Eine Verknupfung von mathematisch statistischen Methoden und der Bedientheorie SVH Saarbrucken 2010 ISBN 978 3 8381 1492 7 Volker Rausch Offene und geschlossene Bediensysteme in der Produktions und Verfahrenstechnik Grin Verlag Munchen 2015 ISBN 978 3 656 89453 7 Markus Sommereder Modellierung von Warteschlangensystemen mit Markov Ketten Grundlagen Konzepte Methoden Verlag Dr Muller Saarbrucken 2008 ISBN 978 3 8364 5697 5 Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Warteschlangentheorie Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Einfuhrung mit Warteschlangenrechner und Anwendungen In stochastik tu clausthal de Unterlage zur Warteschlangentheorie In telecomm at PDF 3 8 MB Normdaten Sachbegriff GND 4255044 0 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Warteschlangentheorie amp oldid 219948773