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Wartezeitparadoxon

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Das Wartezeitparadoxon ist ein Paradoxon aus der Warteschlangentheorie, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der englischen Literatur wird es nach einem häufig verwendeten Beispiel auch hitchhiker’s paradox genannt (von engl. hitchhiker – Tramper/Anhalter).

Anschauliche Formulierung Bearbeiten

Wenn Busse im Durchschnitt alle Minuten fahren, erwartet man bei zufälliger Ankunftszeit an der Bushaltestelle intuitiv eine Wartezeit von Minuten. Das ist jedoch nur korrekt, wenn die Busse genau alle Minuten fahren. Je stärker die Abstände variieren, desto wahrscheinlicher fällt die eigene Ankunftszeit in ein längeres Intervall zwischen zwei Bussen statt in ein durchschnittliches oder kürzeres. Dadurch wird die zu erwartende Wartezeit länger.

Besonders deutlich wird dieser Effekt an einem vereinfachten Beispiel: Wenn sich die Busse abwechselnd Minuten verfrühen und Minuten verspäten, dann fahren immer zwei Busse gleichzeitig und zwischen diesen Abfahrten vergehen jeweils Minuten ohne Bus. Die Intervalle sind also doppelt so lang wie im Fahrplan und entsprechend verdoppelt sich auch die mittlere Wartezeit auf Minuten.

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Die Zufallsgrößen der Abstände zwischen zwei Bussen seien unabhängig und gleich verteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung . Die ersten Busse brauchen dann . Kommt man zwischen dem -ten und -ten Bus, so fällt die Wartezeit linear von auf . Der Erwartungswert der Wartezeit beträgt somit

Bildet man nun den Grenzwert , so konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen . Der Erwartungswert beträgt folglich:

Der Erwartungswert ist also stets größer als , außer für . Insbesondere kann der Erwartungswert unendlich werden, wenn .

Beispiele Bearbeiten

  • Kommen die Busse exakt im Abstand , dann ist und somit beträgt der Erwartungswert der Wartezeit .
  • Kommen die Busse mit Wahrscheinlichkeit im Abstand und mit Wahrscheinlichkeit im Abstand , so ist und , somit ist der Erwartungswert der Wartezeit .
  • Sind die Abstände gleichverteilt in , so ist . Also beträgt der Erwartungswert der Wartezeit .
  • Sind die Abstände exponentialverteilt mit Parameter , so ist . Somit ist der Erwartungswert der Wartezeit , d. h. obwohl die Busse im Durchschnitt alle Minuten kommen, muss man trotzdem im Durchschnitt Minuten warten! (Siehe Abschnitt Poisson-Prozess.)
  • Sind die Abstände mit Wahrscheinlichkeit für , dann ist , aber . Also: Obwohl im Durchschnitt alle 4 Minuten ein Bus fährt ist der Erwartungswert der Wartezeit unendlich groß.

Poisson-Prozess Bearbeiten

Oftmals wird das Wartezeitparadoxon nur für Poisson-Prozesse beschrieben, wo es eine natürlichere Erklärung für das Paradoxon gibt.

Beim Poisson-Prozess sind die Abstände zwischen zwei Zuwächsen exponentialverteilt (siehe Beispiel oben), also stimmt der Erwartungswert der Wartezeit mit dem Erwartungswert der Abstände überein. Dies liegt an der Homogenität des Poisson-Prozesses; mit anderen Worten: der Erwartungswert der Wartezeit ist unabhängig davon, wann der letzte Bus gefahren ist. Insbesondere bekommt man diesen Erwartungswert, wenn der Bus gerade abgefahren ist, und in diesem Augenblick ist die Wartezeit der Abstand zum nächsten Bus. Somit stimmen die Erwartungswerte überein.

Dieses Paradoxon gibt es auch im diskreten Modell, nämlich beim Würfeln. Im Durchschnitt muss man 6-mal würfeln, um eine Sechs zu bekommen. Es ist jedoch egal, wie oft man es schon versucht hat – man muss im Durchschnitt immer noch 6-mal würfeln.

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Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Das Wartezeitparadoxon ist ein Paradoxon aus der Warteschlangentheorie einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie In der englischen Literatur wird es nach einem haufig verwendeten Beispiel auch hitchhiker s paradox genannt von engl hitchhiker Tramper Anhalter Inhaltsverzeichnis 1 Anschauliche Formulierung 2 Mathematische Formulierung 3 Beispiele 4 Poisson ProzessAnschauliche Formulierung BearbeitenWenn Busse im Durchschnitt alle t displaystyle t nbsp Minuten fahren erwartet man bei zufalliger Ankunftszeit an der Bushaltestelle intuitiv eine Wartezeit von t 2 displaystyle t 2 nbsp Minuten Das ist jedoch nur korrekt wenn die Busse genau alle t displaystyle t nbsp Minuten fahren Je starker die Abstande variieren desto wahrscheinlicher fallt die eigene Ankunftszeit in ein langeres Intervall zwischen zwei Bussen statt in ein durchschnittliches oder kurzeres Dadurch wird die zu erwartende Wartezeit langer nbsp Besonders deutlich wird dieser Effekt an einem vereinfachten Beispiel Wenn sich die Busse abwechselnd t 2 displaystyle t 2 nbsp Minuten verfruhen und t 2 displaystyle t 2 nbsp Minuten verspaten dann fahren immer zwei Busse gleichzeitig und zwischen diesen Abfahrten vergehen jeweils 2 t displaystyle 2t nbsp Minuten ohne Bus Die Intervalle sind also doppelt so lang wie im Fahrplan und entsprechend verdoppelt sich auch die mittlere Wartezeit auf t displaystyle t nbsp Minuten Mathematische Formulierung BearbeitenDie Zufallsgrossen X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 dots nbsp der Abstande zwischen zwei Bussen seien unabhangig und gleich verteilt mit Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp Die ersten n displaystyle n nbsp Busse brauchen dann X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dotsb X n nbsp Kommt man zwischen dem k 1 displaystyle k 1 nbsp ten und k displaystyle k nbsp ten Bus so fallt die Wartezeit linear von X k displaystyle X k nbsp auf 0 displaystyle 0 nbsp Der Erwartungswert der Wartezeit betragt somit X 1 2 2 X 2 2 2 X n 2 2 X 1 X 2 X n 1 2 X 1 2 X 2 2 X n 2 n X 1 X 2 X n n displaystyle frac X 1 2 2 X 2 2 2 dotsb X n 2 2 X 1 X 2 dotsb X n frac 1 2 cdot frac frac X 1 2 X 2 2 dotsb X n 2 n frac X 1 X 2 dotsb X n n nbsp Bildet man nun den Grenzwert n displaystyle n to infty nbsp so konvergiert der Zahler gegen E X 2 E X 2 V X m 2 s 2 displaystyle E X 2 E X 2 V X mu 2 sigma 2 nbsp und der Nenner gegen E X m displaystyle E X mu nbsp Der Erwartungswert betragt folglich 1 2 m 2 s 2 m m 2 s 2 2 m displaystyle frac 1 2 cdot frac mu 2 sigma 2 mu frac mu 2 frac sigma 2 2 mu nbsp Der Erwartungswert ist also stets grosser als m 2 displaystyle mu 2 nbsp ausser fur s 0 displaystyle sigma 0 nbsp Insbesondere kann der Erwartungswert unendlich 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mit dem Erwartungswert der Abstande uberein Dies liegt an der Homogenitat des Poisson Prozesses mit anderen Worten der Erwartungswert der Wartezeit ist unabhangig davon wann der letzte Bus gefahren ist Insbesondere bekommt man diesen Erwartungswert wenn der Bus gerade abgefahren ist und in diesem Augenblick ist die Wartezeit der Abstand zum nachsten Bus Somit stimmen die Erwartungswerte uberein Dieses Paradoxon gibt es auch im diskreten Modell namlich beim Wurfeln Im Durchschnitt muss man 6 mal wurfeln um eine Sechs zu bekommen Es ist jedoch egal wie oft man es schon versucht hat man muss im Durchschnitt immer noch 6 mal wurfeln Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wartezeitparadoxon amp oldid 239439513