www.wikidata.de-de.nina.az

Verteilungstyp ist ein Fachbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie für die Zugehörigkeit einer reellen Zufallsvariablen z

Verteilungstyp

Verteilungstyp ist ein Fachbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie für die Zugehörigkeit einer reellen Zufallsvariablen zu einer linearen Transformationsfamilie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, der aber in der angewandten Statistik auch abweichend für die Zugehörigkeit zu einer parametrischen Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet wird.

Verteilungstyp im Sinn der Wahrscheinlichkeitstheorie Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Der Verteilungstyp einer reellen Zufallsvariablen ist die Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen

enthält.

Beispiele Bearbeiten

dann ist der Verteilungstyp von die Menge derjenigen Zweipunktverteilungen, für die
gilt.
  • Wenn binomialverteilt mit den Parametern und ist, dann ist der Verteilungstyp von keine Teilmenge der Binomialverteilungen .

Eigenschaften und Anwendungen Bearbeiten

  • Es besteht eine enge Beziehung zum Konzept der Lage-Skalen-Familie.
  • Das Konzept des Verteilungstyps wird zur Definition des stabilen Verteilungstyps und damit zusammenhängend zur Charakterisierung des Anziehungsbereichs einer Verteilungsfunktion und zur Typeneinteilung von Extremwertverteilungen verwendet.
  • Zwischen der Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen und der Verteilungsfunktion einer linear transformierten Zufallsvariablen mit bestehen die Zusammenhänge
und
Ein Verteilungstyp kann daher durch die Angabe einer Verteilungsfunktion charakterisiert werden. Es ist daher auch folgende Definition ohne Bezug auf Zufallsvariablen üblich: Zwei eindimensionale Verteilungsfunktion und sind vom selben Typ, wenn es Zahlen und gibt mit
Diese Definition wird z. B. bei der Formulierung des Satzes über Typenkonvergenz verwendet.

Stabiler Verteilungstyp Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ein Verteilungstyp heißt stabil, wenn für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen dieses Verteilungstyps auch die Summe zu diesem Verteilungstyp gehört. Eine Verteilung, die einem stabilen Verteilungstyp angehört, heißt auch stabile Verteilung. Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung.

Eigenschaften Bearbeiten

Alle stabilen Verteilungstypen sind vollständig durch die alpha-stabilen Verteilungen beschrieben, wobei jeder charakteristische Exponent einen stabilen Verteilungstyp festlegt. Für ergibt sich als stabiler Verteilungstyp die Familie der Normalverteilungen.

Verteilungstypen von Extremwertverteilungen Bearbeiten

Die Verteilungstypen von Extremwertverteilungen, die im Zusammenhang mit dem Maximum stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen als nichtausgeartete Grenzverteilungen auftreten können, werden durch drei Typen von Verteilungsfunktionen beschrieben:

Typ I oder Gumbel-Typ

Typ II oder Fréchet-Typ

Typ III oder Weibull-Typ

Der Typ I ist die Verteilungsfunktion einer Gumbel-Verteilung. Die Typen II und III enthalten für jedes eine Verteilungsfunktion bzw. , die jeweils einen Verteilungstyp im Sinn der obigen Definition charakterisiert. ist die Verteilungsfunktion einer speziellen Fréchet-Verteilung. Wenn die Verteilungsfunktion hat, dann hat die Zufallsvariable eine Weibull-Verteilung mit der Verteilungsfunktion .

Wegen sind die Extremwertverteilungen, die im Zusammenhang mit dem Minimum stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen als nichtausgeartete Grenzverteilungen auftreten können, durch die möglichen Verteilungen von beschrieben, wenn eine Extremwertverteilung für ein Maximum hat. Daraus ergeben sich folgende Extremwertverteilungen für das Minimum:

Typ I oder Gumbel-Typ

Typ II oder Fréchet-Typ

Typ III oder Weibull-Typ

Wenn die Verteilungsfunktion hat, dann ist Gumbel-verteilt mit der Verteilungsfunktion . Wenn die Verteilungsfunktion hat, dann ist Fréchet-verteilt mit der Verteilungsfunktion . ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Verteilungstyp im nicht-technischen Sinn Bearbeiten

In Anwendungsbereichen der Statistik wird der Begriff Verteilungstyp auch in einem eher umgangssprachlichen Sinn für die Zugehörigkeit zu einer bestimmten parametrischen Verteilungsfamilie, wie der Familie der Normal-, Exponential-, Poisson- oder Binomialverteilungen, verwendet. Eine Formulierung der Art „ hat den Verteilungstyp einer Poissonverteilung“ meint dann „Die Verteilung von gehört zur parametrischen Familie der Poissonverteilungen“ oder kürzer „ ist Poisson-verteilt“, wobei kein Bezug zum technischen Begriff des Verteilungstyps aus der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht.

Bei einigen parametrischen Verteilungsfamilien, z. B. bei der Familie der Normalverteilungen und der Familie der Cauchy-Verteilungen, fallen die beiden Verwendungen des Begriffs Verteilungstyp zusammen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Verteilungstyp, S. 486.
  2. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Anziehungsbereich einer Verteilungsfunktion, S. 11.
  3. ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Extremwertverteilungen, S. 113–114.
  4. Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, S. 79.
  5. Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, Satz 5.8.8 (Typenkonvergenz), S. 79.
  6. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, stabiler Verteilungstyp, S. 366.
  7. F. W. Steutel, K. van Harn: Discrete analogues of self-decomposability and stability. In: The Annals of Probability. Band 7, Nr. 3, S. 893–899, doi:10.1214/aop/1176994950.
  8. Luc Devroye: A triptych of discrete distributions related to the stable law. In: Statistics and Probability Letters. Band 18, Nr. 5, S. 349–351, doi:10.1016/0167-7152(93)90027-G.
  9. Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 33). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-60931-8, Theorem 2.2.3, S. 71, doi:10.1007/978-3-642-33483-2.
  10. Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, S. 596.
  11. Beispielsweise wird Verteilungstyp in diesem nicht-technischen Sinn in den Artikeln Risikomatrix, Six Sigma, Schätzmethode (Statistik), A-priori-Wahrscheinlichkeit, Zentrales Schwankungsintervall und Zufallsstichprobe verwendet (Stand: 3. Juli 2023).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Verteilungstyp ist ein Fachbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie fur die Zugehorigkeit einer reellen Zufallsvariablen zu einer linearen Transformationsfamilie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen der aber in der angewandten Statistik auch abweichend fur die Zugehorigkeit zu einer parametrischen Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet wird Inhaltsverzeichnis 1 Verteilungstyp im Sinn der Wahrscheinlichkeitstheorie 1 1 Definition 1 2 Beispiele 1 3 Eigenschaften und Anwendungen 1 4 Stabiler Verteilungstyp 1 4 1 Definition 1 4 2 Eigenschaften 1 5 Verteilungstypen von Extremwertverteilungen 2 Verteilungstyp im nicht technischen Sinn 3 EinzelnachweiseVerteilungstyp im Sinn der Wahrscheinlichkeitstheorie BearbeitenDefinition Bearbeiten Der Verteilungstyp einer reellen Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp ist die Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen die alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen Y a b X a b R b gt 0 displaystyle Y a bX quad a b in mathbb R quad b gt 0 nbsp enthalt 1 Beispiele Bearbeiten Wenn X displaystyle X nbsp normalverteilt ist dann ist der Verteilungstyp die Familie der Normalverteilungen Wenn X displaystyle X nbsp Bernoulli verteilt mit dem Bernoulliparameter 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt pi lt 1 nbsp ist d h P X 1 p 1 P X 0 displaystyle P X 1 pi 1 P X 0 nbsp dd dann ist der Verteilungstyp von X displaystyle X nbsp die Menge derjenigen Zweipunktverteilungen fur dieP Y c 1 p P Y d p fur lt c lt d lt displaystyle P Y c 1 pi quad P Y d pi quad text fur infty lt c lt d lt infty nbsp dd gilt Wenn X displaystyle X nbsp binomialverteilt mit den Parametern n N displaystyle n in mathbb N nbsp und 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt pi lt 1 nbsp ist dann ist der Verteilungstyp von X displaystyle X nbsp keine Teilmenge der Binomialverteilungen B i n n p n N p 0 1 displaystyle mathrm Bin n pi mid n in mathbb N pi in 0 1 nbsp Eigenschaften und Anwendungen Bearbeiten Es besteht eine enge Beziehung zum Konzept der Lage Skalen Familie Das Konzept des Verteilungstyps wird zur Definition des stabilen Verteilungstyps und damit zusammenhangend zur Charakterisierung des Anziehungsbereichs einer Verteilungsfunktion 2 und zur Typeneinteilung von Extremwertverteilungen 3 verwendet Zwischen der Verteilungsfunktion F X displaystyle F X nbsp der Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp und der Verteilungsfunktion F Y displaystyle F Y nbsp einer linear transformierten Zufallsvariablen Y a b X displaystyle Y a bX nbsp mit b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp bestehen die ZusammenhangeF Y t F X t a b fur alle t R displaystyle F Y t F X left frac t a b right quad text fur alle t in mathbb R nbsp dd undF X t F Y a b t fur alle t R displaystyle F X t F Y a bt quad text fur alle t in mathbb R nbsp dd Ein Verteilungstyp kann daher durch die Angabe einer Verteilungsfunktion charakterisiert werden Es ist daher auch folgende Definition ohne Bezug auf Zufallsvariablen ublich 4 Zwei eindimensionale Verteilungsfunktion F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp sind vom selben Typ wenn es Zahlen a R displaystyle a in mathbb R nbsp und b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp gibt mitG x F a b x fur alle x R displaystyle G x F a bx quad text fur alle x in mathbb R nbsp dd Diese Definition wird z B bei der Formulierung des Satzes uber Typenkonvergenz verwendet 5 Stabiler Verteilungstyp Bearbeiten Definition Bearbeiten Ein Verteilungstyp heisst stabil wenn fur zwei stochastisch unabhangige Zufallsvariablen dieses Verteilungstyps auch die Summe zu diesem Verteilungstyp gehort Eine Verteilung die einem stabilen Verteilungstyp angehort heisst auch stabile Verteilung 6 Fur diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret stabilen Verteilung 7 8 Eigenschaften Bearbeiten Alle stabilen Verteilungstypen sind vollstandig durch die alpha stabilen Verteilungen beschrieben wobei jeder charakteristische Exponent a 0 2 displaystyle alpha in 0 2 nbsp einen stabilen Verteilungstyp festlegt Fur a 2 displaystyle alpha 2 nbsp ergibt sich als stabiler Verteilungstyp die Familie der Normalverteilungen Verteilungstypen von Extremwertverteilungen Bearbeiten Die Verteilungstypen von Extremwertverteilungen die im Zusammenhang mit dem Maximum stochastisch unabhangiger und identisch verteilter Zufallsvariablen als nichtausgeartete Grenzverteilungen auftreten konnen werden durch drei Typen von Verteilungsfunktionen beschrieben 3 9 Typ I oder Gumbel Typ L x exp e x x R displaystyle Lambda x exp e x quad x in mathbb R nbsp Typ II oder Frechet Typ F a x 0 fur x 0 exp x a fur x gt 0 a gt 0 displaystyle Phi alpha x begin cases 0 amp text fur x leq 0 exp x alpha amp text fur x gt 0 end cases quad alpha gt 0 nbsp Typ III oder Weibull Typ PS a x exp x a fur x 0 1 fur x gt 0 a gt 0 displaystyle Psi alpha x begin cases exp x alpha amp text fur x leq 0 1 amp text fur x gt 0 end cases quad alpha gt 0 nbsp Der Typ I ist die Verteilungsfunktion einer Gumbel Verteilung Die Typen II und III enthalten fur jedes a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp eine Verteilungsfunktion F a displaystyle Phi alpha nbsp bzw PS a displaystyle Psi alpha nbsp die jeweils einen Verteilungstyp im Sinn der obigen Definition charakterisiert F a displaystyle Phi alpha nbsp ist die Verteilungsfunktion einer speziellen Frechet Verteilung Wenn X displaystyle X nbsp die Verteilungsfunktion PS a displaystyle Psi alpha nbsp hat dann hat die Zufallsvariable Y X displaystyle Y X nbsp eine Weibull Verteilung mit der Verteilungsfunktion F Y t 1 PS a t t R displaystyle F Y t 1 Psi alpha t t in mathbb R nbsp 3 Wegen min X 1 X n max X 1 X n displaystyle min X 1 dots X n max X 1 dots X n nbsp sind die Extremwertverteilungen die im Zusammenhang mit dem Minimum stochastisch unabhangiger und identisch verteilter Zufallsvariablen als nichtausgeartete Grenzverteilungen auftreten konnen durch die moglichen Verteilungen von Y X displaystyle Y X nbsp beschrieben wenn X displaystyle X nbsp eine Extremwertverteilung fur ein Maximum hat 10 Daraus ergeben sich folgende Extremwertverteilungen fur das Minimum Typ I oder Gumbel Typ L x 1 L x 1 exp e x x R displaystyle Lambda x 1 Lambda x 1 exp e x quad x in mathbb R nbsp Typ II oder Frechet Typ F a x 1 F a x 1 exp x a fur x lt 0 1 fur x 0 a gt 0 displaystyle Phi alpha x 1 Phi alpha x begin cases 1 exp x alpha amp text fur x lt 0 1 amp text fur x geq 0 end cases quad alpha gt 0 nbsp Typ III oder Weibull Typ PS a x 1 PS a x 0 fur x lt 0 1 exp x a fur x 0 a gt 0 displaystyle Psi alpha x 1 Psi alpha x begin cases 0 amp text fur x lt 0 1 exp x alpha amp text fur x geq 0 end cases quad alpha gt 0 nbsp Wenn X displaystyle X nbsp die Verteilungsfunktion L displaystyle Lambda nbsp hat dann ist X displaystyle X nbsp Gumbel verteilt mit der Verteilungsfunktion L displaystyle Lambda nbsp Wenn X displaystyle X nbsp die Verteilungsfunktion F a displaystyle Phi alpha nbsp hat dann ist X displaystyle X nbsp Frechet verteilt mit der Verteilungsfunktion F a displaystyle Phi alpha nbsp PS a displaystyle Psi alpha nbsp ist die Verteilungsfunktion einer Weibull Verteilung Verteilungstyp im nicht technischen Sinn BearbeitenIn Anwendungsbereichen der Statistik wird der Begriff Verteilungstyp auch in einem eher umgangssprachlichen Sinn fur die Zugehorigkeit zu einer bestimmten parametrischen Verteilungsfamilie wie der Familie der Normal Exponential Poisson oder Binomialverteilungen verwendet Eine Formulierung der Art X displaystyle X nbsp hat den Verteilungstyp einer Poissonverteilung meint dann Die Verteilung von X displaystyle X nbsp gehort zur parametrischen Familie der Poissonverteilungen oder kurzer X displaystyle X nbsp ist Poisson verteilt wobei kein Bezug zum technischen Begriff des Verteilungstyps aus der Wahrscheinlichkeitstheorie besteht 11 Bei einigen parametrischen Verteilungsfamilien z B bei der Familie der Normalverteilungen und der Familie der Cauchy Verteilungen fallen die beiden Verwendungen des Begriffs Verteilungstyp zusammen Einzelnachweise Bearbeiten P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Verteilungstyp S 486 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Anziehungsbereich einer Verteilungsfunktion S 11 a b c P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Extremwertverteilungen S 113 114 Hermann Witting Ulrich Muller Funk Mathematische Statistik II Asymptotische Statistik Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale Teubner Stuttgart 1995 ISBN 978 3 322 90153 8 S 79 Hermann Witting Ulrich Muller Funk Mathematische Statistik II Asymptotische Statistik Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale Teubner Stuttgart 1995 ISBN 978 3 322 90153 8 Satz 5 8 8 Typenkonvergenz S 79 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 stabiler Verteilungstyp S 366 F W Steutel K van Harn Discrete analogues of self decomposability and stability In The Annals of Probability Band 7 Nr 3 S 893 899 doi 10 1214 aop 1176994950 Luc Devroye A triptych of discrete distributions related to the stable law In Statistics and Probability Letters Band 18 Nr 5 S 349 351 doi 10 1016 0167 7152 93 90027 G Paul Embrechts Thomas Mikosch Claudia Kluppelberg Modelling extremal events Stochastic Modelling and Applied Probability Band 33 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1997 ISBN 3 540 60931 8 Theorem 2 2 3 S 71 doi 10 1007 978 3 642 33483 2 Hermann Witting Ulrich Muller Funk Mathematische Statistik II Asymptotische Statistik Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale Teubner Stuttgart 1995 ISBN 978 3 322 90153 8 S 596 Beispielsweise wird Verteilungstyp in diesem nicht technischen Sinn in den Artikeln Risikomatrix Six Sigma Schatzmethode Statistik A priori Wahrscheinlichkeit Zentrales Schwankungsintervall und Zufallsstichprobe verwendet Stand 3 Juli 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verteilungstyp amp oldid 235579931