Besetzungszahl ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel Fur die Verwendung des Begriffs in der Statistik siehe Klasseneinteilung Statistik Die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren sind der Kern eines eleganten Losungsansatzes der Schrodingergleichung des harmonischen Oszillators Diese Operatoren konnen auch dazu benutzt werden Probleme mit quantenmechanischem Drehimpuls einfacher zu losen siehe Drehimpulsoperator Ferner finden die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren Verwendung bei der Quantisierung von Feldern der sogenannten zweiten Quantisierung oder Besetzungszahl Darstellung Es gibt eine Vielzahl alternativer Bezeichnungen wie Leiteroperatoren Kletteroperatoren Aufsteige und Absteigeoperatoren sowie Hebe und Senkoperatoren Statt Erzeugungsoperator wird manchmal auch Erschaffungsoperator verwendet Im deutschsprachigen Raum werden daruber hinaus auch die Operatoren s displaystyle sigma und s displaystyle sigma die die Zustande eines Atoms andern als Erzeugungs bzw Vernichtungsoperatoren bezeichnet Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lasst sich mithilfe der Methode der Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren behandeln die auch algebraische Methode genannt wird Sie wurde hauptsachlich von Paul Dirac entwickelt Fur diesen Losungsweg definiert man zwei Operatoren a displaystyle hat a und a displaystyle hat a dagger die einem Oszillator jeweils ein Energiequant ℏ w displaystyle hbar omega entziehen oder hinzufugen Deswegen werden sie Vernichtungs und Erzeugungsoperator genannt Das Zirkumflex displaystyle hat Symbol uber dem a displaystyle a symbolisiert dass es sich dabei um einen Operator handelt Damit gelten nicht dieselben Rechenregeln wie fur Skalare denn die Reihenfolge von Operatoren lasst sich beispielsweise im Allgemeinen nicht vertauschen Im Folgenden wird auf das Zirkumflex Symbol zugunsten der Ubersichtlichkeit verzichtet wenn nichts anderes gesagt ist Alle lateinischen Grossbuchstaben mit Ausnahme von E n displaystyle E n den Energieeigenwert darstellend sind Operatoren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Details 2 Bosonische Kletteroperatoren 2 1 Details 3 Fermionische Kletteroperatoren 3 1 Details 4 Beispiel fur bosonische Kletteroperatoren Harmonischer Oszillator 4 1 Hamiltonoperator umformen 4 2 Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter 4 3 Losung des Eigenwertproblems 4 4 Eigenfunktionen in Ortsdarstellung 5 Matrixdarstellung bosonischer Kletteroperatoren 5 1 Erzeugungsoperator 5 2 Vernichtungsoperator 5 3 Einfaches Beispiel 5 4 Besetzungszahloperator 5 5 Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators 6 Eigenzustande bosonischer Kletteroperatoren koharente Zustande 7 Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren in Quantenfeldtheorien 7 1 Bezug zu Diagrammtechniken 8 Literatur 9 Siehe auch 10 BelegeDefinition BearbeitenMan definiert den Erzeugungsoperator a displaystyle a dagger nbsp und den dazu adjungierten Vernichtungsoperator a displaystyle a nbsp uber folgende Vertauschungsrelationen mit dem Besetzungszahloperator der auch Teilchenzahloperator genannt wird N a a displaystyle N a dagger a nbsp N a a N a a displaystyle N a a quad N a dagger a dagger nbsp Der Besetzungszahloperator N displaystyle N nbsp ist ein hermitescher Operator und hat daher reelle Eigenwerte n displaystyle n nbsp Die zugehorige Eigenwertgleichung lautet N n n n displaystyle N left n right rangle n left n right rangle nbsp wobei n displaystyle left n right rangle nbsp Fock Zustande sind Die Besetzungszahl n displaystyle n nbsp ist eine nichtnegative ganze Zahl also n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Bei Fermionen ergibt sich hier noch eine Einschrankung auf die Werte 0 und 1 Durch Anwendung von a displaystyle a dagger nbsp bzw a displaystyle a nbsp auf den Zustand n displaystyle left n right rangle nbsp erhalt man den daruber bzw den darunterliegenden Zustand a n c n n 1 displaystyle a dagger left n right rangle c n left n 1 right rangle nbsp a n c n n 1 displaystyle a left n right rangle c n left n 1 right rangle nbsp Die Konstanten c n displaystyle c n nbsp und c n displaystyle c n nbsp sind davon abhangig ob a displaystyle a nbsp und a displaystyle a dagger nbsp die Kommutator oder Antikommutator Vertauschungsrelation erfullen Details Bearbeiten Im Folgenden werden verschiedene Eigenschaften von N displaystyle N nbsp abgeleitet Die Eigenzustande n displaystyle left n right rangle nbsp seien normiert Der Besetzungszahloperator ist hermitesch also selbstadjungiert N a a a a a a N displaystyle N dagger a dagger a dagger a dagger a dagger dagger a dagger a N nbsp Somit hat N displaystyle N nbsp reelle Eigenwerte die Besetzungszahlen n displaystyle n nbsp Die Eigenwerte sind nicht negativ n 0 displaystyle n geq 0 nbsp n n N n n a a n a n a n a n 2 0 displaystyle n left langle n N n right rangle left langle n a dagger a n right rangle left langle an an right rangle left a left n right rangle right 2 geq 0 nbsp Die Ungleichung folgt aus der Tatsache dass die Norm eines Vektors nicht negativ ist Der kleinste Eigenwert ist 0Der Zustand 0 displaystyle left 0 right rangle nbsp ist ein Vektor im Hilbertraum und darf nicht mit dem Nullvektor verwechselt werden sondern wird lediglich mit der Zahl 0 nummeriert a a 0 0 0 0 displaystyle a dagger a left 0 right rangle 0 left 0 right rangle 0 nbsp und 0 0 1 displaystyle left langle 0 0 right rangle 1 nbsp Wegen n 0 displaystyle n geq 0 nbsp muss gelten a 0 0 displaystyle a left 0 right rangle 0 nbsp Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an so erhalt man den Nullvektor Dies lasst sich aber nicht umkehren Durch Anwendung von a displaystyle a dagger nbsp auf den Nullvektor erhalt man nicht den Grundzustand sondern wieder den Nullvektor Die Eigenwerte sind ganzzahlig n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Angenommen die Eigenwerte waren nicht ganzzahlig so liessen sich ausgehend von einem Eigenzustand durch mehrmalige Anwendung des Absteigeoperators Eigenzustande finden die negative Eigenwerte besitzen Dies ist aber ein Widerspruch zur Bedingung n 0 displaystyle n geq 0 nbsp Bei ganzzahligen Eigenwerten erreicht man irgendwann den Grundzustand und durch nochmaliges Anwenden den Nullvektor ab hier bricht automatisch die Leiter ab Ist n displaystyle n nbsp Eigenwert dann auch n 1 displaystyle n 1 nbsp N a n a N N a n a N a n a N 1 n a n 1 n n 1 a n displaystyle Na dagger left n right rangle left a dagger N N a dagger right left n right rangle left a dagger N a dagger right left n right rangle a dagger left N 1 right left n right rangle a dagger left n 1 right left n right rangle left n 1 right a dagger left n right rangle nbsp Wenn a n displaystyle a dagger left n right rangle nbsp ungleich dem Nullvektor ist erhalt man somit einen neuen Eigenwert n 1 displaystyle n 1 nbsp a n displaystyle a dagger left n right rangle nbsp ist also Eigenzustand zu N displaystyle N nbsp mit Eigenwert n 1 displaystyle n 1 nbsp und somit proportional zu n 1 displaystyle left n 1 right rangle nbsp a n c n n 1 displaystyle a dagger left n right rangle c n left n 1 right rangle nbsp Ist n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp Eigenwert dann auch n 1 displaystyle n 1 nbsp N a n a N N a n a N a n a N 1 n a n 1 n n 1 a n displaystyle Na left n right rangle left aN left N a right right left n right rangle left aN a right left n right rangle a left N 1 right left n right rangle a left n 1 right left n right rangle left n 1 right a left n right rangle nbsp Wenn a n displaystyle a left n right rangle nbsp ungleich dem Nullvektor ist erhalt man somit einen neuen Eigenwert n 1 displaystyle n 1 nbsp a n displaystyle a left n right rangle nbsp ist also Eigenzustand zu N displaystyle N nbsp mit Eigenwert n 1 displaystyle n 1 nbsp und somit proportional zu n 1 displaystyle left n 1 right rangle nbsp a n c n n 1 displaystyle a left n right rangle c n left n 1 right rangle nbsp Bosonische Kletteroperatoren BearbeitenIm bosonischen Fall erfullen a displaystyle a nbsp und a displaystyle a dagger nbsp die Kommutator Vertauschungsrelationen a a 1 a a a a 0 displaystyle a a dagger 1 quad a a a dagger a dagger 0 nbsp Somit a n n 1 n 1 displaystyle a dagger left n right rangle sqrt n 1 left n 1 right rangle nbsp a n n n 1 displaystyle a left n right rangle sqrt n left n 1 right rangle nbsp Im bosonischen Fall konnen die Besetzungszahlen n displaystyle n nbsp beliebig gross werden n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Details Bearbeiten Zunachst ist zu prufen ob die obigen Voraussetzungen erfullt werden N a a a a a a 1 a a a a 0 a displaystyle N a a dagger a a underbrace a dagger a 1 a a dagger underbrace a a 0 a nbsp N a a a a a a 0 a a a a 1 a displaystyle N a dagger a dagger a a dagger underbrace a dagger a dagger 0 a a dagger underbrace a a dagger 1 a dagger nbsp Mit a displaystyle a dagger nbsp lasst sich der nachste uber n displaystyle left n right rangle nbsp liegende Zustand konstruieren a n c n 1 displaystyle a dagger left n right rangle c left n 1 right rangle nbsp Der Faktor c displaystyle c nbsp ergibt sich aus folgender Rechnung mit dem Kommutator a a a a 1 displaystyle aa dagger a dagger a 1 nbsp c 2 c n 1 2 a n 2 a n a n n a a n n a a 1 n n N 1 n n 1 displaystyle left c right 2 left Vert c left n 1 right rangle right Vert 2 left Vert a dagger left n right rangle right Vert 2 left langle a dagger n a dagger n right rangle left langle n aa dagger n right rangle left langle n a dagger a 1 n right rangle left langle n N 1 n right rangle n 1 nbsp c n 1 e i f displaystyle c sqrt n 1 e i varphi nbsp die Phase f displaystyle varphi nbsp kann aber vernachlassigt werden sodass c n 1 displaystyle c sqrt n 1 nbsp Mit a displaystyle a nbsp lasst sich der unter n displaystyle left n right rangle nbsp liegende Zustand konstruieren a n c n 1 displaystyle a left n right rangle c left n 1 right rangle nbsp Der Faktor c displaystyle c nbsp ergibt sich aus folgender Rechnung c 2 c n 1 2 a n 2 a n a n n a a n n N n n c n displaystyle left c right 2 left Vert c left n 1 right rangle right Vert 2 left Vert a left n right rangle right Vert 2 left langle an an right rangle left langle n a dagger a n right rangle left langle n N n right rangle n quad Rightarrow quad c sqrt n nbsp Alle Eigenzustande lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren n 1 n a n 1 1 n a n 0 n N 0 displaystyle left n right rangle frac 1 sqrt n a dagger left n 1 right rangle frac 1 sqrt n left a dagger right n left 0 right rangle quad n in mathbb N 0 nbsp Auf diese Weise erhalt man einen vollstandigen diskreten Satz von EigenzustandenFermionische Kletteroperatoren BearbeitenIm fermionischen Fall erfullen a displaystyle a nbsp und a displaystyle a dagger nbsp die Anti Kommutator Vertauschungsrelationen a a 1 a a a a 0 a 2 a 2 0 displaystyle a a dagger 1 quad a a a dagger a dagger 0 quad Rightarrow quad a 2 a dagger 2 0 nbsp Somit a n 1 n n 1 displaystyle a dagger left n right rangle left 1 n right left n 1 right rangle nbsp a n n n 1 displaystyle a left n right rangle n left n 1 right rangle nbsp Im fermionischen Fall konnen die Besetzungszahlen n displaystyle n nbsp nur die Werte 0 oder 1 annehmen Details Bearbeiten Mit a a 0 displaystyle a a 0 nbsp und a a 0 displaystyle a dagger a dagger 0 nbsp ist N 2 N displaystyle N 2 N nbsp N 2 a a a a a a a 1 a a a a a a a 0 a a 0 a a N displaystyle N 2 a dagger aa dagger a a dagger underbrace a a dagger 1 a dagger a a a dagger a underbrace a dagger a dagger 0 underbrace aa 0 a dagger a N nbsp Der Besetzungszahloperator hat also nur die Eigenwerte 0 und 1 und die Eigenzustande 0 displaystyle 0 rangle nbsp und 1 displaystyle 1 rangle nbsp n 2 n N 2 n N n n n n 2 n n 0 1 displaystyle n 2 left n right rangle N 2 left n right rangle N left n right rangle n left n right rangle quad Rightarrow quad n 2 n quad Rightarrow quad n in 0 1 nbsp Zunachst ist zu prufen ob die obigen Voraussetzungen erfullt werden N a a a a a a 2 a a a a a a a a 0 2 a a a 0 a a 1 a a displaystyle N a a dagger a a underbrace a dagger a 2a dagger a a a dagger a a dagger underbrace a a 0 2a dagger underbrace aa 0 underbrace a a dagger 1 a a nbsp N a a a a a a 0 a a a a a a 2 a a a a a 1 2 a a 0 a a displaystyle N a dagger a dagger a a dagger underbrace a dagger a dagger 0 a a dagger underbrace a a dagger a a dagger 2a dagger a a dagger underbrace a a dagger 1 2 underbrace a dagger a dagger 0 a a dagger nbsp Mit a displaystyle a dagger nbsp lasst sich der nachste uber n displaystyle left n right rangle nbsp liegende Zustand konstruieren a n c n 1 displaystyle a dagger left n right rangle c left n 1 right rangle nbsp Der Faktor c displaystyle c nbsp ergibt sich aus folgender Rechnung mit dem Anti Kommutator a a a a 1 displaystyle aa dagger a dagger a 1 nbsp c 2 c n 1 2 a n 2 a n a n n a a n n 1 a a n n 1 N n 1 n c 1 n displaystyle begin aligned amp left c right 2 left Vert c left n 1 right rangle right Vert 2 left Vert a dagger left n right rangle right Vert 2 left langle a dagger n a dagger n right rangle left langle n aa dagger n right rangle left langle n 1 a dagger a n right rangle left langle n 1 N n right rangle 1 n amp Rightarrow quad c sqrt 1 n end aligned nbsp Da n displaystyle n nbsp nur 0 oder 1 sein kann ist c 1 n 1 n d 0 n displaystyle c sqrt 1 n 1 n delta 0 n nbsp dabei ist d i j displaystyle delta i j nbsp das Kronecker Delta Mit a displaystyle a nbsp lasst sich der unter n displaystyle left n right rangle nbsp liegende Zustand konstruieren a n c n 1 displaystyle a left n right rangle c left n 1 right rangle nbsp Der Faktor c displaystyle c nbsp ergibt sich aus folgender Rechnung c 2 c n 1 2 a n 2 a n a n n a a n n N n n c n displaystyle left c right 2 left Vert c left n 1 right rangle right Vert 2 left Vert a left n right rangle right Vert 2 left langle an an right rangle left langle n a dagger a n right rangle left langle n N n right rangle n quad Rightarrow quad c sqrt n nbsp Da n displaystyle n nbsp nur 0 oder 1 sein kann ist c n n d 1 n displaystyle c sqrt n n delta 1 n nbsp Alle Eigenzustande lassen sich vom Grundzustand ausgehend konstruieren n 1 n a n 1 1 n a n 0 n 0 1 displaystyle left n right rangle frac 1 sqrt n a dagger left n 1 right rangle frac 1 sqrt n left a dagger right n left 0 right rangle quad n in 0 1 nbsp Auf diese Weise erhalt man einen vollstandigen diskreten Satz von EigenzustandenBeispiel fur bosonische Kletteroperatoren Harmonischer Oszillator BearbeitenDer Hamiltonoperator H displaystyle H nbsp des harmonischen Oszillators lautet H P 2 2 m m w 2 Q 2 2 displaystyle H frac P 2 2m frac m omega 2 Q 2 2 nbsp P displaystyle P nbsp Impulsoperator Q displaystyle Q nbsp Ortsoperator m displaystyle m nbsp Masse w displaystyle omega nbsp EigenfrequenzIm Folgenden ist die stationare Schrodingergleichung zu losen H n E n n displaystyle H left n right rangle E n left n right rangle nbsp E n displaystyle E n nbsp Energieeigenwert n displaystyle left n right rangle nbsp Energieeigenzustand Hamiltonoperator umformen Bearbeiten Der Hamiltonoperator lasst sich umformen H P 2 2 m m w 2 Q 2 2 ℏ w P 2 2 ℏ m w m w Q 2 2 ℏ displaystyle H frac P 2 2m frac m omega 2 Q 2 2 hbar omega left frac P 2 2 hbar m omega frac m omega Q 2 2 hbar right nbsp Es werden zwei neue Operatoren definiert P P 2 ℏ m w displaystyle tilde P frac P sqrt 2 hbar m omega nbsp und Q m w 2 ℏ Q displaystyle tilde Q sqrt frac m omega 2 hbar Q nbsp Der Hamiltonoperator ausgedruckt mit den neuen Operatoren H ℏ w P 2 Q 2 displaystyle H hbar omega left tilde P 2 tilde Q 2 right nbsp Man versucht nun den Inhalt der Klammer als Produkt zu schreiben also i displaystyle i nbsp ist die imaginare Einheit u i v u i v u 2 v 2 i u v i v u u 2 v 2 displaystyle left u iv right left u iv right u 2 v 2 iuv ivu u 2 v 2 nbsp Da aber u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp Operatoren sind die nicht vertauschen gilt hier das letzte Gleichheitszeichen nicht Um zwei Operatoren miteinander zu vertauschen ist der Kommutator vonnoten Q P P Q P Q displaystyle tilde Q tilde P tilde P tilde Q left tilde P tilde Q right nbsp H ℏ w Q 2 P 2 ℏ w Q 2 P 2 i Q P i Q P ℏ w Q 2 P 2 i Q P i P Q i Q P ℏ w Q i P Q i P i Q P displaystyle begin array rcl H amp amp hbar omega left tilde Q 2 tilde P 2 right amp amp hbar omega left tilde Q 2 tilde P 2 i left tilde Q tilde P right i left tilde Q tilde P right right amp amp hbar omega left tilde Q 2 tilde P 2 i tilde Q tilde P i tilde P tilde Q i left tilde Q tilde P right right amp amp hbar omega left tilde Q i tilde P tilde Q i tilde P i left tilde Q tilde P right right end array nbsp Der Kommutator Q P displaystyle left tilde Q tilde P right nbsp kann auf den Kommutator der ursprunglichen Operatoren Q displaystyle Q nbsp und P displaystyle P nbsp zuruckgefuhrt werden Q P m w 2 ℏ 1 2 ℏ m w Q P i ℏ i 2 displaystyle left tilde Q tilde P right sqrt frac m omega 2 hbar frac 1 sqrt 2 hbar m omega underbrace left Q P right i hbar frac i 2 nbsp Der Hamiltonoperator sieht nun folgendermassen aus H ℏ w Q i P a Q i P a 1 2 ℏ w displaystyle H hbar omega underbrace left tilde Q i tilde P right a dagger underbrace left tilde Q i tilde P right a frac 1 2 hbar omega nbsp Jetzt werden die beiden Leiteroperatoren definiert a Q i P displaystyle a dagger tilde Q i tilde P nbsp Erzeugungsoperator a Q i P displaystyle a tilde Q i tilde P nbsp VernichtungsoperatorHaufig werden sie auch als a displaystyle a nbsp und a displaystyle a nbsp geschrieben Man beachte dass die Leiteroperatoren nicht hermitesch sind da a a displaystyle a neq a dagger nbsp Die Leiteroperatoren ausgedruckt durch Ortsoperator Q displaystyle Q nbsp und Impulsoperator P displaystyle P nbsp a m w 2 ℏ Q i m w P displaystyle a dagger sqrt frac m omega 2 hbar left Q frac i m omega P right nbsp a m w 2 ℏ Q i m w P displaystyle a sqrt frac m omega 2 hbar left Q frac i m omega P right nbsp Umgekehrt ergibt sich fur Q displaystyle Q nbsp und P displaystyle P nbsp Q ℏ 2 m w a a displaystyle Q sqrt frac hbar 2m omega a a dagger nbsp P 1 i m w ℏ 2 a a displaystyle P frac 1 i sqrt frac m omega hbar 2 a a dagger nbsp Mit den Leiteroperatoren schreibt sich der Hamiltonoperator H ℏ w a a 1 2 displaystyle H hbar omega left a dagger a frac 1 2 right nbsp Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter Bearbeiten Zu bestimmen ist noch der Kommutator aus den beiden Leiteroperatoren a a a a a a Q i P Q i P Q i P Q i P 2 i P Q Q P 2 i P Q i 2 1 displaystyle left a a dagger right aa dagger a dagger a left tilde Q i tilde P right left tilde Q i tilde P right left tilde Q i tilde P right left tilde Q i tilde P right 2i left tilde P tilde Q tilde Q tilde P right 2i underbrace left tilde P tilde Q right i 2 1 nbsp Da ausserdem a a a a 0 displaystyle a a a dagger a dagger 0 nbsp gilt handelt es sich bei den Kletteroperatoren des harmonischen Oszillators um bosonische Kletteroperatoren Somit gelten alle obigen Eigenschaften fur bosonische Kletteroperatoren Das Produkt a a displaystyle a dagger a nbsp definiert den Besetzungszahloperator N a a displaystyle N a dagger a nbsp Losung des Eigenwertproblems Bearbeiten Der Hamiltonoperator lasst sich durch den Besetzungszahloperator ausdrucken H ℏ w N 1 2 displaystyle H hbar omega left N frac 1 2 right nbsp Das Eigenwertproblem H n E n n displaystyle H left n right rangle E n left n right rangle nbsp lasst sich auf die Eigenwertgleichung des Besetzungszahloperators N n n n displaystyle N left n right rangle n left n right rangle nbsp zuruckfuhren ℏ w N 1 2 n E n n ℏ w N 1 2 n ℏ w n 1 2 n displaystyle hbar omega left N frac 1 2 right left n right rangle E n left n right rangle quad quad hbar omega left N frac 1 2 right left n right rangle hbar omega left n frac 1 2 right left n right rangle nbsp Die Eigenzustande von N displaystyle N nbsp sind auch Eigenzustande von H displaystyle H nbsp da H N 0 displaystyle left H N right 0 nbsp Die Eigenwerte des Hamiltonoperators ergeben sich aus den Eigenwerten des Besetzungszahloperators N displaystyle N nbsp E n ℏ w n 1 2 displaystyle E n hbar omega left n frac 1 2 right nbsp und n n displaystyle left n right rangle left n right rangle nbsp Eine besonders wichtige Eigenschaft der Kletteroperatoren ist diese a n n 1 n 1 displaystyle a dagger left n right rangle sqrt n 1 left n 1 right rangle nbsp a n n n 1 displaystyle a left n right rangle sqrt n left n 1 right rangle nbsp Ist n displaystyle left n right rangle nbsp eine Losung der Schrodingergleichung fur die Energie E n displaystyle E n nbsp so ist a n displaystyle a dagger left n right rangle nbsp eine Losung fur die Energie E n ℏ w displaystyle E n hbar omega nbsp und a n displaystyle a left n right rangle nbsp eine Losung fur die Energie E n ℏ w displaystyle E n hbar omega nbsp Das bedeutet dass man aus einer Losung alle Losungen erhalten kann indem man einfach den Erzeugungs oder Vernichtungsoperator auf diese Losung anwendet Dadurch wird eine neue Losung fur das benachbarte Energieniveau erzeugt das um die Energie ℏ w displaystyle hbar omega nbsp verschoben ist Da der Besetzungszahloperator keine negativen Eigenwerte hat konnen auch keine negativen Energieeigenwerte existieren Es gibt also fur die minimale Besetzungszahl n 0 displaystyle n 0 nbsp eine Losung 0 displaystyle 0 rangle nbsp die auf einem minimalen Energieniveau sitzt Nullpunktenergie E 0 1 2 ℏ w displaystyle E 0 frac 1 2 hbar omega nbsp Im Zustand n displaystyle left n right rangle nbsp setzt sich die Energie E n ℏ w n 1 2 displaystyle E n hbar omega n tfrac 1 2 nbsp zusammen aus der Nullpunktenergie ℏ w 2 displaystyle hbar omega 2 nbsp und n displaystyle n nbsp Energiequanten der Grosse ℏ w displaystyle hbar omega nbsp Die Wirkung von a displaystyle a dagger nbsp uberfuhrt das System in einen Zustand mit der um ℏ w displaystyle hbar omega nbsp erhohten Energie Dies kann man als Erzeugung eines zusatzlichen Energiequants interpretieren was den Namen Erzeugungsoperator verstandlich macht Analog uberfuhrt der Operator a displaystyle a nbsp das System in einen um ein Energiequant reduzierten Zustand Es wird also ein Energiequant vernichtet deswegen Vernichtungsoperator Die Eigenwerte des Operators N displaystyle N nbsp geben an wie viele Energiequanten in einem Eigenzustand angeregt sind Die Besetzung eines Zustandes mit n displaystyle n nbsp Energiequanten erklart den Namen Besetzungszahloperator Eigenfunktionen in Ortsdarstellung Bearbeiten Wendet man also auf den niedrigsten Zustand den Absteigeoperator an so erhalt man den Nullvektor a 0 0 displaystyle a left 0 right rangle 0 nbsp Dies lasst sich aber nicht umkehren Durch Anwendung von a displaystyle a dagger nbsp auf den Nullvektor erhalt man nicht den Grundzustand sondern wieder den Nullvektor a a 0 0 displaystyle a dagger a left 0 right rangle 0 nbsp Dies liefert eine Gleichung fur den Grundzustand 0 a 0 Q i P 0 m w 2 ℏ Q i P 2 ℏ m w 0 displaystyle 0 a left 0 right rangle left tilde Q i tilde P right left 0 right rangle left sqrt frac m omega 2 hbar Q i frac P sqrt 2 hbar m omega right left 0 right rangle nbsp In der Ortsdarstellung kann man obige Operatorgleichung als Differentialgleichung darstellen und losen x P x i ℏ d d x displaystyle langle x P x rangle i hbar frac mathrm d mathrm d x nbsp und x Q x x displaystyle langle x Q x rangle x nbsp m w 2 ℏ x ℏ 2 m w d d x x 0 0 displaystyle left sqrt frac m omega 2 hbar x sqrt frac hbar 2m omega frac mathrm d mathrm d x right langle x 0 rangle 0 nbsp liefert normiert x 0 m w p ℏ 1 4 exp m w 2 ℏ x 2 displaystyle langle x 0 rangle left frac m omega pi hbar right frac 1 4 exp left frac m omega 2 hbar x 2 right nbsp Durch Anwendung des Aufsteigeoperators auf die Losung des Grundzustands erhalt man alle hoheren Eigenfunktionen n 1 n a n 1 1 n a n 0 displaystyle left n right rangle frac 1 sqrt n a dagger left n 1 right rangle frac 1 sqrt n a dagger n left 0 right rangle nbsp In Ortsdarstellung erhalt man somit x n 1 n m w 2 ℏ x ℏ 2 m w d d x n x 0 displaystyle langle x n rangle frac 1 sqrt n left sqrt frac m omega 2 hbar x sqrt frac hbar 2m omega frac mathrm d mathrm d x right n langle x 0 rangle nbsp Matrixdarstellung bosonischer Kletteroperatoren BearbeitenDie Eigenzustande des Besetzungszahloperators n displaystyle left n right rangle nbsp bilden ein vollstandiges Orthonormalsystem Mit Hilfe dieser Hilbertraumbasis soll nun eine Matrixdarstellung der Leiteroperatoren ermittelt werden Man beachte dass hier alle Indizes von 0 nicht von 1 bis unendlich laufen Die Eigenzustande lassen sich als Vektoren darstellen 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 displaystyle left 0 right rangle left begin matrix 1 0 0 0 vdots end matrix right quad left 1 right rangle left begin matrix 0 1 0 0 vdots end matrix right quad left 2 right rangle left begin matrix 0 0 1 0 vdots end matrix right nbsp usw Die Vollstandigkeit dieser Basis liefert eine Darstellung des Einheitsoperators n 0 n n 1 displaystyle sum limits n 0 infty left n right rangle left langle n right 1 nbsp Erzeugungsoperator Bearbeiten Vor und nach dem Erzeugungsoperator wird eine 1 Einheitsoperator eingeschoben a m n 0 m m a n a m n n displaystyle a dagger sum limits m n 0 infty left m right rangle underbrace left langle m right a dagger left n right rangle a mn dagger left langle n right nbsp Das Matrixelement berechnet sich zu a m n m a n n 1 m n 1 n 1 d m n 1 displaystyle a mn dagger left langle m right a dagger left n right rangle sqrt n 1 left langle m n 1 right rangle sqrt n 1 delta m n 1 nbsp Der Erzeugungsoperator dargestellt durch die Basisvektoren a n 0 n 1 n 1 n displaystyle a dagger sum limits n 0 infty left n 1 right rangle sqrt n 1 left langle n right nbsp Somit ergibt sich die Matrixdarstellung des Erzeugungsoperators bzgl der Besetzungseigenbasis alle nicht angegebenen Elemente sind gleich 0 a 0 1 0 2 0 3 0 displaystyle a dagger left begin matrix 0 amp amp amp amp sqrt 1 amp 0 amp amp amp amp sqrt 2 amp 0 amp amp amp amp sqrt 3 amp 0 amp amp amp amp ddots amp ddots end matrix right nbsp Vernichtungsoperator Bearbeiten Durch analoge Rechnung erhalt man fur den Vernichtungsoperator a m n 0 m m a n a m n n m n 0 m n d m 1 n n n 0 n n 1 n 1 displaystyle a sum limits m n 0 infty left m right rangle underbrace left langle m right a left n right rangle a mn left langle n right sum limits m n 0 infty left m right rangle sqrt n delta m 1 n left langle n right sum limits n 0 infty left n right rangle sqrt n 1 left langle n 1 right nbsp Dabei wurde das Matrixelement schon eingesetzt a m n m a n n m n 1 n d m n 1 n d m 1 n displaystyle a mn left langle m right a left n right rangle sqrt n left langle m n 1 right rangle sqrt n delta m n 1 sqrt n delta m 1 n nbsp Matrixdarstellung des Vernichtungsoperators bzgl der Besetzungseigenbasis a 0 1 0 2 0 3 0 displaystyle a left begin matrix 0 amp sqrt 1 amp amp amp amp 0 amp sqrt 2 amp amp amp amp 0 amp sqrt 3 amp amp amp amp 0 amp ddots amp amp amp amp ddots end matrix right nbsp Man erkennt dass die Matrix a displaystyle a dagger nbsp genau die Transponierte von a displaystyle a nbsp ist Dies ist verstandlich da die beiden Operatoren zueinander adjungiert transponiert komplex konjugiert sind Einfaches Beispiel Bearbeiten Beispiele mit Orthonormalbasen 0 1 0 0 1 0 1 0 displaystyle left 0 right rangle begin pmatrix 1 0 0 vdots end pmatrix left 1 right rangle begin pmatrix 0 1 0 vdots end pmatrix ldots nbsp Matrixformen von a displaystyle a nbsp und a displaystyle a dagger nbsp a 0 1 0 0 0 2 0 0 0 displaystyle a begin pmatrix 0 amp sqrt 1 amp 0 amp ldots 0 amp 0 amp sqrt 2 amp ldots 0 amp 0 amp 0 amp ldots vdots amp vdots amp vdots amp ddots end pmatrix nbsp a 0 0 0 1 0 0 0 2 0 displaystyle a dagger begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 amp ldots sqrt 1 amp 0 amp 0 amp ldots 0 amp sqrt 2 amp 0 amp ldots vdots amp vdots amp vdots amp ddots end pmatrix nbsp a 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 displaystyle a left 1 right rangle begin pmatrix 0 amp sqrt 1 amp 0 amp ldots 0 amp 0 amp sqrt 2 amp ldots 0 amp 0 amp 0 amp ldots vdots amp vdots amp vdots amp ddots end pmatrix begin pmatrix 0 1 0 vdots end pmatrix begin pmatrix 1 0 0 vdots end pmatrix left 0 right rangle nbsp a 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1 displaystyle a dagger left 0 right rangle begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 amp ldots sqrt 1 amp 0 amp 0 amp ldots 0 amp sqrt 2 amp 0 amp ldots vdots amp vdots amp vdots amp ddots end pmatrix begin pmatrix 1 0 0 vdots end pmatrix begin pmatrix 0 1 0 vdots end pmatrix left 1 right rangle nbsp gleiches gilt fur die duale Darstellung Besetzungszahloperator Bearbeiten Matrixelement des Besetzungszahloperators bzgl der Besetzungseigenbasis N m n m N n n m n n d m n displaystyle N mn left langle m right N left n right rangle n left langle m n right rangle n delta m n nbsp alternativ mit den Leiteroperatoren N m n k 0 a m k a k n k 0 k 1 d m k 1 a m k n d k 1 n a k n n d m n displaystyle N mn sum limits k 0 infty a mk dagger a kn sum limits k 0 infty underbrace sqrt k 1 delta m k 1 a mk dagger underbrace sqrt n delta k 1 n a kn n delta m n nbsp Matrixdarstellung des Besetzungszahloperators bzgl der Besetzungseigenbasis N 0 1 2 displaystyle N left begin matrix 0 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 2 amp amp amp amp ddots end matrix right nbsp Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators Bearbeiten Matrixelement des Hamiltonoperators fur den harmonischen Oszillator bzgl der Besetzungseigenbasis bzw der Energieeigenbasis H m n m H n m ℏ w N 1 2 n ℏ w n 1 2 m n ℏ w n 1 2 d m n displaystyle H mn left langle m right H left n right rangle left langle m right hbar omega left N frac 1 2 right left n right rangle hbar omega left n frac 1 2 right left langle m n right rangle hbar omega left n frac 1 2 right delta m n nbsp Matrixdarstellung des Hamiltonoperators fur den harmonischen Oszillator bzgl der Besetzungseigenbasis bzw der Energieeigenbasis H ℏ w 1 2 1 1 2 2 1 2 displaystyle H hbar omega left begin matrix frac 1 2 amp amp amp amp 1 frac 1 2 amp amp amp amp 2 frac 1 2 amp amp amp amp ddots end matrix right nbsp Da die Operatoren N displaystyle N nbsp und H displaystyle H nbsp hermitesch sind folgt dass die zugehorigen Matrizen bzgl der Eigenbasen symmetrisch sind Eigenzustande bosonischer Kletteroperatoren koharente Zustande BearbeitenDie Eigenzustande des Vernichtungsoperators sind die koharenten Zustande a displaystyle left alpha right rangle nbsp Der Vernichtungsoperator a displaystyle hat a nbsp zur Verdeutlichung sind die displaystyle hat nbsp Symbole fur die Operatoren hier explizit wieder eingefuhrt erfullt folgende Eigenwertgleichung a a a a displaystyle hat a left alpha right rangle alpha left alpha right rangle nbsp Fur den Erzeugungsoperator ergibt sich daraus mit einem Linkseigenzustand Bra Eigenzustand a a a a displaystyle left langle alpha right hat a dagger alpha left langle alpha right nbsp Der Vernichtungsoperator a displaystyle hat a nbsp kann also im Gegensatz zum Erzeugungsoperator a displaystyle hat a dagger nbsp Rechtseigenzustande Ket Eigenzustande besitzen Der Erzeugungsoperator erhoht die minimale Teilchenzahl eines Zustandes im Fockraum um eins der damit entstandene Zustand kann also nicht der ursprungliche sein Dagegen verringert der Vernichtungsoperator die maximale Teilchenzahl um eins da ein Zustand im Fockraum aber Komponenten aller Teilchenzahlen auch beliebig hoher Teilchenzahlen beinhalten kann ist damit nicht verboten dass a displaystyle hat a nbsp Eigenzustande besitzt Dies sind die koharenten Zustande Der koharente Zustand a displaystyle alpha rangle nbsp ergibt sich als bestimmte Linearkombination aller Zustande fester Teilchenzahl n displaystyle n rangle nbsp und zwar nach der Formel a e a 2 2 n 0 a n n n e a 2 2 n 0 a n n a n n 0 e a 2 2 e a a 0 displaystyle left alpha right rangle e frac left alpha right 2 2 sum limits n 0 infty frac alpha n sqrt n left n right rangle e frac left alpha right 2 2 sum limits n 0 infty frac alpha n sqrt n frac left hat a dagger right n sqrt n left 0 right rangle e frac left alpha right 2 2 e alpha hat a dagger left 0 right rangle nbsp Dieser Zustand ist also Eigenzustand des Vernichtungsoperators und zwar zum Eigenwert a displaystyle alpha nbsp wahrend der zugehorige Erzeugungsoperator nur Links Eigenzustande besitzt Dabei ist a displaystyle alpha nbsp eine nichtverschwindende komplexe Zahl die den koharenten Zustand vollstandig definiert und auch explizit von der Zeit abhangen darf a 2 displaystyle left alpha right 2 nbsp ist der Erwartungswert der Besetzungszahl des koharenten Zustandes Koharente Zustande haben wie der Grundzustand des Harmonischen Oszillators minimale Unscharfe und bleiben bei Zeitentwicklung koharent Mit ihnen lasst sich die im Allgemeinen explizit zeitabhangige elektromagnetische Welle einer Laser Mode am besten beschreiben sog Glauber Zustande Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren in Quantenfeldtheorien BearbeitenIn Quantenfeldtheorie und Vielteilchenphysik verwendet man Ausdrucke der Form g i a i displaystyle gamma i a i pm nbsp wobei die g i displaystyle gamma i nbsp komplexe Zahlen sind wahrend die a i displaystyle a i pm nbsp Erzeugungs bzw Vernichtungsoperatoren darstellen Diese erhohen bzw vermindern die Eigenwerte des Anzahloperators a i a i displaystyle sum a i a i nbsp um 1 analog zum harmonischen Oszillator Die Indizes i displaystyle i nbsp berucksichtigen die Freiheitsgrade der Raumzeit und haben i a mehrere Komponenten Wenn die Erzeuger und Vernichter von einer kontinuierlichen Variable abhangen statt von diskreten Quantenzahlen schreibt man sie auch als Feldoperatoren ϕ x displaystyle phi vec x nbsp ϕ x displaystyle phi vec x nbsp Die Anzahloperatoren n i a i a i displaystyle n i a i a i nbsp sind selbstadjungiert hermitesch und nehmen alle nicht negativen ganzzahligen Werte an n i 0 1 2 displaystyle n i in 0 1 2 dots nbsp Die nichttrivialen Vertauschungsrelationen sind schliesslich wie beim harmonischen Oszillator a i a j a i a j a j a i d i j displaystyle a i a j a i a j a j a i delta ij nbsp wobei die sog Kommutatorklammer darstellt wahrend d i j displaystyle delta ij nbsp das Kroneckersymbol ist Das oben gesagte gilt fur Bosonen wogegen man fur Fermionen den Kommutator durch den Antikommutator ersetzen muss a i a j a i a j a j a i d i j displaystyle a i a j a i a j a j a i delta ij nbsp Als Konsequenz gilt im fermionischen Fall dass die Anzahloperatoren n i a i a i displaystyle n i a i a i nbsp nur die Eigenwerte 0 und 1 haben Bezug zu Diagrammtechniken Bearbeiten Konkrete Rechnungen unter Verwendung der Erzeugungs bzw Vernichtungsoperatoren kann man in der Regel durch Diagrammtechniken unterstutzen Feynman Diagramme So kann man z B Dreiteilchen Wechselwirkungen der Form g 1 2 3 a 1 a 2 a 3 displaystyle gamma 1 2 3 a 1 a 2 a 3 nbsp durch drei Linien veranschaulichen von denen die ersten zwei in einen Vertex einlaufen und dort vernichtet werden wahrend eine dritte Linie an diesem Vertex erzeugt wird und von ihm auslauft Dabei sind in den zugehorigen Regeln Energie und Impulssatz explizit zu berucksichtigen Der angegebene Term der einen sog Konfluenzprozess beschreibt hat bei tiefen Temperaturen i A geringere Wahrscheinlichkeit g 1 2 3 2 n 1 n 2 1 n 3 displaystyle propto gamma 1 2 3 2 cdot langle n 1 rangle langle n 2 rangle 1 langle n 3 rangle nbsp als der inverse sog Splitting Prozess der zum adjungierten Term g 1 2 3 a 3 a 2 a 1 displaystyle gamma 1 2 3 a 3 a 2 a 1 nbsp gehort Denn zu jedem Erzeugungsoperator a i displaystyle a i nbsp korrespondiert analog zum harmonischen Oszillator die Ubergangsrate 1 g i 2 1 n i displaystyle propto gamma i dots 2 cdot 1 langle n i rangle nbsp wahrend beim zugehorigen Vernichtungsoperator der Term 1 displaystyle propto 1 nbsp fehlt Auf diese Weise sind bei tiefen Temperaturen die letztgenannten Terme in der Regel wichtiger als die erstgenannten 2 Literatur BearbeitenCohen Tannoudji Diu Laloe Quantenmechanik 1 2 de Gruyter Berlin Nolting Grundkurs theoretische Physik Bd 5 1 Quantenmechanik Springer BerlinSiehe auch BearbeitenFockraumBelege Bearbeiten Siehe das Kapitel uber zeitabhangige Storungsrechnung in den meisten Standardlehrbuchern der Quantenmechanik II Siehe z B Hermann Haken Quantenfeldtheorie des Festkorpers Teubner 1973 ISBN 3 519 03025 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erzeugungs und Vernichtungsoperator amp oldid 234486520
