Dieser Artikel beschreibt das Kronecker Symbol im Kontext quadratischer Reste in der Zahlentheorie Fur das Delta Symbol d i j displaystyle delta ij von Kronecker siehe Kronecker Delta In der Mathematik ist das Kronecker Symbol eine Verallgemeinerung des Jacobi Symbols n m displaystyle left frac n m right auf beliebige ganzzahlige m displaystyle m Es wurde von dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker eingefuhrt 1 und wird daher nach ihm benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Quadratische Reziprozitat 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei m displaystyle m nbsp eine ganze Zahl ungleich 0 mit der Primfaktorzerlegung m u p 1 e 1 p k e k displaystyle m u cdot p 1 e 1 cdots p k e k nbsp wobei u displaystyle u nbsp eine Einheit ist d h u 1 displaystyle u pm 1 nbsp und die p i displaystyle p i nbsp Primzahlen bezeichnen Ist n displaystyle n nbsp eine ganze Zahl so ist das Kronecker Symbol n m displaystyle left frac n m right nbsp definiert durch n m n u i 1 k n p i e i displaystyle left frac n m right left frac n u right prod i 1 k left frac n p i right e i nbsp Fur ungerade p i displaystyle p i nbsp ist die Zahl n p i displaystyle left frac n p i right nbsp einfach das gewohnliche Legendre Symbol Der Fall p i 2 displaystyle p i 2 nbsp ist getrennt zu betrachten Wir definieren n 2 displaystyle left frac n 2 right nbsp durch n 2 0 falls n gerade 1 falls n 1 mod 8 1 falls n 3 mod 8 displaystyle left frac n 2 right begin cases 0 amp mbox falls n mbox gerade 1 amp mbox falls n equiv pm 1 pmod 8 1 amp mbox falls n equiv pm 3 pmod 8 end cases nbsp Der Faktor n u displaystyle left frac n u right nbsp in der Definitionsgleichung ist fur u 1 displaystyle u 1 nbsp gleich 1 displaystyle 1 nbsp Jacobi Symbol Fur u 1 displaystyle u 1 nbsp definiert man n 1 1 falls n lt 0 1 falls n 0 displaystyle left frac n 1 right begin cases 1 amp mbox falls n lt 0 1 amp mbox falls n geq 0 end cases nbsp Schliesslich setzt man noch n 0 1 falls n 1 0 sonst displaystyle left frac n 0 right begin cases 1 amp text falls n pm 1 0 amp text sonst end cases nbsp Durch diese Erweiterungen lasst sich das Kronecker Symbol fur alle ganzen Zahlen n m displaystyle n m nbsp definieren Bei einigen Autoren wird das Kronecker Symbol nur unter einschrankenden Voraussetzungen definiert beispielsweise n 0 1 mod 4 displaystyle n equiv 0 1 bmod 4 nbsp und m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp Fur ungerades m displaystyle m nbsp stimmt das Kronecker Symbol mit dem Jacobi Symbol uberein Eigenschaften BearbeitenDas Kronecker Symbol teilt mit gewissen Einschrankungen viele grundlegende Eigenschaften mit dem Jacobi Symbol a n 1 displaystyle left tfrac a n right pm 1 nbsp falls g g T a n 1 displaystyle mathop rm ggT a n 1 nbsp sonst a n 0 displaystyle left tfrac a n right 0 nbsp a b n a n b n displaystyle left tfrac ab n right left tfrac a n right left tfrac b n right nbsp ausser wenn n 1 displaystyle n 1 nbsp gilt und eine der Zahlen a b displaystyle a b nbsp gleich 0 ist und die andere negativ a m n a m a n displaystyle left tfrac a mn right left tfrac a m right left tfrac a n right nbsp ausser wenn a 1 displaystyle a 1 nbsp gilt und eine der Zahlen m n displaystyle m n nbsp gleich 0 ist und die andere einen ungeraden Anteil siehe unten kongruent zu 3 mod 4 displaystyle 3 bmod 4 nbsp besitzt Fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp gilt a n b n displaystyle left tfrac a n right left tfrac b n right nbsp wenn a b mod 4 n falls n 2 mod 4 n sonst displaystyle a equiv b bmod begin cases 4n amp text falls n equiv 2 pmod 4 n amp text sonst end cases nbsp Wenn a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp das gleiche Vorzeichen haben gilt diese Aussage auch fur n lt 0 displaystyle n lt 0 nbsp Fur a 3 mod 4 displaystyle a not equiv 3 pmod 4 nbsp a 0 displaystyle a neq 0 nbsp gilt a m a n displaystyle left tfrac a m right left tfrac a n right nbsp wenn m n mod 4 a falls a 2 mod 4 a sonst displaystyle m equiv n bmod begin cases 4 a amp text falls a equiv 2 pmod 4 a amp text sonst end cases nbsp Zu beachten ist dass das Kronecker Symbol nicht die gleiche Verbindung zum Begriff des quadratischen Rests hat wie das Jacobi Symbol Insbesondere kann fur gerades n displaystyle n nbsp das Kronecker Symbol a n displaystyle left tfrac a n right nbsp Werte annehmen die unabhangig davon sind ob a displaystyle a nbsp ein quadratischer Rest oder Nichtrest modulo n displaystyle n nbsp ist Quadratische Reziprozitat Bearbeiten Das Kronecker Symbol erfullt die folgende Version des quadratischen Reziprozitatsgesetzes Fur jede ganze Zahl n 0 displaystyle n neq 0 nbsp bezeichne n displaystyle n nbsp den ungeraden Anteil n 2 e n displaystyle n 2 e n nbsp mit ungeradem n displaystyle n nbsp fur n 0 displaystyle n 0 nbsp wird n 1 displaystyle n 1 nbsp gesetzt Dann gilt die folgende symmetrische Version des quadratischen Reziprozitatsgesetzes fur jedes Paar von teilerfremden ganzen Zahlen m n displaystyle m n nbsp m n n m 1 m 1 2 n 1 2 displaystyle left frac m n right left frac n m right pm 1 frac m 1 2 frac n 1 2 nbsp Dabei gilt das Pluszeichen von displaystyle pm nbsp falls m 0 displaystyle m geq 0 nbsp oder n 0 displaystyle n geq 0 nbsp zutrifft und das Minuszeichen falls m lt 0 displaystyle m lt 0 nbsp und n lt 0 displaystyle n lt 0 nbsp Es gibt auch eine unsymmetrische Version der quadratischen Reziprozitat die fur jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen m n displaystyle m n nbsp richtig ist m n n m 1 m 1 2 n 1 2 displaystyle left frac m n right left frac n m right 1 frac m 1 2 frac n 1 2 nbsp Fur eine beliebige ganze Zahl n displaystyle n nbsp sei n 1 n 1 2 n displaystyle n 1 n 1 2 n nbsp Dann gibt es eine weitere aquivalente unsymmetrische Version nach der m n n m displaystyle left frac m n right left frac n m right nbsp fur beliebige ganze Zahlen m n displaystyle m n nbsp nicht notwendig teilerfremd gilt Die Erganzungssatze lassen sich ebenfalls fur das Kronecker Symbol verallgemeinern Diese Gesetze folgen unmittelbar aus jeder der obigen Formulierungen des quadratischen Reziprozitatsgesetzes anders als beim Legendre Symbol oder beim Jacobi Symbol bei denen sowohl das grundlegende Gesetz als auch die Erganzungssatze benotigt werden um die quadratische Reziprozitat vollstandig zu beschreiben Fur eine beliebige ganze Zahl n displaystyle n nbsp gilt 1 n 1 n 1 2 displaystyle left frac 1 n right 1 frac n 1 2 nbsp fur eine beliebige ungerade ganze Zahl n displaystyle n nbsp 2 n 1 n 2 1 8 displaystyle left frac 2 n right 1 frac n 2 1 8 nbsp Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Kronecker Symbol In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Leopold Kronecker Zur Theorie der elliptischen Functionen Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin Jahrgang 1885 S 770 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kronecker Symbol amp oldid 235142612
