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Adjungierter Operator In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator T displaystyle T ein a

Adjungierter Operator

In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator ein adjungierter Operator (manchmal auch dualer Operator) definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei Vektorräumen mit gemeinsamem Grundkörper definiert werden. Adjungierte Operatoren werden allerdings häufig nur auf Hilberträumen betrachtet, also beispielsweise (endlichdimensionalen) euklidischen Räumen. Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren, bei komplexen Einträgen dem (komplex) Konjugieren und Transponieren der Ausgangsmatrix. In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird daher, in Analogie zur Matrixtheorie, der adjungierte Operator in der Regel nicht mit , sondern mit bezeichnet.

Definition Bearbeiten

In diesem Abschnitt wird die Adjungierte eines Operators zwischen Hilberträumen definiert. Der erste Unterabschnitt beschränkt sich auf beschränkte Operatoren. Im zweiten Abschnitt wird das Konzept auf unbeschränkte Operatoren erweitert.

Beschränkte Operatoren Bearbeiten

Seien und Hilberträume und ein linearer beschränkter Operator. Der adjungierte Operator ist durch die Gleichung

definiert.

Alternativ kann für jedes die Abbildung betrachtet werden. Dies ist ein auf dem ganzen Hilbertraum definiertes, lineares stetiges Funktional. Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz besagt, dass für jedes stetige lineare Funktional ein eindeutig bestimmtes Element existiert, sodass für alle gilt. Also insgesamt existiert für jedes genau ein Element mit . Nun wird gesetzt. Diese Konstruktion ist äquivalent zu obiger Definition.

Unbeschränkte Operatoren Bearbeiten

Seien und Hilberträume. Mit wird der Definitionsbereich des linearen unbeschränkten Operators bezeichnet. Die Operatoren und heißen zueinander formal adjungiert, falls

für alle und gilt. Unter diesen Voraussetzungen ist im Allgemeinen nicht eindeutig durch gegeben. Ist dicht definiert, so existiert ein zu maximaler, formal adjungierter Operator . Diesen nennt man den adjungierten Operator von .

Beispiele Bearbeiten

  • Wählt man als Hilbertraum den endlichdimensionalen unitären Vektorraum , so kann ein stetiger linearer Operator auf diesem Hilbertraum durch eine Matrix dargestellt werden. Der dazu adjungierte Operator wird dann durch die entsprechende adjungierte Matrix dargestellt. Daher ist der adjungierte Operator eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix.
  • In diesem Beispiel wird der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen betrachtet. Mit einer entsprechenden Funktion (beispielsweise ) ist der Integraloperator
stetig auf . Sein adjungierter Operator lautet
Dabei ist das komplex Konjugierte von .

Eigenschaften Bearbeiten

Sei dicht definiert. Dann gilt:

  • Ist dicht, so ist , das heißt und auf
  • . Dabei steht Ker für den Kern des Operators und Ran (für Range) für den Bildraum.
  • ist genau dann beschränkt, wenn beschränkt ist. In diesem Fall gilt
  • Ist beschränkt, so ist die eindeutige Fortsetzung von auf

Sei dicht definiert. Der Operator ist definiert durch für . Ist dicht definiert, so ist . Ist beschränkt, so gilt sogar die Gleichheit.

Seien ein Hilbertraum und . Dann wird die Hintereinanderausführung beziehungsweise Komposition von und definiert durch für . Ist dicht definiert, so gilt . Ist beschränkt, erhält man .

Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren Bearbeiten

Ein linearer Operator heißt

Außerdem gibt es noch den Begriff des hermiteschen Operators. Dieser wird vor allem in der Physik verwendet, jedoch nicht einheitlich definiert.

Verallgemeinerung auf Banachräume Bearbeiten

Adjungierte Operatoren können auch allgemeiner auf Banachräumen definiert werden. Für einen Banachraum bezeichnet den topologischen Dualraum. Im Folgenden wird mittels für und die duale Paarung bezeichnet. Seien und Banachräume und sei ein stetiger, linearer Operator. Der adjungierte Operator

wird definiert durch

Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilberträumen zu unterscheiden, werden diese oft mit einem statt mit einem notiert.

Ist der Operator jedoch nicht stetig aber dicht definiert, so definiert man den adjungierten Operator

durch

Der Operator ist stets abgeschlossen, wobei möglich ist. Ist ein reflexiver Banachraum und , dann ist genau dann dicht definiert, wenn abschließbar ist. Insbesondere gilt dann .

Abweichende Konventionen Bearbeiten

Insbesondere im linearen komplexen Fall wird für den dualen Operator statt auch (Transposition und Übergang zum Konjugiert-Komplexen) genutzt, um eine Verwechslung mit für die komplex konjugierte Matrix zu vermeiden. Letztere wird auch mit beschrieben, was aber von Physikern eher für die Mittelwertbildung reserviert ist.

Literatur Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator T displaystyle T ein adjungierter Operator manchmal auch dualer Operator T displaystyle T definiert werden Lineare Operatoren konnen zwischen zwei Vektorraumen mit gemeinsamem Grundkorper K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C definiert werden Adjungierte Operatoren werden allerdings haufig nur auf Hilbertraumen betrachtet also beispielsweise endlichdimensionalen euklidischen Raumen Auf endlichdimensionalen Raumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix In der Matrizenrechnung mit reellen Eintragen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren bei komplexen Eintragen dem komplex Konjugieren und Transponieren der Ausgangsmatrix In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird daher in Analogie zur Matrixtheorie der adjungierte Operator in der Regel nicht mit T displaystyle T ast sondern mit T displaystyle T dagger bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Beschrankte Operatoren 1 2 Unbeschrankte Operatoren 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren 5 Verallgemeinerung auf Banachraume 6 Abweichende Konventionen 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIn diesem Abschnitt wird die Adjungierte eines Operators zwischen Hilbertraumen definiert Der erste Unterabschnitt beschrankt sich auf beschrankte Operatoren Im zweiten Abschnitt wird das Konzept auf unbeschrankte Operatoren erweitert Beschrankte Operatoren Bearbeiten Seien H 1 displaystyle H 1 nbsp und H 2 displaystyle H 2 nbsp Hilbertraume und T H 1 H 2 displaystyle T colon H 1 to H 2 nbsp ein linearer beschrankter Operator Der adjungierte Operator T H 2 H 1 displaystyle T colon H 2 to H 1 nbsp ist durch die Gleichung T x y H 2 x T y H 1 displaystyle langle Tx y rangle H 2 langle x T y rangle H 1 nbsp definiert Alternativ kann fur jedes y H 2 displaystyle y in H 2 nbsp die Abbildung x T x y H 2 displaystyle x mapsto langle Tx y rangle H 2 nbsp betrachtet werden Dies ist ein auf dem ganzen Hilbertraum definiertes lineares stetiges Funktional Der Darstellungssatz von Frechet Riesz besagt dass fur jedes stetige lineare Funktional ein eindeutig bestimmtes Element z H 1 displaystyle z in H 1 nbsp existiert sodass T x y H 2 x z H 1 displaystyle langle Tx y rangle H 2 langle x z rangle H 1 nbsp fur alle x H 1 displaystyle x in H 1 nbsp gilt Also insgesamt existiert fur jedes y H 2 displaystyle y in H 2 nbsp genau ein Element z H 1 displaystyle z in H 1 nbsp mit T x y H 2 x z H 1 displaystyle langle Tx y rangle H 2 langle x z rangle H 1 nbsp Nun wird T y z displaystyle T y z nbsp gesetzt Diese Konstruktion ist aquivalent zu obiger Definition 1 Unbeschrankte Operatoren Bearbeiten Seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Hilbertraume Mit D T displaystyle D T nbsp wird der Definitionsbereich des linearen unbeschrankten Operators T displaystyle T nbsp bezeichnet Die Operatoren T D T X Y displaystyle T colon D T subset X rightarrow Y nbsp und S D S Y X displaystyle S colon D S subset Y rightarrow X nbsp heissen zueinander formal adjungiert falls y T x Y S y x X displaystyle langle y Tx rangle Y langle Sy x rangle X nbsp fur alle x D T displaystyle x in D T nbsp und y D S displaystyle y in D S nbsp gilt Unter diesen Voraussetzungen ist S displaystyle S nbsp im Allgemeinen nicht eindeutig durch T displaystyle T nbsp gegeben Ist T displaystyle T nbsp dicht definiert so existiert ein zu T displaystyle T nbsp maximaler formal adjungierter Operator T displaystyle T nbsp Diesen nennt man den adjungierten Operator von T displaystyle T nbsp Beispiele BearbeitenWahlt man als Hilbertraum den endlichdimensionalen unitaren Vektorraum C n displaystyle mathbb C n nbsp so kann ein stetiger linearer Operator T displaystyle T nbsp auf diesem Hilbertraum durch eine Matrix dargestellt werden Der dazu adjungierte Operator T displaystyle T nbsp wird dann durch die entsprechende adjungierte Matrix dargestellt Daher ist der adjungierte Operator eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix In diesem Beispiel wird der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp betrachtet Mit einer entsprechenden Funktion k 0 1 0 1 R displaystyle k colon 0 1 times 0 1 to mathbb R nbsp beispielsweise k C 0 1 0 1 displaystyle k in C 0 1 times 0 1 nbsp ist der IntegraloperatorT x s 0 1 k s t x t d t displaystyle Tx s int 0 1 k s t x t mathrm d t nbsp dd stetig auf L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp Sein adjungierter Operator T displaystyle T nbsp lautetT y t 0 1 k s t y s d s displaystyle T y t int 0 1 overline k s t y s mathrm d s nbsp dd Dabei ist k s t displaystyle overline k s t nbsp das komplex Konjugierte von k s t displaystyle k s t nbsp Eigenschaften BearbeitenSei T X D T Y displaystyle T colon X supset D T rightarrow Y nbsp dicht definiert Dann gilt Ist D T displaystyle D T nbsp dicht so ist T T displaystyle T subset T nbsp das heisst D T D T displaystyle D T subset D T nbsp und T T displaystyle T T nbsp auf D T displaystyle D T nbsp Ker T Ran T displaystyle operatorname Ker T operatorname Ran T bot nbsp Dabei steht Ker fur den Kern des Operators und Ran fur Range fur den Bildraum T displaystyle T nbsp ist genau dann beschrankt wenn T displaystyle T nbsp beschrankt ist In diesem Fall gilt T T displaystyle T T nbsp Ist T displaystyle T nbsp beschrankt so ist T displaystyle T nbsp die eindeutige Fortsetzung von T displaystyle T nbsp auf X displaystyle X nbsp Sei S X D S Y displaystyle S colon X supset D S rightarrow Y nbsp dicht definiert Der Operator T S displaystyle T S nbsp ist definiert durch T S x T x S x displaystyle T S x Tx Sx nbsp fur x D T S D T D S displaystyle x in D T S D T cap D S nbsp Ist T S displaystyle T S nbsp dicht definiert so ist T S T S displaystyle T S supset T S nbsp Ist T displaystyle T nbsp beschrankt so gilt sogar die Gleichheit Seien Z displaystyle Z nbsp ein Hilbertraum und S Y D S Z displaystyle S Y supset D S rightarrow Z nbsp Dann wird die Hintereinanderausfuhrung beziehungsweise Komposition T S displaystyle TS nbsp von T displaystyle T nbsp und S displaystyle S nbsp definiert durch T S x T S x displaystyle TSx T Sx nbsp fur x D T S x D S S x D T displaystyle x in D TS x in D S Sx in D T nbsp Ist T S displaystyle TS nbsp dicht definiert so gilt T S S T displaystyle TS supset S T nbsp Ist T displaystyle T nbsp beschrankt erhalt man T S S T displaystyle TS S T nbsp Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren BearbeitenEin linearer Operator T X D T X displaystyle T colon X supset D T rightarrow X nbsp heisst symmetrisch oder formal selbstadjungiert falls T x y x T y displaystyle langle Tx y rangle langle x Ty rangle nbsp fur alle x y D T displaystyle x y in D T nbsp gilt wesentlich selbstadjungiert falls T displaystyle T nbsp symmetrisch dicht definiert und seine Abschliessung selbstadjungiert ist selbstadjungiert falls T displaystyle T nbsp dicht definiert und T T displaystyle T T nbsp gilt Ausserdem gibt es noch den Begriff des hermiteschen Operators Dieser wird vor allem in der Physik verwendet jedoch nicht einheitlich definiert Verallgemeinerung auf Banachraume BearbeitenAdjungierte Operatoren konnen auch allgemeiner auf Banachraumen definiert werden Fur einen Banachraum X displaystyle X nbsp bezeichnet X displaystyle X nbsp den topologischen Dualraum Im Folgenden wird mittels x x x x displaystyle langle x x rangle x x nbsp fur x X displaystyle x in X nbsp und x X displaystyle x in X nbsp die duale Paarung bezeichnet Seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Banachraume und sei T X Y displaystyle T colon X rightarrow Y nbsp ein stetiger linearer Operator Der adjungierte Operator T Y X displaystyle T colon Y to X nbsp wird definiert durch y x y T x displaystyle y mapsto x mapsto y Tx nbsp Um diesen adjungierten Operator von den adjungierten Operatoren auf Hilbertraumen zu unterscheiden werden diese oft mit einem displaystyle nbsp statt mit einem displaystyle nbsp notiert Ist der Operator T D T X Y displaystyle T D T subset X to Y nbsp jedoch nicht stetig aber dicht definiert so definiert man den adjungierten Operator T D T Y X displaystyle T colon D T subset Y to X nbsp durch D T y Y x X T x y x x x D T T y x fur x D T displaystyle begin aligned D T amp y in Y exists x in X langle Tx y rangle langle x x rangle forall x in D T T y amp x text fur x in D T end aligned nbsp Der Operator T displaystyle T nbsp ist stets abgeschlossen wobei D T 0 displaystyle D T 0 nbsp moglich ist Ist X displaystyle X nbsp ein reflexiver Banachraum und Y X displaystyle Y X nbsp dann ist T displaystyle T nbsp genau dann dicht definiert wenn T displaystyle T nbsp abschliessbar ist Insbesondere gilt dann T T displaystyle T overline T nbsp Abweichende Konventionen BearbeitenInsbesondere im linearen komplexen Fall wird fur den dualen Operator statt T displaystyle T nbsp auch T displaystyle T dagger nbsp Transposition und Ubergang zum Konjugiert Komplexen genutzt um eine Verwechslung mit T displaystyle T nbsp fur die komplex konjugierte Matrix zu vermeiden Letztere wird auch mit T displaystyle overline T nbsp beschrieben was aber von Physikern eher fur die Mittelwertbildung reserviert ist Literatur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6Einzelnachweise Bearbeiten Dirk Werner Funktionalanalysis 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 S 236 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Adjungierter Operator amp oldid 223846865