Dieser Artikel behandelt die Konjugation komplexer Zahlen Fur Konjugation in Gruppen siehe Konjugation Gruppentheorie In der Mathematik bezeichnet die Konjugation die Abbildung einer komplexen Zahl als eine Zahl mit gleichem Realteil und einem Imaginarteil mit gleichem Betrag aber entgegengesetztem Vorzeichen Sie ist definiert als Der blaue Zeiger im oberen Bildteil beschreibt die komplexe Zahl z a b i displaystyle z a b mathrm i in der komplexen Zahlenebene Gausssche Zahlenebene Die komplexe Konjugierte z a b i displaystyle bar z a b mathrm i entsteht durch Spiegelung an der x Achse unterer blauer Zeiger Die gestrichelten Linien sollen die reellen und imaginaren Anteile andeuten C C z a b i z a b i displaystyle mathbb C to mathbb C quad z a b cdot mathrm i mapsto bar z a b cdot mathrm i mit a b R displaystyle a b in mathbb R im Korper der komplexen Zahlen Sie ist ein Korperautomorphismus von C displaystyle mathbb C also mit der Addition und Multiplikation vertraglich y z y z y z y z displaystyle overline y z bar y bar z quad overline y cdot z bar y cdot bar z Die Zahl z a b i displaystyle bar z a b cdot mathrm i wird als die zu z a b i displaystyle z a b cdot mathrm i komplex konjugierte bzw konjugiert komplexe 1 Zahl oder kurz Konjugierte bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Schreibweisen 3 Rechenregeln 4 Anwendung 5 Komplexe Konjugation bei Matrizen 6 Verallgemeinerung 7 EinzelnachweiseAllgemeines BearbeitenIn der Exponentialform ist die Konjugierte der Zahl z r e i f r cos f i sin f displaystyle z re mathrm i varphi r cos varphi mathrm i sin varphi nbsp die Zahl z r e i f r cos f i sin f displaystyle bar z re mathrm i varphi r cos varphi mathrm i sin varphi nbsp 2 Sie hat also bei unverandertem Betrag den im Vorzeichen entgegengesetzten Winkel von z displaystyle z nbsp Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren Insbesondere werden bei der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet Schreibweisen BearbeitenEine alternative Schreibweise fur z displaystyle overline z nbsp ist z displaystyle z nbsp welche vor allem in der Physik genauer in der Quantenmechanik gebrauchlich ist mit ps x t displaystyle psi vec x t nbsp wird die zu ps x t displaystyle psi vec x t nbsp konjugierte Wellenfunktion bezeichnet Diese Schreibweise wird auch bei adjungierten Matrizen A A T displaystyle A overline A T nbsp gebraucht fur die in der Quantenmechanik wiederum die Schreibweise A displaystyle A dagger nbsp gebrauchlich ist Rechenregeln BearbeitenFur alle komplexen Zahlen z 1 z 2 z a b i C displaystyle z 1 z 2 z a b mathrm i in mathbb C nbsp gilt 3 a R e z 1 2 z z displaystyle a mathrm Re z frac 1 2 z overline z nbsp b I m z 1 2 i z z displaystyle b mathrm Im z frac 1 2 mathrm i z overline z nbsp z z displaystyle overline overline z z nbsp z R z z displaystyle z in mathbb R iff overline z z nbsp z z z 2 a 2 b 2 displaystyle z cdot overline z z 2 a 2 b 2 nbsp z 1 z 2 z 1 z 2 displaystyle overline z 1 z 2 overline z 1 overline z 2 nbsp z 1 z 2 z 1 z 2 displaystyle overline z 1 cdot z 2 overline z 1 cdot overline z 2 nbsp z 1 z 2 z 1 z 2 displaystyle overline left frac z 1 z 2 right frac overline z 1 overline z 2 nbsp fur z 2 0 displaystyle z 2 neq 0 nbsp z z displaystyle z overline z nbsp exp z exp z displaystyle exp overline z overline exp z nbsp log z log z displaystyle log overline z overline log z nbsp fur z 0 displaystyle z neq 0 nbsp f z f z displaystyle overline varphi z varphi overline z nbsp gilt allgemein fur jede holomorphe Funktion f displaystyle varphi nbsp deren Einschrankung auf die reelle Achse reellwertig ist Anwendung BearbeitenMit Hilfe der Konjugation konnen die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden Zu z C displaystyle z in mathbb C nbsp mit z 0 displaystyle z neq 0 nbsp istz 1 1 z 1 z z z z z 2 displaystyle z 1 frac 1 z frac 1 z frac bar z bar z frac bar z z 2 nbsp dd das multiplikativ Inverse Fur die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir y z y z z z y z z 2 displaystyle y over z y over z frac bar z bar z frac y bar z z 2 nbsp dd oder ausfuhrlicher a b i c d i a c b d c 2 d 2 b c a d c 2 d 2 i displaystyle frac a b mathrm i c d mathrm i frac ac bd c 2 d 2 frac bc ad c 2 d 2 mathrm i nbsp dd Komplexe Konjugation bei Matrizen BearbeitenDie Konjugierte einer Matrix ist die Matrix deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprunglichen Matrix sind Die Transposition einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird hermitesche Transposition genannt Fur Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der adjungierten Matrix Da die Operation eine einfache Erweiterung der Konjugation von Matrixelementen auf Matrizen ist wird die komplex Konjugierte einer Matrix oft ebenfalls mit einem Oberstrich gekennzeichnet Ein einfaches Rechenbeispiel A 2 i 3 i i 5 3 i 5 i A 2 i 3 i i 5 3 i 5 i displaystyle A begin pmatrix 2 amp mathrm i amp 3 mathrm i mathrm i amp 5 3 mathrm i amp 5 mathrm i end pmatrix Leftrightarrow overline A begin pmatrix 2 amp mathrm i amp 3 mathrm i mathrm i amp 5 3 mathrm i amp 5 mathrm i end pmatrix nbsp Verallgemeinerung BearbeitenIn der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermassen erweitert Zwei uber K displaystyle K nbsp algebraische Elemente einer Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp heissen zueinander konjugiert wenn sie dasselbe Minimalpolynom uber K displaystyle K nbsp haben Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a displaystyle a nbsp in L displaystyle L nbsp heissen Konjugierte von a displaystyle a nbsp in L displaystyle L nbsp Jeder K displaystyle K nbsp Automorphismus von L displaystyle L nbsp d h ein L displaystyle L nbsp Automorphismus der K displaystyle K nbsp punktweise festhalt bildet a displaystyle a nbsp auf eine seiner Konjugierten ab Analog definiert man Konjugiertheit von Elementen und Idealen bezuglich einer Ringerweiterung Einzelnachweise Bearbeiten Gerhard Merziger Thomas Wirth Repetitorium der hoheren Mathematik 5 Auflage Binomi 2006 ISBN 978 3 923923 33 5 S 98 Bronstein Semendjajew Musiol Muhlig Taschenbuch der Mathematik Verlag Harri Deutsch S 36 T Arens F Hettlich Ch Karpfinger U Kockelkorn K Lichtenegger H Stachel Mathematik Spektrum Akademischer Verlag S 125 127 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konjugation Mathematik amp oldid 232991617
