Algebraisches Element Die mathematischen Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Alge

Algebraisches Element

Die mathematischen Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen.

Definition Bearbeiten

Sei eine Körpererweiterung, ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in gibt, das als Nullstelle hat.

Ein Element aus , das nicht algebraisch über ist, heißt transzendent über .

Beispiele Bearbeiten

Eine komplexe Zahl ist genau dann eine algebraische Zahl, wenn sie ein algebraisches Element in der Körpererweiterung ist.
Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über , denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms , dessen Koeffizienten rational sind.
Die Kreiszahl und die Eulersche Zahl sind transzendent über . Sie sind aber algebraisch über , weil sie als reelle Zahlen definiert sind. Allgemeiner gilt:
Jedes Element des Körpers ist algebraisch über , denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms .
Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über .
Aus der Galoistheorie folgt aber, dass es umgekehrt über algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.
Über dem Körper der p-adischen Zahlen ist (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für ist und für ist in enthalten.
Bildet man zu einem beliebigen Körper den Körper der formalen Laurentreihen , so ist die formale Variable ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

Eigenschaften Bearbeiten

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element aus (einem Oberkörper von ):

ist algebraisch über .
Die Körpererweiterung hat endlichen Grad, d. h., ist als -Vektorraum endlichdimensional.

Dabei ist die Ringadjunktion von an , die aus allen Elementen von besteht, die sich als mit einem Polynom über schreiben lassen. ist dessen Quotientenkörper in und besteht aus allen Elementen von , die sich als mit Polynomen und über ( ungleich dem Nullpolynom) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über algebraischen Elementen wieder algebraisch über sind. Die Menge aller über algebraischen Elemente von bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung , den sogenannten algebraischen Abschluss in . Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem algebraischen Abschluss von .

Minimalpolynom Bearbeiten

Ist algebraisch über , dann gibt es genau ein normiertes Polynom aus mit kleinstem Grad und Nullstelle , dieses heißt „das Minimalpolynom von über “. Man bezeichnet auch als algebraisches Element vom Grad bezüglich . hat als Vektorraum über die Dimension , eine mögliche Basis ist . Also ist der Erweiterungsgrad von ebenfalls gleich .

Beispiel Bearbeiten

ist ein algebraisches Element vom Grad 4 über , denn aus

ergibt sich das Minimalpolynom

also ein Polynom 4. Grades. Damit ist eine Basis von als Vektorraum über . Eine andere mögliche Basis ist , d. h.,

und ist eine Körpererweiterung vom Grad 4.

Verallgemeinerung Bearbeiten

In Ringerweiterungen kann der Begriff des ganzen Elementes definiert werden. Fasst man eine Körpererweiterung als Ringerweiterung auf, so ist ein Element dort genau dann ganz, wenn es ein algebraisches Element der Körpererweiterung ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.2.10.
Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.3.3 und Satz 6.3.4.
Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 6.3.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 13:08 pm

Die mathematischen Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Minimalpolynom 5 Beispiel 6 Verallgemeinerung 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei L K displaystyle L K nbsp eine Korpererweiterung a L displaystyle a in L nbsp ein Element Dann heisst a displaystyle a nbsp algebraisch uber K displaystyle K nbsp wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in K displaystyle K nbsp gibt das a displaystyle a nbsp als Nullstelle hat Ein Element aus L displaystyle L nbsp das nicht algebraisch uber K displaystyle K nbsp ist heisst transzendent uber K displaystyle K nbsp 1 Beispiele BearbeitenEine komplexe Zahl ist genau dann eine algebraische Zahl wenn sie ein algebraisches Element in der Korpererweiterung C Q displaystyle mathbb C mathbb Q nbsp ist Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch uber Q displaystyle mathbb Q nbsp denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms X 2 2 displaystyle X 2 2 nbsp dessen Koeffizienten rational sind Die Kreiszahl p displaystyle pi nbsp und die Eulersche Zahl e displaystyle e nbsp sind transzendent uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Sie sind aber algebraisch uber R displaystyle mathbb R nbsp weil sie als reelle Zahlen definiert sind Allgemeiner gilt Jedes Element a displaystyle a nbsp des Korpers K displaystyle K nbsp ist algebraisch uber K displaystyle K nbsp denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms X a displaystyle X a nbsp Jede komplexe Zahl die sich durch rationale Zahlen die Grundrechenarten Addition Subtraktion Multiplikation und Division sowie durch Wurzelziehen mit naturlichen Wurzelexponenten bilden lasst ist algebraisch uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Aus der Galoistheorie folgt aber dass es umgekehrt uber Q displaystyle mathbb Q nbsp algebraische Zahlen gibt die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen vergleiche hierzu den Satz von Abel Ruffini Uber dem Korper Q p displaystyle mathbb Q p nbsp der p adischen Zahlen ist e displaystyle e nbsp als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultaten algebraisch denn fur p gt 2 displaystyle p gt 2 nbsp ist e p displaystyle e p nbsp und fur p 2 displaystyle p 2 nbsp ist e 4 displaystyle e 4 nbsp in Q p displaystyle mathbb Q p nbsp enthalten Bildet man zu einem beliebigen Korper K displaystyle K nbsp den Korper der formalen Laurentreihen K X displaystyle K X nbsp so ist die formale Variable X displaystyle X nbsp ein transzendentes Element dieser Erweiterung Eigenschaften BearbeitenDie folgenden Bedingungen sind aquivalent fur ein Element a displaystyle a nbsp aus L displaystyle L nbsp einem Oberkorper von K displaystyle K nbsp 2 a displaystyle a nbsp ist algebraisch uber K displaystyle K nbsp Die Korpererweiterung K a K displaystyle K a K nbsp hat endlichen Grad d h K a displaystyle K a nbsp ist als K displaystyle K nbsp Vektorraum endlichdimensional K a K a displaystyle K a K a nbsp Dabei ist K a displaystyle K a nbsp die Ringadjunktion von a displaystyle a nbsp an K displaystyle K nbsp die aus allen Elementen von L displaystyle L nbsp besteht die sich als g a displaystyle g a nbsp mit einem Polynom g displaystyle g nbsp uber K displaystyle K nbsp schreiben lassen K a displaystyle K a nbsp ist dessen Quotientenkorper in L displaystyle L nbsp und besteht aus allen Elementen von L displaystyle L nbsp die sich als g a h a displaystyle g a h a nbsp mit Polynomen g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp uber K displaystyle K nbsp h a displaystyle h a nbsp ungleich dem Nullpolynom schreiben lassen Diese Charakterisierung kann genutzt werden um zu zeigen dass Summe Differenz Produkt und Quotient von uber K displaystyle K nbsp algebraischen Elementen wieder algebraisch uber K displaystyle K nbsp sind Die Menge aller uber K displaystyle K nbsp algebraischen Elemente von L displaystyle L nbsp bildet einen Zwischenkorper der Erweiterung L K displaystyle L K nbsp den sogenannten algebraischen Abschluss in L displaystyle L nbsp Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem algebraischen Abschluss von K displaystyle K nbsp Minimalpolynom Bearbeiten Hauptartikel Minimalpolynom Ist a displaystyle a nbsp algebraisch uber K displaystyle K nbsp dann gibt es genau ein normiertes Polynom aus K X displaystyle K X nbsp mit kleinstem Grad n N displaystyle n in mathbb N nbsp und Nullstelle a displaystyle a nbsp dieses heisst das Minimalpolynom von a displaystyle a nbsp uber K displaystyle K nbsp Man bezeichnet a displaystyle a nbsp auch als algebraisches Element vom Grad n displaystyle n nbsp bezuglich K displaystyle K nbsp K a displaystyle K a nbsp hat als Vektorraum uber K displaystyle K nbsp die Dimension n displaystyle n nbsp eine mogliche Basis ist 1 a a 2 a n 1 displaystyle 1 a a 2 dotsc a n 1 nbsp Also ist der Erweiterungsgrad von K a K displaystyle K a K nbsp ebenfalls gleich n displaystyle n nbsp 3 Beispiel Bearbeitena 2 3 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Korpererweiterung als Ringerweiterung auf so ist ein Element dort genau dann ganz wenn es ein algebraisches Element der Korpererweiterung ist Einzelnachweise Bearbeiten Kurt Meyberg Algebra II Carl Hanser Verlag 1976 ISBN 3 446 12172 2 Definition 6 2 10 Kurt Meyberg Algebra II Carl Hanser Verlag 1976 ISBN 3 446 12172 2 Satz 6 3 3 und Satz 6 3 4 Kurt Meyberg Algebra II Carl Hanser Verlag 1976 ISBN 3 446 12172 2 Kapitel 6 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraisches Element amp oldid 231112072