Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Ein Dividend wird durch einen Divisor geteilt, das Resultat wird Quotient genannt. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden der Doppelpunkt (Rechnen mit Zahlen, in der Mathematik wird das Zeichen in anderer Bedeutung verwendet), das Obelus-Zeichen (Taschenrechner, Tastaturen), der Schrägstrich (häufig mit Hochstellung des Dividenden und Tiefstellung des Divisors wie in ½) und die Bruchstrich-Schreibweise verwendet (Vorzugsschreibweise bei komplexeren Ausdrücken, siehe auch Geteiltzeichen).
Definition
Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element.
Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt ergibt: Finde zu gegebenem und ein , sodass !
Beschränkt man sich auf ganze Zahlen , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).
In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reelle Zahlen sowie der komplexen Zahlen , gilt dagegen:
Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses . Man schreibt
Dabei heißen:
- Die Zahl , die geteilt wird, Dividend (lateinisch „die zu Teilende“ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch Zähler.
- Die Zahl , durch die geteilt wird, Teiler oder Divisor (lateinisch „der, der teilt“), in der Bruchrechnung auch Nenner.
- Der Term Quotient.
- Das Ergebnis der Division Wert des Quotienten oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.
Merkhilfen:
- Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
- Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)
Die Bruchzahlen können also als Paare von ganzen Zahlen aufgefasst werden.
Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner eines Bruches entfernt, wobei sich der Wert des Bruches nicht ändert, z. B. ist . Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, entsteht ein Bruch, der nicht weiter kürzbar ist. Zum Beispiel ist , also
Ein Bruch mit Zähler und Nenner , bei dem ist, ist nicht weiter kürzbar. Er wird voll gekürzt oder auch vollständig oder maximal gekürzter Bruch genannt. Die Komponenten des Paares werden eindeutig durch die zusätzliche Festlegung des Vorzeichens des Nenners, also insgesamt durch die Maßgaben:
- und ,
- .
Eine derartige Wahl von Zähler und Nenner wird als Standarddarstellung des Bruches angesehen.
Die Umkehrung des Kürzens ist das Erweitern der Bruchzahl, also die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl. Dabei wird der Wert der Bruchzahl genauso wenig geändert wie beim Kürzen.
Eigenschaften
Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt
Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben, da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt
Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.
Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich
Beispiel
Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?
Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der den Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.
Mathematischer Beweis
Sei ein Ring mit Nullelement .
Bei der „Division durch null“ ist der bekannte Faktor (Divisor) , also wird gefragt:
Ist der Nullring, besteht also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung , denn es ist, weil es nichts anderes gibt, , und damit , wie gefordert. Überdies ist die einzige Lösung.
Im Folgenden ist generell angenommen, dass mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist.
Gesucht sind zu einem Ringelement Lösungen der Gleichung .
- 1. Fall: :
- 2. Fall: :
Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus – gelten.
Bemerkungen
- Hat der Ring Nullteiler, wie z. B. der Ring der Restklassen modulo 6 die Reste , dann
- lässt sich die Gleichung nicht für jedes lösen.
Beispiel: hat keine Lösung in , weil den Rest nicht enthält. - kann eine Gleichung mit mehrere Lösungen haben.
Beispiel: hat die drei Lösungen .
- lässt sich die Gleichung nicht für jedes lösen.
- In der wissenschaftlichen mathematischen Literatur wird die Division durch null nur dann erwähnt, wenn diese selbst das Thema des Kapitels ist.
Division durch null im Computer
Insbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird – genauer: dass null als (rechter) Operand des Divisionszeichens eingetippt wird. Das Ziel der Implementierungen ist dann,
- den Benutzer/Programmierer auf das Ereignis aufmerksam zu machen und
- ein (Zwischen-)Ergebnis abzuliefern, mit dem das aussichtsreichste Weiterrechnen erwartet werden kann.
Festkomma
Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet, kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.
Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.
Gleitkomma
Geschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d. h., das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ bzw. „Minus Unendlich“ gesetzt. Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z. B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, sodass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. (Der Artikel Permanenzprinzip erörtert verschiedene Konzepte, wie unter geringstmöglichem Verzicht auf Rechenregeln – bspw. auf Ringaxiome und Ordnungsrelationen – eine „Division durch null“ definiert werden könnte.)
Ist 1 : 0 = ∞?
Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber
- Durch die Einführung eines „Wertes“ wird die Ringstruktur und ihre Arithmetik – wie oben gezeigt – aufgegeben. Weiterreichende Konsequenzen sind die nunmehr auftauchenden unbestimmten Ausdrücke, (zu denen die Ausdrücke vom Typ eigentlich schon gehören und) die allesamt einer Spezialbehandlung bedürfen.
- Durch die Methode der Grenzwertbildung kommt ein neues (über die Arithmetik hinausgehendes, nämlich ein topologisches) mathematisches Konzept zum Tragen, mit dem in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man aber diese Methode auf das Beispiel an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert, also
Wie das Beispiel zeigt, kommen zusätzliche Probleme betreffend die bei den Strukturen und wichtige Ordnungsrelation hinzu.
Wenn man der Division unbedingt immer (auch der Division durch null) einen Wert zuweisen möchte, dann muss dieser auch die bei der Division sonst übliche Eindeutigkeit besitzen, eine Festlegung auf einen solchen ist bei jeder Wahl unbefriedigend und die Zuweisung einer Lösungsmenge ebenso.
Resümee
- Die Komplikationen, die mit einer Einführung eines „Wertes“ für einhergehen, sind in jeder Hinsicht (insbesondere Einschränkung der Gültigkeit der Arithmetik, daraus resultierende Aufblähung der erforderlichen Rechenregeln, Mehrdeutigkeit) wesentlich nachteiliger als die einfache Anerkenntnis der einfachen Tatsache, dass Gleichungen vom Typ keine Lösung haben.
Vielmehr ergeben sich viele neue Probleme, die mit einem derartigen Kalkül nicht sachgerecht behandelt werden können. - Abhängig vom gegebenen Fall gelingt es häufig, mit Methoden der Analysis (Regel von de L’Hospital) unter Hinzunahme zusätzlicher Informationen – bspw. Monotonie und Stetigkeit – zu einer fundierten Lösung zu kommen, die nur noch ganz entfernt an eine „Division durch null“ erinnert.
Division mit Rest
Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, ein Rest bleibt übrig.
Gesetzmäßigkeiten der Division
Teilbarkeitsregeln durch 0 bis 12 im Dezimalsystem
Mit den nachfolgenden Teilbarkeitsregeln für Teiler von bis (formuliert für Dezimaldarstellungen) erhält man ganzzahlige Ergebnisse.
- Durch darf man nicht teilen. Auch der Nenner eines Bruches, auch wenn er Variablen enthält, wie z. B. in der Gleichung , darf nicht ergeben. Dividiert man durch eine beliebige Zahl (), so ist das Ergebnis wieder . Für die Division ist kein Ergebnis definiert.
- Eine beliebige Zahl außer der durch sich selbst geteilt ergibt .
- Ungerade Zahlen (die letzte Ziffer ist eine oder ) sind ohne Rest nur durch andere ungerade Zahlen teilbar.
- Primzahlen sind nur durch sich selbst (ergibt ) oder durch teilbar (ergibt die Ausgangszahl).
- Jede Zahl ist durch teilbar. Ihr Wert ändert sich durch diese Division nicht .
- Jede gerade Zahl (die letzte Ziffer ist eine oder ) ist durch teilbar.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre Quersumme durch teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern durch teilbar sind.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine oder eine ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, durch und teilbar ist (Primfaktorzerlegung).
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre alternierende er-Quersumme durch teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern durch teilbar sind.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre Quersumme durch teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch teilbar, wenn sie sowohl durch als auch durch teilbar ist.
Vorzeichen
- Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, so ist der Quotient positiv.
- Haben Dividend und Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so ist der Quotient negativ.
Diese beiden Regeln gelten sinngemäß auch für die Multiplikation.
Rechenoperationen
- Bei der Berechnung eines komplexen Terms gilt die Regel Klammer vor Punkt vor Strich.
- Bei Rechnungen mit Brüchen gelten immer zwei Grundregeln: Der Nenner eines Bruches darf nicht 0 ergeben, auch nicht, wenn er Variablen enthält, und das Endergebnis ist gegebenenfalls zu kürzen.
- In Ungleichungen drehen sich die Ungleichheitszeichen um, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert (oder dividiert) wird, z. B.
- Einige Dezimal-Äquivalente
Schreibweisen
Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: oder oder oder oder .
Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.
Die Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.
Bei mehreren aufeinanderfolgenden Doppelpunkten in einer Zeile wird in der Regel implizite Linksklammerung angenommen; der Infix-Doppelpunktoperator ist daher linksassoziativ
Dies entspricht auch der Interpretation in den meisten Programmiersprachen.
Schrägstriche haben Vorrang vor horizontalen Bruchstrichen.
Bei geschachtelter Bruchdarstellung haben die kürzeren Bruchstriche Vorrang vor den längeren:
Wie man sieht, ist diese Schreibweise mit Vorsicht zu verwenden und ggf. ist auf , auszuweichen oder fakultative Klammern sind zu verwenden , .
In der Geometrie ist weiterhin noch eine Schreibweise üblich: a : b : c = sin α: sin β: sin γ = d: e: f. Es handelt sich hierbei nicht um eine Kettendivision, sondern um eine Kurzschreibweise für
Typografie
Unicode:
Zur Verfügung stehen die Unicodezeichen Doppelpunkt U+003A (a : b), Schrägstrich/Solidus U+002F (a / b), Divisionszeichen U+00F7 (a ÷ b) und Divisionsstrich U+2215 (a ∕ b). Siehe auch Geteiltzeichen.
Das kaufmännische Minus ist U+2052 (a ⁒ b) und ist nicht mit dem Divisionszeichen U+00F7 (a ÷ b) zu verwechseln.
Verallgemeinerung
In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.
In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.
Division mit Zirkel und Lineal
Division mit Zirkel und Lineal, für und Kehrwert , Beispiel
Die gestrichelten Linien dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen.
Division mit Zirkel und Lineal, für und Kehrwert , Beispiel
Die Division kann auch – so wie die Multiplikation, die Potenz und die Quadratwurzel – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden. Im Folgenden werden zwei unterschiedliche Vorgehensweisen beschrieben.
Die beiden nebenstehenden Bilder zeigen jeweils eine kompakte Lösung, die sowohl für als auch für den Kehrwert gilt. Die gestrichelten Linien im Bild 2 (Kreisbogen, Kreise) werden zur Lösung nicht benötigt, sie dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen. Die Bezeichnungen der Punkte wurden, zwecks Vergleichbarkeit, analog dem Einleitungsbild im Sehnensatz gewählt.
Es folgt die Konstruktionsbeschreibung für (Bild 2). Die geringfügigen Unterschiede der Konstruktion für sind in Bild 1 ersichtlich.
Zuerst werden z. B. auf einer Zahlengeraden die Längen und als Strecken bzw. aufgetragen. Es folgen eine Senkrechte auf durch sowie eine Parallele zur Strecke mit einem Abstand gleich , dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Um den Mittelpunkt des Kreisbogens durch zu erhalten, bedarf es zweier (nicht eingezeichneter) Mittelsenkrechten der Sehnen und .
Nun kann der Kreisbogen eingezeichnet werden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Jetzt noch die Verbindung des Punktes mit , bei der die Senkrechte schneidet, und eine Halbgerade ab durch , bis sie die Senkrechte in schneidet. Im Grunde genommen ist nun die Konstruktion fertiggestellt. Um eine Überdeckung der Strecke zu vermeiden ist separat dargestellt.
Nachweis (siehe hierzu Bild 2)
Nach dem Sehnensatz im Kreis mit Mittelpunkt gilt:
Nach dem Sehnensatz im Kreis mit Mittelpunkt gilt:
Division mit Zirkel und Lineal unter Zuhilfenahme des Strahlensatzes
Eine weitere Möglichkeit für die Division mit Zirkel und Lineal (siehe Bild 3) bietet der Strahlensatz.
Zunächst zieht man ab dem Punkt den ersten Strahl. Auf diesem Strahl wird, beginnend ab , zuerst die Länge gleich , als Strecke und anschließend die Länge , als Strecke bestimmt. Es folgt das Einzeichnen der Länge ab dem Punkt , als Strecke unter einem beliebigen Winkel zu . Nun wird der zweite Strahl ab durch gezogen. Die abschließende Parallele zu ab dem Punkt liefert den gesuchten Wert des Quotienten als Strecke .
Landesspezifisches
In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.
Bis in die 1970er wurde auch in deutschen Grundschulen gelegentlich zwischen Aufteilen (in Gruppen) (österr. Messen) und Verteilen unterschieden.
Siehe auch
- Gruppentheorie
- Ringtheorie
- Schiefkörper
- Divisionsalgebra
- Polynomdivision
- Rationale Funktion – Division von Funktionen
- Vedische Mathematik – Vereinfachte Methode zum Dividieren
- Quasigruppe
- Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)
Literatur
- S. A. Stepanov: Division. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Weblinks
Einzelnachweise
- L. Engelmann (Hrsg.): Kleiner Leitfaden Mathematik, Paetec, Berlin 1997, ISBN 3-89517-150-6, S. 51/2
- Schüler-Duden: Die Mathematik I, Dudenverlag, Mannheim. Leipzig, Wien, Zürich 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 48
- Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt.
- »Nicht lösbar« ist eine schärfere Aussage als »undefiniert«. Bei letzterem könnte es noch einen Freiheitsgrad für eine Definition geben. Bei ersterem ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.
- Eine echte Grenzwertbildung, etwa nach Art der Regel von de L’Hospital, ist nicht als Division durch null anzusehen.
- ↑ Der Artikel Erweiterte reelle Zahl bringt zwei topologische Erweiterungen der reellen Zahlen, geht aber auch auf arithmetische Probleme ein.
- Sunk by Windows NT. In: Wired News, 24. Juli 1998.
- Python Errors and Exceptions. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
- Java ArithmeticException. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
- ISO/IEC 9899:201x. (PDF; 1,6 MB) Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch, nicht-normatives Arbeitsdokument).
- Eric Weisstein: Division by zero. Wolfram MathWorld
- (Memento des vom 5. September 2017 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. (PDF; 265 kB) Rochester Institute of Technology.
- The Order of Operations. Education Place.
- The Order of Operations. Khan Academy (Video, ab 05:40)
- (Memento vom 16. Juli 2022 im Internet Archive) (PDF) Virginia Department of Education, Absatz 9.
- Vorrangregeln und Assoziativität. Technische Universität Chemnitz
- veritas.at