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Partielle Funktion Eine partielle Funktion von der Menge X displaystyle X nach der Menge Y displaystyle Y ist eine binär

Partielle Funktion

Eine partielle Funktion von der Menge nach der Menge ist eine binäre, rechtseindeutige Relation, das heißt eine Relation, in der jedem Element der Menge höchstens ein Element der Menge zugeordnet wird. Im Unterschied zum üblichen Funktionsbegriff der Mathematik kann bei einer partiellen Funktion der Definitionsbereich eine echte Teilmenge von sein. Der Begriff der partiellen Funktion ist in der Theoretischen Informatik, insbesondere in der Berechenbarkeitstheorie verbreitet.

Beschreibung Bearbeiten

Der Begriff der partiellen Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion. Unter einer Funktion von nach versteht man eine linkstotale, rechtseindeutige Relation, also eine Relation, in der jedem Element von genau ein Element von zugeordnet ist. Jede Funktion von nach ist also insbesondere eine partielle Funktion von nach , nämlich eine (links-)totale partielle Funktion, aber nicht umgekehrt. Insofern kann der Begriff der partiellen Funktion irreführend sein. Falls eine partielle Funktion sogar eine Funktion im eigentlichen Sinn ist, sagt man gelegentlich, es handle sich um eine totale Funktion. Der Unterschied zwischen partiellen Funktionen und (totalen) Funktionen ist: Für partielle Funktionen gilt , für (totale) Funktionen gilt .

Als Definitionsbereich der partiellen Funktion bezeichnet man die Menge aller derjenigen Elemente aus , denen ein Element aus zugeordnet ist. Eine partielle Funktion ist also genau dann eine Funktion, wenn gilt.

Eine partielle Funktion von nach lässt sich auf zweierlei Arten als Funktion modellieren:

  1. als Funktion oder
  2. als Funktion

Schreibweisen Bearbeiten

Für „ ist eine partielle Funktion von nach “ schreibt man: oder , alternativ auch , oder . Nicht empfehlenswert sind u. a. die Schreibweisen sowie , denn erstere definiert als (totale) Funktion und zweitere ist leicht mit zu verwechseln, was jedoch bedeutet, dass keine (totale) Funktion von nach ist. Dies ist aber wie ersteres im Allgemeinen nicht zutreffend.

Die Schreibweise „ ist undefiniert“ oder sogar „“ ist problematisch, denn der Ausdruck ist ja dann gerade nicht zulässig. Klarer ist es zu sagen „ ist undefiniert an der Stelle “ oder als Formel „“.

Beispiele Bearbeiten

  • Die partielle Funktion ist an der Stelle undefiniert, weil die Division durch in den reellen Zahlen unzulässig ist. Man kann bilden

Anwendungen Bearbeiten

Wenn ein Algorithmus Eingaben aus der Menge annimmt und Ausgaben aus der Menge liefert, dann berechnet er eine partielle Funktion von nach . Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Elemente aus , für die der Algorithmus einen Wert liefert. Um einen Wert zu liefern, muss er insbesondere mit seiner Berechnung an ein Ende kommen (terminieren).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Technische Universität Braunschweig Partielle und totale Funktionen (PDF; 112 kB).
  2. ↑ Thomas Holder: partial map classifier, auf: nLab, 3. Juli 2015
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Veröffentlichungsdatum:
Eine partielle Funktion von der Menge X displaystyle X nach der Menge Y displaystyle Y ist eine binare rechtseindeutige Relation das heisst eine Relation in der jedem Element der Menge X displaystyle X hochstens ein Element der Menge Y displaystyle Y zugeordnet wird Im Unterschied zum ublichen Funktionsbegriff der Mathematik kann bei einer partiellen Funktion der Definitionsbereich eine echte Teilmenge von X displaystyle X sein Der Begriff der partiellen Funktion ist in der Theoretischen Informatik insbesondere in der Berechenbarkeitstheorie verbreitet Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Schreibweisen 3 Beispiele 4 Anwendungen 5 EinzelnachweiseBeschreibung BearbeitenDer Begriff der partiellen Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion Unter einer Funktion von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp versteht man eine linkstotale rechtseindeutige Relation also eine Relation in der jedem Element von X displaystyle X nbsp genau ein Element von Y displaystyle Y nbsp zugeordnet ist Jede Funktion von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp ist also insbesondere eine partielle Funktion von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp namlich eine links totale partielle Funktion aber nicht umgekehrt Insofern kann der Begriff der partiellen Funktion irrefuhrend sein Falls eine partielle Funktion sogar eine Funktion im eigentlichen Sinn ist sagt man gelegentlich es handle sich um eine totale Funktion Der Unterschied zwischen partiellen Funktionen und totalen Funktionen ist Fur partielle Funktionen f X Y displaystyle f colon X rightharpoonup Y nbsp gilt Def f X displaystyle operatorname Def f subseteq X nbsp fur totale Funktionen f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp gilt Def f X displaystyle operatorname Def f X nbsp 1 Als Definitionsbereich Def f displaystyle operatorname Def f nbsp der partiellen Funktion f displaystyle f nbsp bezeichnet man die Menge aller derjenigen Elemente aus X displaystyle X nbsp denen ein Element aus Y displaystyle Y nbsp zugeordnet ist Eine partielle Funktion f displaystyle f nbsp ist also genau dann eine Funktion wenn Def f X displaystyle mbox Def f X nbsp gilt Eine partielle Funktion f displaystyle f nbsp von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp lasst sich auf zweierlei Arten als Funktion modellieren als Funktion f Def f Def f Y x f x displaystyle f operatorname Def f colon operatorname Def f to Y x mapsto f x quad nbsp oder als Funktion f X Y x f x falls x Def f sonst displaystyle bar f colon X to Y cup bot x mapsto begin cases f x amp text falls x in operatorname Def f bot amp text sonst end cases nbsp Der Wert displaystyle bot nbsp undefiniert darf dazu nicht in Y displaystyle Y nbsp sein 2 dd Schreibweisen BearbeitenFur f displaystyle f nbsp ist eine partielle Funktion von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp schreibt man f X Y displaystyle f colon X rightharpoonup Y nbsp 2 oder f X Y displaystyle f colon X rightsquigarrow Y nbsp alternativ auch f X Y displaystyle f colon subseteq X to Y nbsp f X p Y displaystyle f colon X to p Y nbsp oder f X Y displaystyle f colon X mbox Y nbsp Nicht empfehlenswert sind u a die Schreibweisen f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp sowie f X Y displaystyle f colon X shortmid to Y nbsp denn erstere definiert f displaystyle f nbsp als totale Funktion und zweitere ist leicht mit f X Y displaystyle f colon X nrightarrow Y nbsp zu verwechseln was jedoch bedeutet dass f displaystyle f nbsp keine totale Funktion von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp ist Dies ist aber wie ersteres im Allgemeinen nicht zutreffend Die Schreibweise f x displaystyle f x nbsp ist undefiniert oder sogar f x undefiniert displaystyle f x text undefiniert nbsp ist problematisch denn der Ausdruck f x displaystyle f x nbsp ist ja dann gerade nicht zulassig Klarer ist es zu sagen f displaystyle f nbsp ist undefiniert an der Stelle x displaystyle x nbsp oder als Formel x Def f displaystyle x notin mbox Def f nbsp Beispiele BearbeitenDie partielle Funktion f R R x 1 x displaystyle f colon mathbb R rightharpoonup mathbb R x mapsto frac 1 x nbsp ist an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp undefiniert weil die Division durch 0 displaystyle 0 nbsp in den reellen Zahlen unzulassig ist Man kann bildenf R 0 R 0 R x 1 x displaystyle f mathbb R setminus 0 colon mathbb R setminus 0 to mathbb R x mapsto tfrac 1 x nbsp oder f R R x 1 x falls x 0 sonst displaystyle bar f colon mathbb R to mathbb R cup bot x mapsto begin cases tfrac 1 x amp text falls x neq 0 bot amp text sonst end cases nbsp partiell rekursive Funktionen ein unbeschrankter linearer OperatorAnwendungen BearbeitenWenn ein Algorithmus Eingaben aus der Menge X displaystyle X nbsp annimmt und Ausgaben aus der Menge Y displaystyle Y nbsp liefert dann berechnet er eine partielle Funktion von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Elemente aus X displaystyle X nbsp fur die der Algorithmus einen Wert liefert Um einen Wert zu liefern muss er insbesondere mit seiner Berechnung an ein Ende kommen terminieren Einzelnachweise Bearbeiten Technische Universitat Braunschweig Partielle und totale Funktionen PDF 112 kB a b Thomas Holder partial map classifier auf nLab 3 Juli 2015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Partielle Funktion amp oldid 239327862