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Binomischer Lehrsatz Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik der es in seiner einfachsten Form ermöglicht di

Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms , also einen Ausdruck der Form

als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten Bearbeiten

Für alle Elemente und eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen gilt die Gleichung:

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen und (mit der Konvention ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit ist hierbei die Fakultät von bezeichnet.

Bemerkung Bearbeiten

Die Terme sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl an das Ringelement aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als -Modul benutzt.

Spezialisierung Bearbeiten

Der binomische Lehrsatz für den Fall heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

  • Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente und in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

Beweis Bearbeiten

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden. Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis. Für jedes konkrete kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele Bearbeiten

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle mit und .

Im Spezialfall geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

Im Fall entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für und ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur Bearbeiten

  • M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
  • Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55
  • Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 9780195334548, S. 28-36
  • Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31
  2. Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55
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Veröffentlichungsdatum:
Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik der es in seiner einfachsten Form ermoglicht die Potenzen eines Binoms x y displaystyle x y also einen Ausdruck der Form x y n n N displaystyle x y n quad n in mathbb N als Polynom n displaystyle n ten Grades in den Variablen x displaystyle x und y displaystyle y auszudrucken In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an wie ein Ausdruck der Form x y n displaystyle x y n auszumultiplizieren ist Inhaltsverzeichnis 1 Binomischer Lehrsatz fur naturliche Exponenten 1 1 Bemerkung 1 2 Spezialisierung 1 3 Verallgemeinerungen 1 4 Beweis 1 5 Beispiele 2 Binomische Reihe Lehrsatz fur komplexe Exponenten 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseBinomischer Lehrsatz fur naturliche Exponenten BearbeitenFur alle Elemente x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp eines kommutativen unitaren Rings und fur alle naturlichen Zahlen n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp gilt die Gleichung x y n k 0 n n k x n k y k 1 displaystyle x y n sum k 0 n binom n k x n k y k quad 1 nbsp Insbesondere gilt dies fur reelle oder komplexe Zahlen x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp mit der Konvention 0 0 1 displaystyle 0 0 1 nbsp Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten n k n n 1 n k 1 1 2 k n n k k displaystyle binom n k frac n cdot n 1 dotsm n k 1 1 cdot 2 dotsm k frac n n k cdot k nbsp die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben Mit n 1 2 n displaystyle n 1 cdot 2 dotsm n nbsp ist hierbei die Fakultat von n displaystyle n nbsp bezeichnet Bemerkung Bearbeiten Die Terme n k x n k y k displaystyle tbinom n k x n k y k nbsp sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl n k displaystyle tbinom n k nbsp an das Ringelement x n k y k displaystyle x n k y k nbsp aufzufassen d h hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul benutzt Spezialisierung Bearbeiten Der binomische Lehrsatz fur den Fall n 2 displaystyle n 2 nbsp heisst erste binomische Formel Verallgemeinerungen Bearbeiten Der binomische Lehrsatz gilt auch fur Elemente x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp in beliebigen unitaren Ringen sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren d h x y y x displaystyle x cdot y y cdot x nbsp gilt Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt x y n x n k 1 n 1 n k x n k y k y n displaystyle x y n x n left sum k 1 n 1 binom n k x n k y k right y n nbsp Fur mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem Beweis Bearbeiten Der Beweis fur jede beliebige naturliche Zahl n displaystyle n nbsp kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollstandige Induktion erbracht werden 1 Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzahlbeweis 2 Fur jedes konkrete n displaystyle n nbsp kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten Beispiele Bearbeiten x y 3 3 0 x 3 3 1 x 2 y 3 2 x y 2 3 3 y 3 x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 displaystyle x y 3 binom 3 0 x 3 binom 3 1 x 2 y binom 3 2 xy 2 binom 3 3 y 3 x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 nbsp x y 3 3 0 x 3 3 1 x 2 y 3 2 x y 2 3 3 y 3 x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 displaystyle x y 3 binom 3 0 x 3 binom 3 1 x 2 y binom 3 2 x y 2 binom 3 3 y 3 x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 nbsp a i b n k 0 n n k a n k b k i k k 0 k gerade n n k 1 k 2 a n k b k i k 1 k ungerade n n k 1 k 1 2 a n k b k displaystyle big a ib big n sum limits k 0 n binom n k a n k b k i k sum k 0 atop k text gerade n binom n k 1 frac k 2 a n k b k mathrm i sum k 1 atop k text ungerade n binom n k 1 frac k 1 2 a n k b k nbsp wobei i displaystyle i nbsp die imaginare Einheit ist Binomische Reihe Lehrsatz fur komplexe Exponenten BearbeitenEine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten a displaystyle alpha nbsp mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken Dieselbe Aussage ist aber auch gultig wenn a displaystyle alpha nbsp eine beliebige komplexe Zahl ist Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form x y a x a 1 y x a x a k 0 a k y x k k 0 a k x a k y k 2 displaystyle x y alpha x alpha left 1 tfrac y x right alpha x alpha sum k 0 infty binom alpha k left frac y x right k sum k 0 infty binom alpha k x alpha k y k quad 2 nbsp Diese Reihe heisst binomische Reihe und konvergiert fur alle x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp mit x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp und y x lt 1 displaystyle left tfrac y x right lt 1 nbsp Im Spezialfall a N displaystyle alpha in mathbb N nbsp geht Gleichung 2 in 1 uber und ist dann sogar fur alle x y C displaystyle x y in mathbb C nbsp gultig da die Reihe dann abbricht Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als a k a a 1 a 2 a k 1 k displaystyle binom alpha k frac alpha alpha 1 alpha 2 dotsm alpha k 1 k nbsp Im Fall k 0 displaystyle k 0 nbsp entsteht ein leeres Produkt dessen Wert als 1 definiert ist Fur a 1 displaystyle alpha 1 nbsp und x 1 displaystyle x 1 nbsp ergibt sich aus 2 als Sonderfall die geometrische Reihe Literatur BearbeitenM Barner F Flohr Analysis I de Gruyter 2000 ISBN 3 11 016778 6 S 26 Stasys Jukna Crashkurs Mathematik fur Informatiker Springer 2007 ISBN 9783835102163 S 52 55 Thomas Koshy Catalan Numbers with Applications Oxford University Press 2009 ISBN 9780195334548 S 28 36 Stefan Hildebrandt Analysis Springer 2013 ISBN 9783662056943 S 29 31Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Binomischer Lehrsatz Lern und Lehrmaterialien nbsp Wikibooks Beweisarchiv Algebra Ringe Binomischer Lehrsatz Lern und Lehrmaterialien Binomischer Lehrsatz Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion Binomischer Lehrsatz Video kombinatorischer Beweis Eric W Weisstein Binomial Theorem In MathWorld englisch The Binomial Theorem bei Khan Academy Video englisch Einzelnachweise Bearbeiten Stefan Hildebrandt Analysis Springer 2013 ISBN 9783662056943 S 29 31 Stasys Jukna Crashkurs Mathematik fur Informatiker Springer 2007 ISBN 9783835102163 S 52 55 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Binomischer Lehrsatz amp oldid 237628015