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Zufallsvektor Als bezeichnet man in der Stochastik eine Funktion die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist Wer

Zufallsvektor

Als Zufallsvektor bezeichnet man in der Stochastik eine Funktion, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist, Werte im annimmt und messbar ist. Zufallsvektoren bilden das höherdimensionale Pendant von reellwertigen Zufallsvariablen. Viele der Eigenschaften von reellwertigen Zufallsvariablen übertragen sich direkt oder nach kleinen Modifikationen auf Zufallsvektoren.

Zufallsvektoren sollten nicht mit stochastischen Vektoren, auch Wahrscheinlichkeitsvektoren genannt, verwechselt werden. Bei ihnen handelt es sich um Vektoren aus , deren Einträge positiv sind und sich zu eins aufsummieren. Zufallsvektoren hingegen sind Abbildungen.

Definition Bearbeiten

Es bezeichne die Borelsche σ-Algebra. Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine natürliche Zahl größergleich zwei. Dann heißt eine Abbildung

für die

gilt ein -dimensionaler Zufallsvektor.

Äquivalent sind folgende beiden Definitionen:

  • ist eine messbare Funktion auf einem Wahrscheinlichkeitsraum nach , versehen mit der Borelschen σ-Algebra.
  • Es ist für reellwertige Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum . Diese Definition nutzt aus, dass eine Abbildung nach genau dann messbar ist, wenn ihre Komponentenfunktionen messbar sind.

Eigenschaften Bearbeiten

Momente Bearbeiten

Für einen Zufallsvektor wird (bei Integrierbarkeit der Komponenten) der Erwartungswertvektor definiert als folgender Spaltenvektor

und ist somit der Vektor der Erwartungswerte der Komponenten.

Für die zweiten Momente wird (bei Quadratintegrierbarkeit der Komponenten) die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors definiert als diejenige -Matrix, bei der in der -ten Zeile und der -ten Spalte die Kovarianz der Komponenten und , also

Unabhängigkeit Bearbeiten

Die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvektoren und wird analog zur Definition für reellwertige Zufallsvariablen definiert als die stochastische Unabhängigkeit der erzeugten σ-Algebren und . Hierbei bezeichnet die Initial-σ-Algebra von .

Verteilungen Bearbeiten

Die Verteilung eines Zufallsvektors wird eine Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt und ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem . Sie ist genau die gemeinsame Verteilung der Komponenten des Zufallsvektors.

Stetige und diskrete Zufallsvektoren Bearbeiten

Analog zu reellwertigen Zufallsvariablen nennt man einen Zufallsvektor, dessen Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzt, einen stetigen Zufallsvektor. Ebenso wird ein Zufallsvektor, der nur abzählbar viele Werte annimmt, ein diskreter Zufallsvektor genannt.

Verteilungsfunktion Bearbeiten

Wie auch reellwertigen Zufallsvariablen lassen sich Zufallsvektoren Verteilungsfunktionen zuweisen. Sie werden multivariate Verteilungsfunktionen genannt.

Konvergenz Bearbeiten

Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Fast sichere Konvergenz lassen sich problemlos auf Zufallsvektoren übertragen, da sie meist zumindest für separable metrische Räume definiert werden und diese Definitionen demnach auch für den gültig sind.

Lediglich die Charakterisierung der Verteilungskonvergenz über die Verteilungsfunktion ist nicht mehr möglich. Der Stetigkeitssatz von Lévy hingegen gilt aber weiterhin.

Satz von Cramér-Wold Bearbeiten

Die folgende Aussage ermöglicht es, die Konvergenz in Verteilung in auf die Konvergenz in Verteilung in zu reduzieren. Sie wird als Satz von Cramér-Wold oder Cramér-Wold-Device (dt. Cramér-Wold-Hilfsmittel) bezeichnet.

Es bezeichnet das Standardskalarprodukt. Sei eine Folge von Zufallsvektoren in . Dann ist äquivalent:

  • Die konvergieren in Verteilung gegen
  • Für jedes existiert eine reellwertige Zufallsvariable , so dass in Verteilung gegen konvergiert.

Gilt eine von beiden Aussagen (und somit beide), so besitzt für alle dieselbe Verteilung wie .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine mögliche Verallgemeinerung eines Zufallsvektoren ist eine Zufallsmatrix. Sie ist eine matrixwertige Zufallsvariable, ihre Verteilung wird eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 130.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 95.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 178.
  4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 96.
  5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 335.
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Als Zufallsvektor bezeichnet man in der Stochastik eine Funktion die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist Werte im R n displaystyle mathbb R n annimmt und messbar ist Zufallsvektoren bilden das hoherdimensionale Pendant von reellwertigen Zufallsvariablen Viele der Eigenschaften von reellwertigen Zufallsvariablen ubertragen sich direkt oder nach kleinen Modifikationen auf Zufallsvektoren Zufallsvektoren sollten nicht mit stochastischen Vektoren auch Wahrscheinlichkeitsvektoren genannt verwechselt werden Bei ihnen handelt es sich um Vektoren aus R n displaystyle mathbb R n deren Eintrage positiv sind und sich zu eins aufsummieren Zufallsvektoren hingegen sind Abbildungen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Momente 2 2 Unabhangigkeit 2 3 Verteilungen 2 4 Stetige und diskrete Zufallsvektoren 2 5 Verteilungsfunktion 3 Konvergenz 3 1 Satz von Cramer Wold 4 Verallgemeinerungen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs bezeichne B displaystyle mathcal B cdot nbsp die Borelsche s Algebra Sei W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum und m displaystyle m nbsp eine naturliche Zahl grossergleich zwei Dann heisst eine Abbildung X W A P R m B R m displaystyle X colon Omega mathcal A P to mathbb R m mathcal B mathbb R m nbsp fur die X 1 B R m A displaystyle X 1 mathcal B mathbb R m subset mathcal A nbsp gilt ein m displaystyle m nbsp dimensionaler Zufallsvektor Aquivalent sind folgende beiden Definitionen X displaystyle X nbsp ist eine messbare Funktion auf einem Wahrscheinlichkeitsraum nach R m displaystyle mathbb R m nbsp versehen mit der Borelschen s Algebra Es ist X X 1 X 2 X m displaystyle X X 1 X 2 dots X m nbsp fur reellwertige Zufallsvariablen X 1 X 2 X m displaystyle X 1 X 2 dots X m nbsp auf dem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp Diese Definition nutzt aus dass eine Abbildung nach R m displaystyle mathbb R m nbsp genau dann messbar ist wenn ihre Komponentenfunktionen messbar sind Eigenschaften BearbeitenMomente Bearbeiten Fur einen Zufallsvektor X displaystyle X nbsp wird bei Integrierbarkeit der Komponenten der Erwartungswertvektor definiert als folgender Spaltenvektor E X E X 1 E X 2 E X m displaystyle operatorname E X operatorname E X 1 operatorname E X 2 dots operatorname E X m top nbsp und ist somit der Vektor der Erwartungswerte der Komponenten 1 Fur die zweiten Momente wird bei Quadratintegrierbarkeit der Komponenten die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors definiert als diejenige m m displaystyle m times m nbsp Matrix bei der in der i displaystyle i nbsp ten Zeile und der j displaystyle j nbsp ten Spalte die Kovarianz der Komponenten X i displaystyle X i nbsp und X j displaystyle X j nbsp also a i j Cov X i X j displaystyle a i j operatorname Cov X i X j nbsp Unabhangigkeit Bearbeiten Die stochastische Unabhangigkeit von Zufallsvektoren X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp wird analog zur Definition fur reellwertige Zufallsvariablen definiert als die stochastische Unabhangigkeit der erzeugten s Algebren s X displaystyle sigma X nbsp und s Y displaystyle sigma Y nbsp 2 Hierbei bezeichnet s X displaystyle sigma X nbsp die Initial s Algebra von X displaystyle X nbsp Verteilungen Bearbeiten Die Verteilung eines Zufallsvektors wird eine Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt und ist ein Wahrscheinlichkeitsmass auf dem R m displaystyle mathbb R m nbsp Sie ist genau die gemeinsame Verteilung der Komponenten des Zufallsvektors Stetige und diskrete Zufallsvektoren Bearbeiten Analog zu reellwertigen Zufallsvariablen nennt man einen Zufallsvektor dessen Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzt einen stetigen Zufallsvektor 3 Ebenso wird ein Zufallsvektor der nur abzahlbar viele Werte annimmt ein diskreter Zufallsvektor genannt 4 Verteilungsfunktion Bearbeiten Wie auch reellwertigen Zufallsvariablen lassen sich Zufallsvektoren Verteilungsfunktionen zuweisen Sie werden multivariate Verteilungsfunktionen genannt Konvergenz BearbeitenKonvergenz in Verteilung Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Fast sichere Konvergenz lassen sich problemlos auf Zufallsvektoren ubertragen da sie meist zumindest fur separable metrische Raume definiert werden und diese Definitionen demnach auch fur den R m displaystyle mathbb R m nbsp gultig sind Lediglich die Charakterisierung der Verteilungskonvergenz uber die Verteilungsfunktion ist nicht mehr moglich Der Stetigkeitssatz von Levy hingegen gilt aber weiterhin Satz von Cramer Wold Bearbeiten Die folgende Aussage ermoglicht es die Konvergenz in Verteilung in R n displaystyle mathbb R n nbsp auf die Konvergenz in Verteilung in R displaystyle mathbb R nbsp zu reduzieren Sie wird als Satz von Cramer Wold oder Cramer Wold Device dt Cramer Wold Hilfsmittel bezeichnet Es bezeichnet displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Standardskalarprodukt Sei X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp eine Folge von Zufallsvektoren in R m displaystyle mathbb R m nbsp Dann ist aquivalent 5 Die X n displaystyle X n nbsp konvergieren in Verteilung gegen X displaystyle X nbsp Fur jedes c R m displaystyle c in mathbb R m nbsp existiert eine reellwertige Zufallsvariable X c displaystyle X c nbsp so dass c X n displaystyle langle c X n rangle nbsp in Verteilung gegen X c displaystyle X c nbsp konvergiert Gilt eine von beiden Aussagen und somit beide so besitzt X c displaystyle X c nbsp fur alle c R m displaystyle c in mathbb R m nbsp dieselbe Verteilung wie c X displaystyle langle c X rangle nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEine mogliche Verallgemeinerung eines Zufallsvektoren ist eine Zufallsmatrix Sie ist eine matrixwertige Zufallsvariable ihre Verteilung wird eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Einzelnachweise Bearbeiten Meintrup Schaffler Stochastik 2005 S 130 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 95 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 178 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 96 Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 335 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zufallsvektor amp oldid 225789372