Unabhangige Mengensysteme werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie einem Teilgebiet der Mathematik betrachtet Die Unabhangigkeit von Mengensystemen ist eine Verallgemeinerung der stochastischen Unabhangigkeit von Ereignissen und dient zur Definition der stochastischen Unabhangigkeit von Zufallsvariablen Somit gehoren unabhangige Mengensysteme zu den Grundbegriffen der Stochastik und sind ein Baustein fur viele Voraussetzungen von wichtigen Satzen der Statistik und Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Verwendung 5 Unabhangigkeit von Zufallsvariablen und Mengensystemen 6 Verallgemeinerung 7 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp das heisst eine s Algebra A P W displaystyle mathcal A subseteq mathcal P Omega nbsp auf der Grundmenge W displaystyle Omega nbsp und ein Wahrscheinlichkeitsmass P A 0 1 displaystyle P colon mathcal A to 0 1 nbsp Des Weiteren sei I displaystyle I nbsp eine beliebige Indexmenge und fur jeden Index i I displaystyle i in I nbsp sei ein Mengensystem E i A displaystyle mathcal E i subseteq mathcal A nbsp gegeben Die Familie von Mengensystemen E i i I displaystyle mathcal E i i in I nbsp heisst nun genau dann unabhangig wenn fur jede endliche Teilmenge J I displaystyle J subset I nbsp und jede mogliche Wahl E j j J displaystyle E j j in J nbsp von Ereignissen mit j J E j E j displaystyle forall j in J colon E j in mathcal E j nbsp diese Ereignisse stochastisch unabhangig sind das heisst falls jeweils gilt P j J E j j J P E j displaystyle P left bigcap j in J E j right prod j in J P E j nbsp Beispiele BearbeitenIst E 1 A displaystyle mathcal E 1 A nbsp und E 2 B displaystyle mathcal E 2 B nbsp so sind die Mengensysteme genau dann unabhangig wenn die beiden Ereignisse A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp unabhangig sind Es ist I 1 2 displaystyle I 1 2 nbsp daher sind die Falle J 1 J 2 displaystyle J 1 J 2 nbsp und J I 1 2 displaystyle J I 1 2 nbsp zu uberprufen Der Fall J displaystyle J emptyset nbsp ist trivial Ist J 1 displaystyle J 1 nbsp so ist mit E 1 A displaystyle E 1 A nbsp immer P j 1 E j P A j 1 P E j displaystyle P left bigcap j in 1 E j right P A prod j in 1 P E j nbsp da das Mengensystem einelementig ist Die Aussage ist also immer wahr Analog folgt der Fall J 2 displaystyle J 2 nbsp Ist J I 1 2 displaystyle J I 1 2 nbsp so ist wieder unter der Ausnutzung der Einelementigkeit der Mengensysteme E 1 A E 2 B displaystyle E 1 A E 2 B nbsp P E 1 E 2 P A B P A P B P E 1 P E 2 displaystyle P E 1 cap E 2 P A cap B P A P B P E 1 P E 2 nbsp aufgrund der Unabhangigkeit von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp dd dd Ist allgemeiner A i i I displaystyle A i i in I nbsp eine Familie von Ereignissen und definiert man die Familie von Mengensystemen als einelementige Mengensysteme durch E i A i displaystyle mathcal E i A i nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp so ist die Familie von Mengensystemen genau dann unabhangig wenn die Familie von Ereignissen unabhangig ist Diese Aquivalenz wird teilweise auch zur Definition der Unabhangigkeit von Ereignissen verwendet Eine s Algebra O displaystyle mathcal O nbsp auf einem Wahrscheinlichkeitsraum heisst P triviale s Algebra wenn fur alle A O displaystyle A in mathcal O nbsp entweder P A 0 displaystyle P A 0 nbsp oder P A 1 displaystyle P A 1 nbsp gilt P triviale s Algebren sind von jedem Mengensystem unabhangig Denn ist A O displaystyle A in mathcal O nbsp und P A 0 displaystyle P A 0 nbsp so ist P A B 0 P A P B displaystyle P A cap B 0 P A cdot P B nbsp fur beliebiges B displaystyle B nbsp aus einem weiteren Mengensystem M displaystyle mathcal M nbsp Ebenso gilt dann auch P A B 1 P B displaystyle P A cap B 1 cdot P B nbsp wenn P A 1 displaystyle P A 1 nbsp ist Also sind O displaystyle mathcal O nbsp und M displaystyle mathcal M nbsp unabhangig Eigenschaften BearbeitenIst I k k K displaystyle I k k in K nbsp eine disjunkte Zerlegung von I displaystyle I nbsp das heisst es ist I k I k displaystyle I k cap I k emptyset nbsp fur alle k k K k k displaystyle k k in K k neq k nbsp und es ist k K I k I displaystyle bigcup k in K I k I nbsp und ist die Familie von Mengensystemen E i i I displaystyle mathcal E i i in I nbsp unabhangig so ist die Familie von Mengensystemen definiert durch i I k E i k K displaystyle left bigcup i in I k mathcal E i right k in K nbsp unabhangig Fur endliches I displaystyle I nbsp gilt Enthalt jedes der Mengensysteme bereits die Obermenge W displaystyle Omega nbsp so sind sie genau dann unabhangig wennP i I E i i I P E j displaystyle P left bigcap i in I E i right prod i in I P E j nbsp fur alle E i E i displaystyle E i in mathcal E i nbsp Es genugt dann also die definierende Gleichung nur fur die gesamte Indexmenge zu uberprufen Fur J I displaystyle J subset I nbsp folgt die Gleichung dann automatisch wenn man fur i I J displaystyle i in I setminus J nbsp immer E i W displaystyle E i Omega nbsp setzt Ist fur jedes i I displaystyle i in I nbsp das Mengensystem E i displaystyle mathcal E i cup emptyset nbsp ein durchschnittsstabiles Mengensystem so ist E i i I displaystyle mathcal E i i in I nbsp genau dann unabhangig wenn die erzeugten s Algebren s E i i I displaystyle sigma mathcal E i i in I nbsp unabhangig sind Verwendung BearbeitenUnabhangige Mengensysteme werden verwendet um die Unabhangigkeit auf Zufallsvariablen zu ubertragen Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp und zwei Messraume W 1 A 1 W 2 A 2 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 Omega 2 mathcal A 2 nbsp sowie zwei Zufallsvariablen X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp von W displaystyle Omega nbsp nach W 1 displaystyle Omega 1 nbsp bzw W 2 displaystyle Omega 2 nbsp gegeben Wenn die beiden von den Zufallsvariablen erzeugten Initial s Algebren unabhangige Mengensysteme sind dann heissen die Zufallsvariablen unabhangig Dies kann auch auf Familien von Zufallsvariablen verallgemeinert werden Unabhangigkeit von Zufallsvariablen und Mengensystemen BearbeitenIm Rahmen des bedingten Erwartungswertes wird teilweise auch von der Unabhangigkeit einer Zufallsvariable X displaystyle X nbsp und eines Mengensystems E displaystyle mathcal E nbsp gesprochen Die Zufallsvariable und das Mengensystem heissen unabhangig wenn das Mengensystem E displaystyle mathcal E nbsp und die Initial s Algebra s X displaystyle sigma X nbsp der Zufallsvariable unabhangige Mengensysteme im obigen Sinn sind Verallgemeinerung BearbeitenDie Unabhangigkeit von s Algebren lasst sich mittels des bedingten Erwartungswertes zur bedingten Unabhangigkeit erweitern Sie existiert auch fur Zufallsvariablen Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Unabhangige Mengensysteme amp oldid 158240338
