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Bedingte Unabhängigkeit Die bedingte Unabhängigkeit ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematische Verallgemei

Bedingte Unabhängigkeit

Die bedingte Unabhängigkeit ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematische Verallgemeinerung der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen, Mengensystemen und Zufallsvariablen mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit und des bedingten Erwartungswertes. Die bedingte Unabhängigkeit findet beispielsweise Anwendung bei Aussagen über austauschbare Familien von Zufallsvariablen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum , sowie eine Unter-σ-Algebra von . Sei die bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben .

Eine Familie von Teil-σ-Algebren von heißt bedingt unabhängig gegeben , wenn für jede endliche Teilmenge von und jede beliebige Wahl von mit gilt, dass

Aufgrund der Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Identität als P-fast sicher zu verstehen.

Eine Familie von Zufallsvariablen heißt bedingt unabhängig gegeben , wenn die Familie der erzeugten σ-Algebren bedingt unabhängig gegeben ist.

Bemerkungen und Eigenschaften Bearbeiten

  • Angelehnt an die Formulierung "unabhängig identisch verteilt" definiert man mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit eine Familie von Zufallsvariablen als unabhängig identisch verteilt gegeben , wenn die Familie unabhängig gegeben ist und die bedingten Verteilungen alle gleich sind.
  • Beispielsweise ist jede Familie von Teil-σ-Algebren von immer unabhängig gegeben , genauso wie jede unabhängige Familie von σ-Algebren (im Sinne der Unabhängigkeit eines Mengensystems) immer unabhängig gegeben die triviale σ-Algebra ist.

Elementare bedingte Unabhängigkeit für Ereignisse Bearbeiten

Zwei Ereignisse und sind bedingt (stochastisch) unabhängig gegeben für ein Ereignis mit , genau dann, wenn

Im Fall folgt

Im Fall folgt

Eine der beiden letzten Gleichungen wird manchmal auch zur Definition der bedingten Unabhängigkeit von Ereignissen verwendet. Für positive Wahrscheinlichkeiten sind die drei Gleichungen äquivalent.

Eine übliche Notation ist , wenn und bedingt unabhängig gegeben sind. Diese Notation ist als zu verstehen, aber nicht als .

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
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Veröffentlichungsdatum:
Die bedingte Unabhangigkeit ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine mathematische Verallgemeinerung der stochastischen Unabhangigkeit von Ereignissen Mengensystemen und Zufallsvariablen mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit und des bedingten Erwartungswertes Die bedingte Unabhangigkeit findet beispielsweise Anwendung bei Aussagen uber austauschbare Familien von Zufallsvariablen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen und Eigenschaften 3 Elementare bedingte Unabhangigkeit fur Ereignisse 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W S P displaystyle Omega Sigma P nbsp sowie eine Unter s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp von S displaystyle Sigma nbsp Sei P A displaystyle P cdot mathcal A nbsp die bedingte Wahrscheinlichkeit gegeben A displaystyle mathcal A nbsp Eine Familie von Teil s Algebren A i i I displaystyle mathcal A i i in I nbsp von S displaystyle Sigma nbsp heisst bedingt unabhangig gegeben A displaystyle mathcal A nbsp wenn fur jede endliche Teilmenge J displaystyle J nbsp von I displaystyle I nbsp und jede beliebige Wahl von A j A j displaystyle A j in mathcal A j nbsp mit j J displaystyle j in J nbsp gilt dass P j J A j A j J P A j A displaystyle P left bigcap j in J A j mathcal A right prod j in J P A j mathcal A nbsp Aufgrund der Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Identitat als P fast sicher zu verstehen Eine Familie von Zufallsvariablen X i i I displaystyle X i i in I nbsp heisst bedingt unabhangig gegeben A displaystyle mathcal A nbsp wenn die Familie der erzeugten s Algebren s X i i I displaystyle sigma X i i in I nbsp bedingt unabhangig gegeben A displaystyle mathcal A nbsp ist Bemerkungen und Eigenschaften BearbeitenAngelehnt an die Formulierung unabhangig identisch verteilt definiert man mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit eine Familie von Zufallsvariablen als unabhangig identisch verteilt gegeben A displaystyle mathcal A nbsp wenn die Familie unabhangig gegeben A displaystyle mathcal A nbsp ist und die bedingten Verteilungen P X i A displaystyle P X i in cdot mathcal A nbsp alle gleich sind Beispielsweise ist jede Familie von Teil s Algebren von A displaystyle mathcal A nbsp immer unabhangig gegeben A displaystyle mathcal A nbsp genauso wie jede unabhangige Familie von s Algebren im Sinne der Unabhangigkeit eines Mengensystems immer unabhangig gegeben die triviale s Algebra W displaystyle emptyset Omega nbsp ist Elementare bedingte Unabhangigkeit fur Ereignisse BearbeitenZwei Ereignisse A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp sind bedingt stochastisch unabhangig gegeben C displaystyle C nbsp fur ein Ereignis C displaystyle C nbsp mit P C gt 0 displaystyle P C gt 0 nbsp genau dann wenn P A B C P A C P B C displaystyle P A cap B mid C P A mid C P B mid C nbsp Im Fall P B gt 0 displaystyle P B gt 0 nbsp folgt P A B C P A C displaystyle P A mid B cap C P A mid C nbsp Im Fall P A gt 0 displaystyle P A gt 0 nbsp folgt P B A C P B C displaystyle P B mid A cap C P B mid C nbsp Eine der beiden letzten Gleichungen wird manchmal auch zur Definition der bedingten Unabhangigkeit von Ereignissen verwendet Fur positive Wahrscheinlichkeiten sind die drei Gleichungen aquivalent Eine ubliche Notation ist A B C displaystyle A perp perp B mid C nbsp wenn A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp bedingt unabhangig gegeben C displaystyle C nbsp sind Diese Notation ist als A B C displaystyle A perp perp B mid C nbsp zu verstehen aber nicht als A B C displaystyle A perp perp B mid C nbsp Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bedingte Unabhangigkeit amp oldid 217715900