www.wikidata.de-de.nina.az

Initial σ Algebra Eine ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der Mathematik Er dient dazu σ Algebren auf R

Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen ) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition Bearbeiten

Gegeben seien Abbildungen und eine Familie von Messräumen für eine nichtleere Indexmenge . Dann heißt die σ-Algebra

auf die Initial-σ-Algebra der Abbildungen oder die von den Abbildungen erzeugte σ-Algebra, wobei den σ-Operator darstellt.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf , bezüglich derer alle Funktionen messbar sind.
  • Sind Erzeuger von , so ist ein Erzeuger von .

Beispiele Bearbeiten

Verwendung Bearbeiten

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine Initial s Algebra ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Er dient dazu s Algebren auf Raumen zu definieren die bisher keine Struktur hatten und hat als Spezialfalle die Produkt s Algebra und die Spur s Algebra Er ist mit der Initialtopologie eng verknupft Das Gegenstuck zur Initial s Algebra bildet die Final s Algebra Sie ist das grosste Mengensystem so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist Die Initial s Algebra wird auch die von den Funktionen f i displaystyle f i erzeugte s Algebra genannt Diese Benennung ist aber nicht eindeutig da s Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden konnen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Verwendung 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben seien Abbildungen f i W W i displaystyle f i colon Omega to Omega i nbsp und eine Familie von Messraumen W i A i displaystyle Omega i mathcal A i nbsp fur eine nichtleere Indexmenge I displaystyle I nbsp Dann heisst die s Algebra I f i i I s i I f i 1 A i displaystyle mathcal I f i i in I sigma left bigcup i in I f i 1 mathcal A i right nbsp auf W displaystyle Omega nbsp die Initial s Algebra der Abbildungen f i i I displaystyle f i i in I nbsp oder die von den Abbildungen f i i I displaystyle f i i in I nbsp erzeugte s Algebra wobei s displaystyle sigma cdot nbsp den s Operator darstellt Eigenschaften BearbeitenDie Initial s Algebra ist per Definition die bezuglich mengentheoretischer Inklusion kleinste s Algebra auf W displaystyle Omega nbsp bezuglich derer alle Funktionen f i i I displaystyle f i i in I nbsp messbar sind Sind E i displaystyle mathcal E i nbsp Erzeuger von A i displaystyle mathcal A i nbsp so ist i I f i 1 E i displaystyle bigcup i in I f i 1 mathcal E i nbsp ein Erzeuger von I f i i I displaystyle mathcal I f i i in I nbsp Beispiele BearbeitenFur eine einzelne Abbildung f W W displaystyle f colon Omega to Omega nbsp in einen Messraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp ist bereits f 1 A displaystyle f 1 mathcal A nbsp eine s Algebra es gilt also I f f 1 A displaystyle mathcal I f f 1 mathcal A nbsp Ist beispielsweise f displaystyle f nbsp eine konstante Funktion so ist I f displaystyle mathcal I f nbsp die triviale s Algebra W displaystyle emptyset Omega nbsp Fur die Indikatorfunktion x A displaystyle chi A nbsp einer Teilmenge A W displaystyle A subset Omega nbsp gilt I x A A A c W displaystyle mathcal I chi A emptyset A A mathsf c Omega nbsp Ist X Y displaystyle X subset Y nbsp und Y A displaystyle Y mathcal A nbsp ein Messraum sowie i X Y i x x displaystyle i colon X to Y i x x nbsp die naturliche Einbettung so ist die Initial s Algebra genau die Spur s Algebra I i A X displaystyle mathcal I i mathcal A X nbsp Sei W i I W i displaystyle textstyle Omega prod i in I Omega i nbsp das kartesische Produkt von Mengen W i displaystyle Omega i nbsp fur eine nichtleere Indexmenge I displaystyle I nbsp und seien W i A i displaystyle Omega i mathcal A i nbsp Messraume Wahlt man als Abbildungen p i W W i p i w w i displaystyle pi i colon Omega to Omega i pi i omega omega i nbsp die Projektionen auf die i displaystyle i nbsp te Komponente so ist die Initial s Algebra der Projektionen genau die Produkt s Algebra der A i displaystyle mathcal A i nbsp I p i i I i I A i displaystyle mathcal I pi i i in I bigotimes i in I mathcal A i nbsp dd Verwendung BearbeitenInitial s Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhangigkeit von Zufallsvariablen Zwei Zufallsvariablen sind unabhangig genau dann wenn ihre Initial s Algebren unabhangige Mengensysteme sind Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Initial s Algebra amp oldid 232914422