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Produkt σ Algebra Eine auch Kolmogorowsche σ Algebra 1 genannt ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der M

Produkt-σ-Algebra

Eine Produkt-σ-Algebra, auch Kolmogorowsche σ-Algebra genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Produkt-σ-Algebren erlauben die Definition von Produktmaßen, die den intuitiven Volumenbegriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Grundmenge, die das kartesische Produkt für eine nichtleere Indexmenge sei. Jede der Mengen sei zudem mit einer σ-Algebra versehen. Die Produkt-σ-Algebra von (oder auch Kolmogorowsche σ-Algebra) ist dann definiert als

wobei die Projektion auf die -te Komponente bezeichnet. Das Paar

bildet einen Messraum, der auch als messbares Produkt der Familie bezeichnet wird.

Notationskonventionen Bearbeiten

Ist , so schreibt man häufig auch statt .

Ist für alle , so verwendet man teilweise auch die Notation für die entsprechende Produkt-σ-Algebra.

In der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Produkt-σ-Algebra von einigen Autoren mit bezeichnet.

Alternative Definitionen Bearbeiten

Mittels messbarer Funktionen Bearbeiten

Die Produkt-σ-Algebra lässt sich auch als die kleinste σ-Algebra definieren, bezüglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind. Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger der σ-Algebren überprüft werden muss, ergibt sich damit

Damit ist die Produkt-σ-Algebra der die Initial-σ-Algebra der :

Als Produkt von Familien Bearbeiten

Fasst man zwei σ-Algebren als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren , so ist wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra:

Verallgemeinert man dies auf größere Indexmengen, so gilt: Ist abzählbar (oder endlich), so gilt

wobei

das Produkt der Familie ist. Man beachte, dass das Produkt zweier σ-Algebren und im Allgemeinen keine σ-Algebra ist. Jedoch ist ein Halbring und insbesondere -stabil.

Zylindermengen Bearbeiten

Alternativ kann man für beliebige Indexmengen die Produkt-σ-Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra definieren. Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer σ-Algebra unter der kanonischen Projektion.

Beispiele Bearbeiten

  • Seien und zwei Messräume. Dann ist die dazugehörige Produkt-σ-Algebra:
Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Art enthält.

Anwendungen Bearbeiten

Produkt-σ-Algebren sind die Grundlage für die Theorie der Produktmaße, die wiederum die Grundlage für den allgemeinen Satz von Fubini bilden.

Für die Stochastik sind Produkt-σ-Algebren von fundamentaler Bedeutung, um Aussagen über die Existenz von Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaßen und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräumen zu machen. Diese sind zum einen wichtig, um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben, und zum anderen grundlegend für die Theorie stochastischer Prozesse.

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 39, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
  2. Patrick Billingsley: Probability and Measure. 3. Auflage. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S. 231.
  3. Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). 2. Auflage. Springer, Cham 2017, ISBN 978-3-319-52206-7, S. 25, doi:10.1007/978-3-319-52207-4.
  4. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Produktmaß. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 210.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Produkt s Algebra auch Kolmogorowsche s Algebra 1 genannt ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Produkt s Algebren erlauben die Definition von Produktmassen die den intuitiven Volumenbegriff auf hoherdimensionale Raume verallgemeinern Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Notationskonventionen 3 Alternative Definitionen 3 1 Mittels messbarer Funktionen 3 2 Als Produkt von Familien 3 3 Zylindermengen 4 Beispiele 5 Anwendungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei eine Grundmenge die das kartesische Produkt W i I W i displaystyle textstyle Omega prod i in I Omega i nbsp fur eine nichtleere Indexmenge I displaystyle I nbsp sei Jede der Mengen W i displaystyle Omega i nbsp sei zudem mit einer s Algebra A i displaystyle mathcal A i nbsp versehen Die Produkt s Algebra von A i i I displaystyle mathcal A i i in I nbsp oder auch Kolmogorowsche s Algebra ist dann definiert als i I A i s p i 1 A i i I A i A i displaystyle bigotimes i in I mathcal A i sigma left pi i 1 A i i in I A i in mathcal A i right nbsp wobei p i W W i displaystyle textstyle pi i colon Omega rightarrow Omega i nbsp die Projektion auf die i displaystyle i nbsp te Komponente bezeichnet Das Paar i I W i i I A i displaystyle biggl prod i in I Omega i bigotimes i in I mathcal A i biggr nbsp bildet einen Messraum der auch als messbares Produkt der Familie W i A i i I displaystyle Omega i mathcal A i i in I nbsp bezeichnet wird Notationskonventionen BearbeitenIst I 1 2 displaystyle I 1 2 nbsp so schreibt man haufig auch A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 otimes mathcal A 2 nbsp statt i 1 2 A i displaystyle textstyle bigotimes i 1 2 mathcal A i nbsp Ist A i A displaystyle mathcal A i mathcal A nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp so verwendet man teilweise auch die Notation A I displaystyle mathcal A otimes I nbsp fur die entsprechende Produkt s Algebra In der Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Produkt s Algebra A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 otimes mathcal A 2 nbsp von einigen Autoren mit A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 times mathcal A 2 nbsp bezeichnet 2 3 4 Alternative Definitionen BearbeitenMittels messbarer Funktionen Bearbeiten Die Produkt s Algebra lasst sich auch als die kleinste s Algebra definieren bezuglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger E i displaystyle mathcal E i nbsp der s Algebren A i displaystyle mathcal A i nbsp uberpruft werden muss ergibt sich damit i I A i s i I p i 1 A i s i I p i 1 E i displaystyle bigotimes i in I mathcal A i sigma biggl bigcup i in I pi i 1 mathcal A i biggr sigma biggl bigcup i in I pi i 1 mathcal E i biggr nbsp Damit ist die Produkt s Algebra der A i displaystyle mathcal A i nbsp die Initial s Algebra I displaystyle mathcal I nbsp der p i displaystyle pi i nbsp I p i i I i I A i displaystyle mathcal I pi i i in I bigotimes i in I mathcal A i nbsp Als Produkt von Familien Bearbeiten Fasst man zwei s Algebren A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 mathcal A 2 nbsp als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren C A 1 A 2 displaystyle mathcal C mathcal A 1 boxtimes mathcal A 2 nbsp so ist C displaystyle mathcal C nbsp wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt s Algebra A 1 A 2 s A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 otimes mathcal A 2 sigma mathcal A 1 boxtimes mathcal A 2 nbsp Verallgemeinert man dies auf grossere Indexmengen so gilt Ist I displaystyle I nbsp abzahlbar oder endlich so gilt i I A i s i I A i displaystyle bigotimes i in I mathcal A i sigma biggl prod i in I mathcal A i biggr nbsp wobei i I A i i I A i A i i I i I A i displaystyle prod i in I mathcal A i biggl prod i in I A i mid A i i in I in prod i in I mathcal A i biggr nbsp das Produkt der Familie A i i I displaystyle mathcal A i i in I nbsp ist Man beachte dass das Produkt zweier s Algebren A 1 displaystyle mathcal A 1 nbsp und A 2 displaystyle mathcal A 2 nbsp im Allgemeinen keine s Algebra ist Jedoch ist A 1 A 2 displaystyle mathcal A 1 times mathcal A 2 nbsp ein Halbring und insbesondere displaystyle cap nbsp stabil Zylindermengen Bearbeiten Alternativ kann man fur beliebige Indexmengen die Produkt s Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte s Algebra definieren Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer s Algebra unter der kanonischen Projektion Beispiele BearbeitenSeien W 1 A 1 K Z K Z K Z displaystyle Omega 1 mathcal A 1 K Z emptyset K Z K Z nbsp und W 2 A 2 a b a b displaystyle Omega 2 mathcal A 2 a b emptyset a b nbsp zwei Messraume Dann ist die dazugehorige Produkt s Algebra A 1 A 2 K a K b Z a Z b K b Z b K a Z a displaystyle mathcal A 1 otimes mathcal A 2 emptyset K a K b Z a Z b K b Z b K a Z a nbsp dd Die Borelsche s Algebra auf R n displaystyle mathbb R n nbsp ist gleich der Produkt s Algebra auf B R i 1 n displaystyle mathcal B mathbb R i in 1 dotsc n nbsp es gilt folglich B R n i 1 n B R displaystyle mathcal B mathbb R n bigotimes i 1 n mathcal B mathbb R nbsp dd Sie ist die kleinste s Algebra die alle Mengen der Art A 1 A 2 A n A i B R displaystyle A 1 times A 2 times dots times A n A i in mathcal B mathbb R nbsp enthalt Anwendungen BearbeitenProdukt s Algebren sind die Grundlage fur die Theorie der Produktmasse die wiederum die Grundlage fur den allgemeinen Satz von Fubini bilden Fur die Stochastik sind Produkt s Algebren von fundamentaler Bedeutung um Aussagen uber die Existenz von Produkt Wahrscheinlichkeitsmassen und Produkt Wahrscheinlichkeitsraumen zu machen Diese sind zum einen wichtig um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben und zum anderen grundlegend fur die Theorie stochastischer Prozesse Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie Springer Berlin u a 1996 ISBN 3 540 15307 1 Einzelnachweise Bearbeiten Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 39 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Patrick Billingsley Probability and Measure 3 Auflage Wiley New York 1995 ISBN 0 471 00710 2 S 231 Galen R Shorack Probability for Statisticians Springer Texts in Statistics 2 Auflage Springer Cham 2017 ISBN 978 3 319 52206 7 S 25 doi 10 1007 978 3 319 52207 4 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Produktmass 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 S 210 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Produkt s Algebra amp oldid 227066480