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Satz von Cramér Wold Der auch Cramér Wold Device genannt 1 nach Harald Cramér und Herman Wold aus der Maßtheorie besagt

Satz von Cramér-Wold

Der Satz von Cramér-Wold, auch Cramér-Wold-Device genannt, (nach Harald Cramér und Herman Wold) aus der Maßtheorie besagt, dass ein Borelmaß auf durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist. Dies begründet, warum es in statistischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht, sich Projektionen der Daten anzuschauen. Er wurde 1936 veröffentlicht.

Es sei () eine Folge von reellen -dimensionalen Zufallsvariablen und eine reelle -dimensionale Zufallsvariable.

Dann gilt: konvergiert in Verteilung gegen konvergiert in Verteilung gegen für alle .

Alle (festen) Linearkombinationen von konvergieren in Verteilung gegen die jeweils korrespondierende Linearkombination von genau dann, wenn gegen in Verteilung konvergiert. Dies bedeutet, dass die Konvergenz in Verteilung einer multivariaten Zufallsvariablen auf die Konvergenz in Verteilung einer Menge univariater Zufallsvariablen (eben der Linearkombinationen) zurückgeführt werden kann.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 335, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  2. Harald Cramér, Herman Wold: Some theorems on distribution functions. In: Journal of the London Mathematical Society. Serie 1, Bd. 11, Nr. 4, 1936, ISSN 0024-6107, S. 290–294, doi:10.1112/jlms/s1-11.4.290.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Cramer Wold auch Cramer Wold Device genannt 1 nach Harald Cramer und Herman Wold aus der Masstheorie besagt dass ein Borelmass auf R k displaystyle mathbb R k durch alle seine eindimensionalen Projektionen eindeutig bestimmt ist Dies begrundet warum es in statistischen Verfahren wie der Grand Tour oder Projection Pursuit ausreicht sich Projektionen der Daten anzuschauen Er wurde 1936 veroffentlicht 2 Es sei X n X n 1 X n k displaystyle overline X n X n1 dots X nk n N displaystyle n in mathbb N eine Folge von reellen k displaystyle k dimensionalen Zufallsvariablen und X X 1 X k displaystyle overline X X 1 dots X k eine reelle k displaystyle k dimensionale Zufallsvariable Dann gilt X n displaystyle overline X n konvergiert in Verteilung gegen X i 1 k t i X n i displaystyle overline X Longleftrightarrow sum i 1 k t i X ni konvergiert in Verteilung gegen i 1 k t i X i displaystyle sum i 1 k t i X i fur alle t 1 t k R k displaystyle t 1 dots t k in mathbb R k Alle festen Linearkombinationen von X n displaystyle overline X n konvergieren in Verteilung gegen die jeweils korrespondierende Linearkombination von X displaystyle overline X genau dann wenn X n displaystyle overline X n gegen X displaystyle overline X in Verteilung konvergiert Dies bedeutet dass die Konvergenz in Verteilung einer multivariaten Zufallsvariablen auf die Konvergenz in Verteilung einer Menge univariater Zufallsvariablen eben der Linearkombinationen zuruckgefuhrt werden kann Weblinks BearbeitenPlanetMath Cramer Wold theoremEinzelnachweise Bearbeiten Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 335 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Harald Cramer Herman Wold Some theorems on distribution functions In Journal of the London Mathematical Society Serie 1 Bd 11 Nr 4 1936 ISSN 0024 6107 S 290 294 doi 10 1112 jlms s1 11 4 290 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cramer Wold amp oldid 208144784