Total geodätische Untermannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern den Begriff der Hyperebenen in euklidischen Räumen auf riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Definition Bearbeiten
Eine Untermannigfaltigkeit einer riemannschen Mannigfaltigkeit heißt total geodätisch, wenn jede Geodäte in auch eine Geodäte in ist.
Eine äquivalente Bedingung ist, dass die zweite Fundamentalform von identisch ist.
Beispiele Bearbeiten
- Ebenen im euklidischen sind Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätische Flächen.
- Allgemeiner sind Untervektorräume des euklidischen total geodätisch.
- Großkreise auf der Sphäre sind ebenfalls Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätisch.
- Für ist der projektive Raum eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von und eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von .
- Viele riemannsche Mannigfaltigkeiten besitzen keine total geodätischen Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1.
- Eine Fläche in einer hyperbolischen -Mannigfaltigkeit ist homotop zu einer total geodätischen Fläche genau dann, wenn sie azylindrisch ist.
- Die total geodätischen Flächen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bilden dichte Teilmengen in den Teichmüller-Räumen geschlossener, orientierbarer Flächen.
Literatur Bearbeiten
do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. ISBN 0-8176-3490-8
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Jost, Jürgen: Riemannian geometry and geometric analysis. Sixth edition. Universitext. Springer, Heidelberg, 2011. ISBN 978-3-642-21297-0 (Theorem 3.4.3)
- Fujii, Michihiko; Soma, Teruhiko: Totally geodesic boundaries are dense in the moduli space. J. Math. Soc. Japan 49 (1997), no. 3, 589–601.