www.wikidata.de-de.nina.az

Geodätische Krümmung Die geodätische Krümmung ist ein Begriff aus der klassischen Differentialgeometrie und bezeichnet b

Geodätische Krümmung

Die geodätische Krümmung ist ein Begriff aus der klassischen Differentialgeometrie und bezeichnet bei einer Kurve auf einer Fläche denjenigen Anteil der Krümmung dieser Kurve, der in der Fläche gemessen werden kann. Anschaulich ist sie die Krümmung der in die Tangentialebene projizierten Kurve.

Die geodätische Krümmung ist eine von der Fläche abhängige Eigenschaft der Kurve. Sie gehört zur inneren Geometrie der Fläche, d. h., sie kann auch ohne Kenntnis der Krümmung der Fläche im Raum bestimmt werden. Kurven mit der geodätischen Krümmung 0 werden als Geodäten bezeichnet. Sie bilden lokal den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten in der Fläche.

Definition Bearbeiten

Im dreidimensionalen Raum () seien eine Fläche mit dem Normaleneinheitsvektor sowie eine nach der Bogenlänge parametrisierte differenzierbare Kurve auf . Dann heißt

die geodätische Krümmung von bezüglich .

Zusammenhang zur Normalkrümmung Bearbeiten

Der (Raum-)Krümmungsvektor kann nach den Ableitungsgleichungen von Burali-Forti in zwei Anteile aufgeteilt werden: einen Anteil, der tangential zur Fläche ist, und einen Anteil, der orthogonal zur Fläche ist:

wobei der Tangentenvektor der Kurve ist. Die Krümmung wird als Normalkrümmung bezüglich der Fläche bezeichnet. Sie ist die Krümmung jener Kurve im betrachteten Punkt , die durch Schnitt von mit einer zur Tangentialebene in orthogonalen Ebene entsteht. Die Normalkrümmung ist daher abhängig von der Richtung der Kurve in , welche durch die Ausrichtung der Schnittebene (Rotation um den Normalvektor der Fläche in ) bestimmt ist. Die Extremwerte der Normalkrümmung werden als Hauptkrümmungen, die dazugehörigen Kurvenrichtungen als Hauptkrümmungsrichtungen bezeichnet.

Für die Raumkrümmung einer Kurve gilt:

Bezeichnet den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Fläche und dem Hauptnormalenvektor der Kurve, so gilt:

Beispiel Bearbeiten

Auf der Kugelfläche mit der Parameterdarstellung

beträgt die geodätische Krümmung der Längenkreise () . Für die Breitenkreise () gilt: .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die geodätische Krümmung ist eine Größe der inneren Geometrie von Flächen, d. h., sie hängt neben dem Verlauf der Kurve lediglich von der ersten Fundamentalform der Fläche und deren Ableitungen ab. Sie kann also allein durch Längen- und Winkelmessungen innerhalb der Fläche bestimmt werden, ohne dass die räumliche Form dieser Fläche bekannt sein muss.
  • Durch die Vorgabe der geodätischen Krümmung sowie eines Anfangspunktes und einer Anfangsrichtung wird eine Flächenkurve eindeutig festgelegt.
  • Besondere Bedeutung haben Flächenkurven mit der geodätischen Krümmung 0. Sie werden als Geodäten bezeichnet und bilden den (lokal) kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten auf der Fläche.
  • Die geodätische Krümmung ist vorzeichenbehaftet. Kehrt man die Orientierung von oder den Durchlaufsinn von um, wechselt das Vorzeichen.

Literatur Bearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Reprinted edition. Prentice-Hall, Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
  • Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. Vieweg-Verlag, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-07289-X.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die geodatische Krummung ist ein Begriff aus der klassischen Differentialgeometrie und bezeichnet bei einer Kurve auf einer Flache denjenigen Anteil der Krummung dieser Kurve der in der Flache gemessen werden kann Anschaulich ist sie die Krummung der in die Tangentialebene projizierten Kurve Die geodatische Krummung ist eine von der Flache abhangige Eigenschaft der Kurve Sie gehort zur inneren Geometrie der Flache d h sie kann auch ohne Kenntnis der Krummung der Flache im Raum bestimmt werden Kurven mit der geodatischen Krummung 0 werden als Geodaten bezeichnet Sie bilden lokal den kurzesten Abstand zwischen zwei Punkten in der Flache Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang zur Normalkrummung 3 Beispiel 4 Eigenschaften 5 LiteraturDefinition BearbeitenIm dreidimensionalen Raum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp seien S displaystyle S nbsp eine Flache mit dem Normaleneinheitsvektor n displaystyle vec n nbsp sowie r s displaystyle vec r s nbsp eine nach der Bogenlange s displaystyle s nbsp parametrisierte differenzierbare Kurve auf S displaystyle S nbsp Dann heisst k g s d 2 r s d s 2 n r s d r s d s d 2 r s d s 2 n r s d r s d s displaystyle kappa g s frac mathrm d 2 vec r s mathrm d s 2 cdot left vec n vec r s times frac mathrm d vec r s mathrm d s right left frac mathrm d 2 vec r s mathrm d s 2 vec n vec r s frac mathrm d vec r s mathrm d s right nbsp die geodatische Krummung von r s displaystyle vec r s nbsp bezuglich S displaystyle S nbsp Zusammenhang zur Normalkrummung BearbeitenDer Raum Krummungsvektor d 2 r s d s 2 displaystyle mathrm d 2 vec r s mathrm d s 2 nbsp kann nach den Ableitungsgleichungen von Burali Forti in zwei Anteile aufgeteilt werden einen Anteil der tangential zur Flache ist und einen Anteil der orthogonal zur Flache ist d 2 r s d s 2 d t s d s k g s n r s t s k n s n r s displaystyle frac mathrm d 2 vec r s mathrm d s 2 frac mathrm d vec t s mathrm d s kappa g s cdot vec n vec r s times vec t s kappa n s cdot vec n vec r s nbsp wobei t s d r s d s displaystyle vec t s mathrm d vec r s mathrm d s nbsp der Tangentenvektor der Kurve ist Die Krummung k n s displaystyle kappa n s nbsp wird als Normalkrummung bezuglich der Flache S displaystyle S nbsp bezeichnet Sie ist die Krummung jener Kurve im betrachteten Punkt P displaystyle P nbsp die durch Schnitt von S displaystyle S nbsp mit einer zur Tangentialebene in P displaystyle P nbsp orthogonalen Ebene entsteht Die Normalkrummung ist daher abhangig von der Richtung der Kurve in P displaystyle P nbsp welche durch die Ausrichtung der Schnittebene Rotation um den Normalvektor der Flache in P displaystyle P nbsp bestimmt ist Die Extremwerte der Normalkrummung werden als Hauptkrummungen die dazugehorigen Kurvenrichtungen als Hauptkrummungsrichtungen bezeichnet Fur die Raumkrummung einer Kurve gilt k s d 2 r s d s 2 k n s 2 k g s 2 displaystyle kappa s left frac mathrm d 2 vec r s mathrm d s 2 right sqrt kappa n s 2 kappa g s 2 nbsp Bezeichnet ps displaystyle psi nbsp den Winkel zwischen dem Normalenvektor n displaystyle vec n nbsp der Flache und dem Hauptnormalenvektor der Kurve so gilt k g k sin ps displaystyle kappa g pm kappa sin psi nbsp Beispiel BearbeitenAuf der Kugelflache mit der Parameterdarstellung r ϑ f R sin ϑ cos f sin ϑ sin f cos ϑ displaystyle vec r vartheta varphi R begin pmatrix sin vartheta cdot cos varphi sin vartheta cdot sin varphi cos vartheta end pmatrix nbsp betragt die geodatische Krummung der Langenkreise f c o n s t displaystyle varphi mathrm const nbsp k g 0 displaystyle kappa g 0 nbsp Fur die Breitenkreise ϑ c o n s t displaystyle vartheta mathrm const nbsp gilt k g 1 R tan ϑ displaystyle kappa g 1 R tan vartheta nbsp Eigenschaften BearbeitenDie geodatische Krummung ist eine Grosse der inneren Geometrie von Flachen d h sie hangt neben dem Verlauf der Kurve lediglich von der ersten Fundamentalform der Flache und deren Ableitungen ab Sie kann also allein durch Langen und Winkelmessungen innerhalb der Flache bestimmt werden ohne dass die raumliche Form dieser Flache bekannt sein muss Durch die Vorgabe der geodatischen Krummung k g s displaystyle kappa g s nbsp sowie eines Anfangspunktes und einer Anfangsrichtung wird eine Flachenkurve eindeutig festgelegt Besondere Bedeutung haben Flachenkurven mit der geodatischen Krummung 0 Sie werden als Geodaten bezeichnet und bilden den lokal kurzesten Abstand zwischen zwei Punkten auf der Flache Die geodatische Krummung k g displaystyle kappa g nbsp ist vorzeichenbehaftet Kehrt man die Orientierung von S displaystyle S nbsp oder den Durchlaufsinn von r s displaystyle vec r s nbsp um wechselt k g displaystyle kappa g nbsp das Vorzeichen Der Satz von Gauss Bonnet stellt einen Zusammenhang zwischen der gaussschen Krummung eines begrenzten Bereichs einer Flache und der geodatischen Krummung der Randkurve dieser Flache her Literatur BearbeitenManfredo Perdigao do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Reprinted edition Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1976 ISBN 0 13 212589 7 Wolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Kurven Flachen Mannigfaltigkeiten Vieweg Verlag Braunschweig u a 1999 ISBN 3 528 07289 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Geodatische Krummung amp oldid 239498998