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Rotationskörper

Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper genannt, dessen Oberfläche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet wird (siehe Rotationsfläche). Die Rotationsachse wird auch Figurenachse genannt. Die Kurve liegt dabei in einer Ebene, und auch die Achse liegt in ebenderselben. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus. Er wird durch die Rotation eines Kreises gebildet. Auch Kegel und Zylinder sind Rotationskörper.

Das Volumen und die Oberfläche werden mit den sogenannten Guldinschen Regeln (benannt nach dem Mathematiker und Astronomen Paul Guldin) errechnet. Bereits in der Antike waren diese als Baryzentrische Regeln oder Zentrobarische Regel bekannt und wurden vom griechischen Mathematiker Pappos von Alexandria beschrieben.

Darstellung der Rotation einer Sinuskurve

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers Bearbeiten

Falls die erzeugende Kurve die Drehachse schneidet, ist zu überlegen, ob die entsprechenden Teilvolumina als positive oder negative Beiträge zum Gesamtvolumen gezählt werden sollen.

Rotation um die x-Achse Bearbeiten

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion im Intervall , die -Achse und die beiden Geraden und begrenzt wird, um die -Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

Rotation um die y-Achse Bearbeiten

1. Fall: „disc integration“ Bearbeiten

Disc integration

Bei Rotation (um die -Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion im Intervall , die -Achse und die beiden Geraden und begrenzt wird, muss man umformen zur Umkehrfunktion . Diese existiert, wenn stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z. B. im Bild rechts oben), lässt sich vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

Wenn man hier substituiert, erhält man mithilfe der Substitutionsregel für Integrale für das Volumen um die -Achse

Der Absolutwert von und die min/max-Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

2. Fall: „shell integration“ (Zylindermethode) Bearbeiten

Shell integration

Bei Rotation (um die -Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion im Intervall , die -Achse und die beiden Geraden und begrenzt wird, gilt die Formel:

Guldinsche Regeln Bearbeiten

Die beiden guldinschen Regeln, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Paul Guldin, verkürzen Oberflächen- und Volumenberechnungen von Rotationskörpern enorm, falls sich die Linien- oder Flächenschwerpunkte der rotierenden Objekte unter Ausnutzen der Symmetrien der jeweiligen Aufgabe einfach erkennen lassen (s. u. Torus-Beispiele).

Bezeichnungen:

Erste Regel Bearbeiten

Der Flächeninhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Linienschwerpunktes der Profillinie erzeugt wird:

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion der erzeugenden Linie ergibt sich der Flächeninhalt als:

Bei Rotation um die x-Achse Bearbeiten

Mit als -Koordinate des Linienschwerpunktes der Linie und ihrem Linienelement findet man

was das obige Ergebnis darstellt, wenn noch mit den -Intervallgrenzen eingesetzt wird.

Bei Rotation um die y-Achse Bearbeiten

Wie oben bei der Volumenberechnung muss auch hier gegebenenfalls die Rechnung für die stetigen und streng monotonen Abschnitte von , in denen die Umkehrfunktion existiert, separat durchgeführt werden.

Beispiel: Oberfläche eines Rotationstorus:

Siehe auch: Mantelfläche

Zweite Regel Bearbeiten

Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, der durch die Rotation des Flächenschwerpunktes dieser Fläche erzeugt wird:

Im Folgenden wird die Rotation einer Fläche um die -Achse betrachtet, der Fall einer gekippten Rotationsachse lässt sich durch Koordinatentransformation erreichen. Im Fall der Rotation um die -Achse einer Fläche zwischen , der -Achse und den Grenzen und ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch mit als Flächenschwerpunkt zu

mit und .

Beispiel: Volumen eines Rotationstorus:

Parameterform Bearbeiten

Wenn eine Kurve durch ihre Parameterform in einem Intervall definiert wird, sind die Volumina der Körper, die durch Drehen der Kurve um die x-Achse oder die y-Achse erzeugt werden, gegeben durch

Der Oberflächeninhalt dieser Körper ist gegeben durch

Keplersche Fassregel Bearbeiten

Die Keplersche Fassregel gibt

als Näherungswert für das Volumen eines Körpers, dessen Querschnittsfläche an drei Stellen bekannt ist, an. Ist der Körper ein Rotationskörper, so gilt bei Rotation um die -Achse:

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kurt Magnus: Kreisel. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin, Heidelberg 1971, ISBN 978-3-642-52163-8, S. 44.
  2. Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjaew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Auflage. Teubner; Nauka, Leipzig; Moskau 1981, S. 369 f. (XII, 860).
  3. A. K. Sharma: Application Of Integral Calculus. Discovery Publishing House, 2005, ISBN 81-7141-967-4, S. 168 (google.com).
  4. Ravish R. Singh: Engineering Mathematics. 6th Auflage. Tata McGraw-Hill, 1993, ISBN 0-07-014615-2, S. 6.90 (google.com).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Rotationskörper – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Die Artikel Rotationskorper und Rotationsflache uberschneiden sich thematisch Informationen die du hier suchst konnen sich also auch im anderen Artikel befinden Gerne kannst du dich an der betreffenden Redundanzdiskussion beteiligen oder direkt dabei helfen die Artikel zusammenzufuhren oder besser voneinander abzugrenzen Anleitung Rotationskorper wird in der Geometrie ein Korper genannt dessen Oberflache durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet wird siehe Rotationsflache Die Rotationsachse wird auch Figurenachse genannt 1 Die Kurve liegt dabei in einer Ebene und auch die Achse liegt in ebenderselben Ein bekannter Rotationskorper ist der Torus Er wird durch die Rotation eines Kreises gebildet Auch Kegel und Zylinder sind Rotationskorper Das Volumen und die Oberflache werden mit den sogenannten Guldinschen Regeln 2 benannt nach dem Mathematiker und Astronomen Paul Guldin errechnet Bereits in der Antike waren diese als Baryzentrische Regeln oder Zentrobarische Regel bekannt und wurden vom griechischen Mathematiker Pappos von Alexandria beschrieben Darstellung der Rotation einer SinuskurveInhaltsverzeichnis 1 Berechnung des Volumens eines Rotationskorpers 1 1 Rotation um die x Achse 1 2 Rotation um die y Achse 1 2 1 1 Fall disc integration 1 2 2 2 Fall shell integration Zylindermethode 2 Guldinsche Regeln 2 1 Erste Regel 2 1 1 Bei Rotation um die x Achse 2 1 2 Bei Rotation um die y Achse 2 2 Zweite Regel 3 Parameterform 4 Keplersche Fassregel 5 Siehe auch 6 Einzelnachweise 7 WeblinksBerechnung des Volumens eines Rotationskorpers BearbeitenFalls die erzeugende Kurve die Drehachse schneidet ist zu uberlegen ob die entsprechenden Teilvolumina als positive oder negative Beitrage zum Gesamtvolumen gezahlt werden sollen Rotation um die x Achse Bearbeiten Fur einen Rotationskorper der durch Rotation der Flache die durch den Graphen der Funktion f displaystyle f nbsp im Intervall a b displaystyle a b nbsp die x displaystyle x nbsp Achse und die beiden Geraden x a displaystyle x a nbsp und x b displaystyle x b nbsp begrenzt wird um die x displaystyle x nbsp Achse entsteht lautet die Formel zur Volumenberechnung V p a b f x 2 d x displaystyle V pi cdot int a b f x 2 mathrm d x nbsp Rotation um die y Achse Bearbeiten 1 Fall disc integration Bearbeiten nbsp Disc integrationBei Rotation um die y displaystyle y nbsp Achse der Flache die durch den Graphen der Funktion f displaystyle f nbsp im Intervall a b displaystyle a b nbsp die y displaystyle y nbsp Achse und die beiden Geraden y f a displaystyle y f a nbsp und y f b displaystyle y f b nbsp begrenzt wird muss man y f x displaystyle y f x nbsp umformen zur Umkehrfunktion x f 1 y displaystyle x f 1 y nbsp Diese existiert wenn f displaystyle f nbsp stetig und streng monoton ist Falls nicht wie z B im Bild rechts oben lasst sich f displaystyle f nbsp vielleicht in Abschnitte zerlegen in denen f displaystyle f nbsp jeweils stetig und streng monoton ist Die zu diesen Abschnitten gehorenden Volumina mussen dann separat berechnet und addiert werden V p min f a f b max f a f b f 1 y 2 d y displaystyle V pi cdot int min f a f b max f a f b f 1 y 2 mathrm d y nbsp Wenn man hier y f x displaystyle y f x nbsp substituiert erhalt man mithilfe der Substitutionsregel fur Integrale fur das Volumen um die y displaystyle y nbsp Achse V p min a b max a b x 2 d y p min a b max a b x 2 f x d x displaystyle V pi cdot int min a b max a b x 2 mathrm d y pi cdot int min a b max a b x 2 cdot left f x right mathrm d x nbsp Der Absolutwert von f displaystyle f nbsp und die min max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral 2 Fall shell integration Zylindermethode Bearbeiten nbsp Shell integrationBei Rotation um die y displaystyle y nbsp Achse der Flache die durch den Graphen der Funktion f displaystyle f nbsp im Intervall a b displaystyle a b nbsp die x displaystyle x nbsp Achse und die beiden Geraden x a displaystyle x a nbsp und x b displaystyle x b nbsp begrenzt wird gilt die Formel V 2 p a b x f x d x displaystyle V 2 pi int a b x f x mathrm d x nbsp Guldinsche Regeln BearbeitenDie beiden guldinschen Regeln benannt nach dem Schweizer Mathematiker Paul Guldin verkurzen Oberflachen und Volumenberechnungen von Rotationskorpern enorm falls sich die Linien oder Flachenschwerpunkte der rotierenden Objekte unter Ausnutzen der Symmetrien der jeweiligen Aufgabe einfach erkennen lassen s u Torus Beispiele Bezeichnungen M displaystyle M nbsp Oberflache V displaystyle V nbsp Rauminhalt L displaystyle L nbsp Lange der erzeugenden Linie Profillinie A displaystyle A nbsp Flacheninhalt der erzeugenden Flache R displaystyle R nbsp Radius des Schwerpunktkreises r displaystyle r nbsp Radius des rotierenden Kreises Torus Beispiele Erste Regel Bearbeiten Der Flacheninhalt M displaystyle M nbsp der Mantelflache eines Rotationskorpers dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet ist gleich dem Produkt aus der Lange der erzeugenden Linie Profillinie und dem Umfang des Kreises Schwerpunktkreis der durch die Rotation des Linienschwerpunktes der Profillinie erzeugt wird M L 2 p R displaystyle M L cdot 2 pi R nbsp Ausgedruckt in Abhangigkeit von der Funktion f displaystyle f nbsp der erzeugenden Linie ergibt sich der Flacheninhalt als Bei Rotation um die x Achse Bearbeiten M 2 p a b f x 1 f x 2 d x displaystyle M 2 pi int a b f x sqrt 1 left f x right 2 mathrm d x nbsp Mit R y s 1 L L y d L displaystyle textstyle R y s frac 1 L int L y mathrm d L nbsp als y displaystyle y nbsp Koordinate des Linienschwerpunktes der Linie L displaystyle L nbsp und ihrem Linienelement d L displaystyle mathrm d L nbsp findet man M L 2 p R L 2 p 1 L L f x d L 2 p L f x d L displaystyle M L cdot 2 pi R L cdot 2 pi cdot frac 1 L int L f x mathrm d L 2 pi int L f x mathrm d L nbsp was das obige Ergebnis darstellt wenn noch d L d x 2 d y 2 1 d y d x 2 d x displaystyle textstyle mathrm d L sqrt mathrm d x 2 mathrm d y 2 sqrt 1 left frac mathrm d y mathrm d x right 2 mathrm d x nbsp mit den x displaystyle x nbsp Intervallgrenzen a b displaystyle a b nbsp eingesetzt wird Bei Rotation um die y Achse Bearbeiten M 2 p min f a f b max f a f b f 1 y 1 f 1 y 2 d y displaystyle M 2 pi int min f a f b max f a f b f 1 y sqrt 1 left left f 1 y right right 2 mathrm d y nbsp Wie oben bei der Volumenberechnung muss auch hier gegebenenfalls die Rechnung fur die stetigen und streng monotonen Abschnitte von f x displaystyle f x nbsp in denen die Umkehrfunktion existiert separat durchgefuhrt werden Beispiel Oberflache eines Rotationstorus M 2 p r 2 p R 4 p 2 r R displaystyle M 2 pi r cdot 2 pi R 4 pi 2 rR nbsp Siehe auch Mantelflache Zweite Regel Bearbeiten Das Volumen eines Rotationskorpers ist gleich dem Produkt aus dem Flacheninhalt der erzeugenden Flache und dem Umfang des Kreises der durch die Rotation des Flachenschwerpunktes dieser Flache erzeugt wird V A 2 p R displaystyle V A cdot 2 pi R nbsp Im Folgenden wird die Rotation einer Flache um die x displaystyle x nbsp Achse betrachtet der Fall einer gekippten Rotationsachse lasst sich durch Koordinatentransformation erreichen Im Fall der Rotation um die x displaystyle x nbsp Achse einer Flache zwischen f x displaystyle f x nbsp der x displaystyle x nbsp Achse und den Grenzen x a displaystyle x a nbsp und x b displaystyle x b nbsp ergibt sich das Volumen ausgedruckt durch f x displaystyle f x nbsp mit R displaystyle R nbsp als Flachenschwerpunkt zu V A 2 p 1 A A y d A p a b f x 2 d x displaystyle V A cdot 2 pi tfrac 1 A int A y mathrm d A pi cdot int a b f x 2 mathrm d x nbsp mit y f x 2 displaystyle y tfrac f x 2 nbsp und d A f x d x displaystyle mathrm d A f x mathrm d x nbsp Beispiel Volumen eines Rotationstorus V p r 2 2 p R 2 p 2 r 2 R displaystyle V pi r 2 cdot 2 pi R 2 pi 2 r 2 R nbsp Parameterform BearbeitenWenn eine Kurve durch ihre Parameterform x t y t displaystyle x t y t nbsp in einem Intervall a b displaystyle a b nbsp definiert wird sind die Volumina der Korper die durch Drehen der Kurve um die x Achse oder die y Achse erzeugt werden gegeben durch 3 V x a b p y 2 d x d t d t displaystyle V x int a b pi y 2 frac mathrm d x mathrm d t mathrm d t nbsp V y a b p x 2 d y d t d t displaystyle V y int a b pi x 2 frac mathrm d y mathrm d t mathrm d t nbsp Der Oberflacheninhalt dieser Korper ist gegeben durch 4 M x a b 2 p y d x d t 2 d y d t 2 d t displaystyle M x int a b 2 pi y sqrt left frac mathrm d x mathrm d t right 2 left frac mathrm d y mathrm d t right 2 mathrm d t nbsp M y a b 2 p x d x d t 2 d y d t 2 d t displaystyle M y int a b 2 pi x sqrt left frac mathrm d x mathrm d t right 2 left frac mathrm d y mathrm d t right 2 mathrm d t nbsp Keplersche Fassregel BearbeitenDie Keplersche Fassregel gibt V h 6 q 0 4 q h 2 q h displaystyle V frac h 6 cdot left q 0 4q left frac h 2 right q h right nbsp als Naherungswert fur das Volumen eines Korpers dessen Querschnittsflache an drei Stellen bekannt ist an Ist der Korper ein Rotationskorper so gilt bei Rotation um die x displaystyle x nbsp Achse V p a b f x 2 d x displaystyle V pi cdot int a b f x 2 mathrm d x nbsp p b a 6 r a 2 4 r a b 2 2 r b 2 displaystyle approx pi frac b a 6 cdot left r a 2 4 left r left frac a b 2 right right 2 r b 2 right nbsp Siehe auch BearbeitenRotationsflache Kugel Kegel Kegelstumpf Zylinder Rotationsparaboloid Rotationshyperboloid RotationsellipsoidEinzelnachweise Bearbeiten Kurt Magnus Kreisel Theorie und Anwendungen Springer Berlin Heidelberg 1971 ISBN 978 3 642 52163 8 S 44 Ilja N Bronstein Konstantin A Semendjaew Taschenbuch der Mathematik 20 Auflage Teubner Nauka Leipzig Moskau 1981 S 369 f XII 860 A K Sharma Application Of Integral Calculus Discovery Publishing House 2005 ISBN 81 7141 967 4 S 168 google com Ravish R Singh Engineering Mathematics 6th Auflage Tata McGraw Hill 1993 ISBN 0 07 014615 2 S 6 90 google com Weblinks BearbeitenLiteratur uber Rotationskorper im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek Ronny Harbich Rotationskorper Memento vom 15 Marz 2011 im Internet Archive Bei Uni Magdeburg de 2003 PDF 948 kB nbsp Commons Rotationskorper Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Normdaten Sachbegriff GND 4136951 8 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rotationskorper amp oldid 233682747 Guldinsche Regeln