Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung fur einen speziellen Rotationskorper Ein Kegelstumpf entsteht dadurch dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundflache einen kleineren Kegel abschneidet Dieser kleinere Kegel wird als Erganzungskegel des Kegelstumpfs bezeichnet Kegelstumpf3D Modell Nach Anklicken kann das Bild mit der Maus manipuliert werdenDie grossere der beiden parallelen Kreisflachen ist die Grundflache G displaystyle G die kleinere die Deckflache D displaystyle D Die dritte der begrenzenden Flachen wird als Mantelflache M displaystyle M bezeichnet Diese Bezeichnungen sind zugleich fur die Flacheninhalte dieser Flachen ublich Unter der Hohe h displaystyle h des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund und Deckflache Nahe verwandt mit dem Kegelstumpf ist der Pyramidenstumpf Inhaltsverzeichnis 1 Formeln 2 Beweise 2 1 Volumen 2 2 Mantelflache 2 3 Oberflache 3 Anwendungsbeispiele 3 1 Trinkglas 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksFormeln BearbeitenMit r displaystyle r nbsp werde der Radius der Deckflache mit R displaystyle R nbsp der Radius der Grundflache bezeichnet f displaystyle varphi nbsp sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse Formeln zum KegelstumpfVolumen V h p 3 R 2 R r r 2 displaystyle V frac h cdot pi 3 cdot R 2 R cdot r r 2 nbsp nbsp Lange einer Mantellinie m R r 2 h 2 displaystyle m sqrt R r 2 h 2 nbsp Mantelflache M R r p m displaystyle M R r cdot pi cdot m nbsp Deckflache D p r 2 displaystyle D pi cdot r 2 nbsp Grundflache G p R 2 displaystyle G pi cdot R 2 nbsp Oberflache O p r 2 R 2 m r R displaystyle O pi cdot left r 2 R 2 m cdot r R right nbsp Hohe des Kegelstumpfs h R r tan f displaystyle h frac R r tan varphi nbsp Beweise BearbeitenVolumen Bearbeiten Fur die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfs wird die Hohe des Erganzungskegels mit k displaystyle k nbsp bezeichnet Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels Radius R displaystyle R nbsp und Hohe h k displaystyle h k nbsp und dem Volumen des Erganzungskegels Radius r displaystyle r nbsp und Hohe k displaystyle k nbsp Mit Hilfe des Strahlensatzes Vierstreckensatz folgt dass h k R k r displaystyle frac h k R frac k r nbsp Nennt man diesen Quotienten l displaystyle lambda nbsp so gilt h k l R displaystyle h k lambda cdot R nbsp und k l r displaystyle k lambda cdot r nbsp Die Hohe ist somit h l R r displaystyle h lambda cdot R r nbsp Das Volumen des grossen Kegels ist V R R 2 p h k 3 l R 3 p 3 displaystyle V R frac R 2 cdot pi cdot h k 3 lambda cdot R 3 cdot frac pi 3 nbsp das Volumen des kleinen Kegels ist V r r 2 p k 3 l r 3 p 3 displaystyle V r frac r 2 cdot pi cdot k 3 lambda cdot r 3 cdot frac pi 3 nbsp das Volumen des Kegelstumpfs ist die Differenz V V R V r l R 3 r 3 p 3 displaystyle V V R V r lambda left R 3 r 3 right frac pi 3 nbsp l R r R 2 R r r 2 p 3 h p 3 R 2 R r r 2 displaystyle lambda R r left R 2 R cdot r r 2 right frac pi 3 frac h cdot pi 3 left R 2 Rr r 2 right nbsp Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines Integrals berechnet werden da ein solcher Korper als ein um die x Achse rotierter Rotationskorper betrachtet werden kann Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskorper lautet V p a b f x 2 d x displaystyle V pi cdot int limits a b f x 2 mathrm d x nbsp Setzt man hier fur f x R r h x r displaystyle f x frac R r h cdot x r nbsp ein und errechnet das Integral in den Grenzen von a 0 displaystyle a 0 nbsp und b h displaystyle b h nbsp so erhalt man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern Dass diese Formel der obigen Formel gleicht ergibt sich durch folgende Rechnung V p 0 h R r h x r 2 d x displaystyle V pi cdot int limits 0 h left frac R r h cdot x r right 2 mathrm d x nbsp p 0 h R r 2 h 2 x 2 2 R r h x r r 2 d x displaystyle pi cdot int limits 0 h left frac R r 2 h 2 cdot x 2 2 cdot frac R r h cdot x cdot r r 2 right mathrm d x nbsp p R r 2 3 h 2 x 3 R r h x 2 r r 2 x x 0 x h displaystyle pi cdot left frac R r 2 3 cdot h 2 cdot x 3 frac R r h cdot x 2 cdot r r 2 cdot x Big x 0 x h right nbsp p R r 2 3 h R r h displaystyle pi cdot left frac R r 2 3 cdot h R cdot r cdot h right nbsp p R 2 R r r 2 3 h displaystyle pi cdot left frac R 2 R cdot r r 2 3 cdot h right nbsp h p 3 R 2 R r r 2 displaystyle frac h cdot pi 3 cdot left R 2 R cdot r r 2 right nbsp Mantelflache Bearbeiten Fur die Berechnung der Mantelflache des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit n displaystyle n nbsp bezeichnet Laut Strahlensatz gilt R r n m n displaystyle frac R r frac n m n nbsp also n m r R r displaystyle n frac m cdot r R r nbsp Die Mantelflache berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelflache M 1 displaystyle M 1 nbsp des grossen Kegels Radius R displaystyle R nbsp und Mantellinie m n displaystyle m n nbsp und der Mantelflache M 2 displaystyle M 2 nbsp des kleinen weggeschnittenen Kegels Radius r displaystyle r nbsp und Mantellinie n displaystyle n nbsp M M 1 M 2 displaystyle M M 1 M 2 nbsp p R m n p r n displaystyle pi cdot R cdot m n pi cdot r cdot n nbsp p m R p n R r displaystyle pi cdot m cdot R pi cdot n cdot R r nbsp p m R p m r R r R r displaystyle pi cdot m cdot R pi cdot frac m cdot r R r cdot R r nbsp p m R p m r displaystyle pi cdot m cdot R pi cdot m cdot r nbsp p m R r displaystyle pi cdot m cdot R r nbsp dd Siehe auch Abschnitt Mantelflache im Artikel Kegel Geometrie und Abschnitt Mantelflache des Kegelstumpfs im Artikel Mantelflache Oberflache Bearbeiten nbsp Korpernetz eines Kegelstumpfs Der Umfang u1 der Deckflache D ist gleich der Bogenlange b1 Der Umfang u2 der Grundflache G ist gleich der Bogenlange b2 M ist die Mantelflache Die Oberflache des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckflache Grundflache und Mantelflache D p r 2 displaystyle D pi cdot r 2 nbsp G p R 2 displaystyle G pi cdot R 2 nbsp M p m r R displaystyle M pi cdot m cdot r R nbsp O D G M displaystyle O D G M nbsp p r 2 p R 2 p m r R displaystyle pi cdot r 2 pi cdot R 2 pi cdot m cdot r R nbsp p r 2 R 2 m r R displaystyle pi cdot left r 2 R 2 m cdot r R right nbsp dd Anwendungsbeispiele BearbeitenTrinkglas Bearbeiten nbsp Ein Martiniglas hat annahernd die Form eines Kegels Der nicht gefullte Teil hat die Form eines Kegelstumpfs Einige Trinkglaser zum Beispiel ein Martiniglas haben annahernd die Form eines Kegels Ein Martiniglas mit dem Durchmesser 103 Millimeter und der Fullhohe 59 Millimeter wird bis zu einer Hohe von 40 Millimetern mit Orangensaft gefullt Daraus ergibt sich R 51 5 m m displaystyle R 51 5 mathrm mm nbsp r 40 m m 59 m m 51 5 m m 34 9 m m displaystyle r frac 40 mathrm mm 59 mathrm mm cdot 51 5 mathrm mm approx 34 9 mathrm mm nbsp h 59 m m 40 m m 19 m m displaystyle h 59 mathrm mm 40 mathrm mm 19 mathrm mm nbsp und daraus das Volumen des nicht gefullten Teils der die Form eines Kegelstumpfs hat V 1 3 p h R 2 R r r 2 displaystyle V frac 1 3 cdot pi cdot h cdot R 2 R cdot r r 2 nbsp 113 10 3 m m 3 113 c m 3 113 m l displaystyle approx 113 cdot 10 3 mathrm mm 3 113 mathrm cm 3 113 mathrm ml nbsp Der nicht gefullte Teil hat also ein Volumen von etwa 113 Millilitern Der Anteil des Martiniglas der gefullt ist betragt 40 m m 59 m m 3 0 312 displaystyle left frac 40 mathrm mm 59 mathrm mm right 3 approx 0 312 nbsp Das Martiniglas ist also zu etwa 31 2 Prozent mit Orangensaft gefullt Siehe auch BearbeitenKegel Pyramidenstumpf KonusLiteratur BearbeitenRolf Baumann Geometrie fur die 9 10 Klasse Zentrische Streckung Satz des Pythagoras Kreis und Korperberechnungen 4 Auflage Mentor Verlag Munchen 2003 ISBN 3 580 63635 9 S 95 ff Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Kegelstumpf Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Kegelstumpf Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Normdaten Sachbegriff GND 1025473582 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kegelstumpf amp oldid 223680224
