Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie der einen speziellen Typ von Polyedern Vielflachnern beschreibt Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch dass man von einer Pyramide Ausgangspyramide parallel zur Grundflache an den Mantelflachen eine kleinere ahnliche Pyramide Erganzungspyramide abschneidet Schiefer PyramidenstumpfNetz des Pyramidenstumpfes einer regelmassigen quadratischen Pyramide Das Netz besteht aus einer jeweils quadratischen Grundflache und Deckflache sowie einer Mantelflache aus vier kongruenten gleichschenkligen Trapezen Die beiden parallelen Flachen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ahnlich Die grossere dieser beiden Flachen bezeichnet man als Grundflache die kleinere als Deckflache Den Abstand zwischen Grundflache und Deckflache nennt man die Hohe des Pyramidenstumpfes Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden V h 3 A 1 A 1 A 2 A 2 displaystyle V frac h 3 cdot left A text 1 sqrt A text 1 cdot A text 2 A text 2 right Dabei stehen A 1 displaystyle A 1 fur den Flacheninhalt der Grundflache A 2 displaystyle A 2 fur den Flacheninhalt der Deckflache und h displaystyle h fur die Hohe des Pyramidenstumpfes Fur die aus Trapezen zusammengesetzte Mantelflache gibt es keine einfache Formel Je schiefer bei gleichbleibender Hohe die Pyramide bzw der Pyramidenstumpf ist desto grosser ist die jeweils zugehorige Mantelflache Inhaltsverzeichnis 1 Beweise 1 1 Volumen 1 1 1 Grenzfalle 2 Regelmassiger Pyramidenstumpf 2 1 Formeln 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksBeweise BearbeitenVolumen Bearbeiten Fur die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden h 1 displaystyle h 1 nbsp als Hohe der Ausgangspyramide und h 2 displaystyle h 2 nbsp als Hohe der Erganzungspyramide definiert sodass h 1 h 2 h displaystyle h 1 h 2 h nbsp gilt Aus der zentrischen Streckung folgt dass h 1 h 2 k displaystyle frac h 1 h 2 k nbsp und daher auch A 1 A 2 k 2 displaystyle frac A 1 A 2 k 2 nbsp Dabei ist k displaystyle k nbsp der Streckfaktor der zentrischen Streckung Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Erganzungspyramide V V 1 V 2 A 1 h 1 3 A 2 h 2 3 displaystyle V V 1 V 2 frac A 1 cdot h 1 3 frac A 2 cdot h 2 3 nbsp Aus h 1 h 2 k displaystyle frac h 1 h 2 k nbsp und A 1 A 2 k 2 displaystyle frac A 1 A 2 k 2 nbsp folgt h 1 h 2 A 1 A 2 displaystyle frac h 1 h 2 frac sqrt A 1 sqrt A 2 nbsp Die Substitution l h 1 A 1 displaystyle lambda frac h 1 sqrt A 1 nbsp ergibt h 1 l A 1 displaystyle h 1 lambda cdot sqrt A 1 nbsp und h 2 l A 2 displaystyle h 2 lambda cdot sqrt A 2 nbsp Damit kann man das Volumen umschreiben V A 1 l A 1 3 A 2 l A 2 3 l A 1 3 2 A 2 3 2 3 displaystyle V frac A 1 cdot lambda cdot sqrt A 1 3 frac A 2 cdot lambda cdot sqrt A 2 3 frac lambda cdot A 1 frac 3 2 A 2 frac 3 2 3 nbsp Mit Hilfe der Formel a 3 b 3 a b a 2 a b b 2 displaystyle a 3 b 3 a b cdot a 2 a cdot b b 2 nbsp angewendet auf a A 1 displaystyle a sqrt A 1 nbsp und b A 2 displaystyle b sqrt A 2 nbsp ist das Volumen V l 3 A 1 A 2 A 1 2 A 1 A 2 A 2 2 displaystyle V frac lambda 3 cdot left sqrt A 1 sqrt A 2 right cdot left sqrt A 1 2 sqrt A 1 cdot sqrt A 2 sqrt A 2 2 right nbsp oder einfacher V l 3 A 1 A 2 A 1 A 1 A 2 A 2 displaystyle V frac lambda 3 cdot left sqrt A 1 sqrt A 2 right cdot left A 1 sqrt A 1 cdot sqrt A 2 A 2 right nbsp Der Faktor l A 1 A 2 displaystyle lambda cdot left sqrt A 1 sqrt A 2 right nbsp ist die Hohe h displaystyle h nbsp l A 1 A 2 l A 1 l A 2 h 1 h 2 h displaystyle lambda cdot left sqrt A 1 sqrt A 2 right lambda cdot sqrt A 1 lambda cdot sqrt A 2 h 1 h 2 h nbsp Daraus ergibt sich V h 3 A 1 A 1 A 2 A 2 displaystyle V frac h 3 cdot left A text 1 sqrt A text 1 cdot A text 2 A text 2 right nbsp mit dem Wurzelterm A 1 A 2 displaystyle sqrt A text 1 cdot A text 2 nbsp als sogen geometrischem Mittel des Grund und Deckflacheninhalts Grenzfalle Bearbeiten Nahern sich Grund und Deckflache einem Kreis erhalt man einen Kegelstumpf fur den dieselbe allgemeine Volumenformel gilt Geht die Hohe der Ausgangspyramide dagegen gegen unendlich nahert sich der Flacheninhalt der Deckflache A 2 displaystyle A 2 nbsp dem der Grundflache A 1 displaystyle A 1 nbsp und man erhalt ein Prisma dessen Volumenformel sich damit wegen A 1 A 2 displaystyle A 1 A 2 nbsp zu der Formel V h A 1 displaystyle V h cdot A 1 nbsp vereinfacht Geht A 2 displaystyle A 2 nbsp schliesslich gegen Null erhalt man ja nachdem ob die Grundflache ein n Eck oder Kreis ist eine komplette Pyramide oder einen Kegel mit der allgemeinen Volumenformel V h 3 A 1 displaystyle V textstyle frac h 3 cdot A 1 nbsp Regelmassiger Pyramidenstumpf BearbeitenEin regelmassiger Pyramidenstumpf hat jeweils ein regelmassiges Vieleck als Grundflache und als Deckflache Die Mantelflache besteht aus kongruenten gleichschenkligen Trapezen Der Mittelpunkt der Deckflache liegt senkrecht uber dem Mittelpunkt der Grundflache Formeln Bearbeiten nbsp Quadratischer PyramidenstumpfGrossen ohne Raumwinkel W displaystyle Omega nbsp in den Ecken Grossen eines regelmassigen Pyramidenstumpfs regelmassiges n Eck mit Seitenlange a1 als Grundflache regelmassiges n Eck mit Seitenlange a2 als Deckflache und Hohe h Allgemeiner Fall Quadratischer PyramidenstumpfVolumen V n a 1 3 a 2 3 h 12 a 1 a 2 cot p n n a 1 2 a 1 a 2 a 2 2 h 12 cot p n displaystyle V frac n cdot a 1 3 a 2 3 cdot h 12 cdot a 1 a 2 cdot cot left frac pi n right frac n cdot a 1 2 a 1 cdot a 2 a 2 2 cdot h 12 cdot cot left frac pi n right nbsp V a 1 3 a 2 3 h 3 a 1 a 2 a 1 2 a 1 a 2 a 2 2 h 3 displaystyle V frac a 1 3 a 2 3 cdot h 3 cdot a 1 a 2 frac a 1 2 a 1 cdot a 2 a 2 2 cdot h 3 nbsp Oberflacheninhalt O n 4 a 1 2 a 2 2 cot p n a 1 a 2 4 h 2 a 1 a 2 2 cot 2 p n displaystyle O frac n 4 cdot left a 1 2 a 2 2 cdot cot left frac pi n right a 1 a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 1 a 2 2 cdot cot 2 left frac pi n right right nbsp O a 1 2 a 2 2 a 1 a 2 4 h 2 a 1 a 2 2 displaystyle O a 1 2 a 2 2 a 1 a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 1 a 2 2 nbsp Flacheninhalt der Grundflache A 1 n a 1 2 4 cot p n displaystyle A 1 frac n cdot a 1 2 4 cdot cot left frac pi n right nbsp A 1 a 1 2 displaystyle A 1 a 1 2 nbsp Flacheninhalt der Deckflache A 2 n a 2 2 4 cot p n displaystyle A 2 frac n cdot a 2 2 4 cdot cot left frac pi n right nbsp A 2 a 2 2 displaystyle A 2 a 2 2 nbsp Flacheninhalt der Mantelflache M n a 1 a 2 4 4 h 2 a 1 a 2 2 cot 2 p n displaystyle M frac n cdot a 1 a 2 4 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 1 a 2 2 cdot cot 2 left frac pi n right nbsp M a 1 a 2 4 h 2 a 1 a 2 2 displaystyle M a 1 a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 1 a 2 2 nbsp Steilkantenlange l h 2 a 1 a 2 2 4 sin 2 p n 1 2 displaystyle l left h 2 frac a 1 a 2 2 4 cdot sin 2 left frac pi n right right frac 1 2 nbsp l h 2 a 1 a 2 2 2 displaystyle l sqrt h 2 frac a 1 a 2 2 2 nbsp Innenwinkel der regelmassigen Grundflache a n 2 n 180 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ nbsp a 90 displaystyle alpha 90 circ nbsp Basiswinkel der gleichschenkligen Trapeze a 1 a 2 arctan 1 a 1 a 2 4 h 2 a 1 a 2 2 cot 2 p n displaystyle alpha 1 alpha 2 arctan left frac 1 a 1 a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 1 a 2 2 cdot cot 2 left frac pi n right right nbsp a 1 a 2 arctan 1 a 1 a 2 4 h 2 a 1 a 2 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 arctan left frac 1 a 1 a 2 cdot sqrt 4 cdot h 2 a 1 a 2 2 right nbsp Winkel zwischen Grundflache und gleichschenkligen Trapezen b 1 arctan 2 h tan p n a 1 a 2 displaystyle beta 1 arctan left frac 2 cdot h cdot tan left frac pi n right a 1 a 2 right nbsp b 1 arctan 2 h a 1 a 2 displaystyle beta 1 arctan left frac 2 cdot h a 1 a 2 right nbsp Diederwinkel zwischen den gleichschenkligen Trapezen b 2 2 arctan 1 2 h 4 h 2 sin 2 p n a 1 a 2 2 tan 2 p n sin 2 p n 1 2 displaystyle beta 2 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot left frac 4 cdot h 2 cdot sin 2 left frac pi n right a 1 a 2 2 tan 2 left frac pi n right sin 2 left frac pi n right right frac 1 2 right nbsp b 2 2 arctan 1 2 h 4 h 2 2 a 1 a 2 2 displaystyle beta 2 2 cdot arctan left frac 1 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 2 cdot a 1 a 2 2 right nbsp Winkel zwischen Kante und Grundflache g arctan 2 h sin p n a 1 a 2 displaystyle gamma arctan left frac 2 cdot h cdot sin left frac pi n right a 1 a 2 right nbsp g arctan 2 h 2 a 1 a 2 displaystyle gamma arctan left frac 2 cdot h sqrt 2 cdot left a 1 a 2 right right nbsp Raumwinkel an der Grundflache W 1 4 arctan tan 2 b 1 b 2 4 tan 2 b 1 b 2 4 tan 2 b 2 4 displaystyle Omega 1 4 cdot arctan left sqrt tan left frac 2 cdot beta 1 beta 2 4 right cdot tan left frac 2 cdot beta 1 beta 2 4 right cdot tan 2 left frac beta 2 4 right right nbsp Siehe auch BearbeitenKegelstumpf DoppelpyramideLiteratur BearbeitenRolf Baumann Geometrie fur die 9 10 Klasse Zentrische Streckung Satz des Pythagoras Kreis und Korperberechnungen 4 Auflage Mentor Verlag Munchen 2003 ISBN 3 580 63635 9 S 95 ff Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Pyramidenstumpf Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Pyramidenstumpf Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Pyramidal Frustum In MathWorld englisch Pyramidenstumpf Rechner Web Application zum Berechnen Pyramidenstumpf Beispielaufgaben Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pyramidenstumpf amp oldid 239303241
