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Catalansche Fläche Eine ist in der Geometrie eine nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan benannte Regel

Catalansche Fläche

Eine Catalansche Fläche ist in der Geometrie eine nach dem belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan benannte Regelfläche, deren Erzeugenden (Geraden) alle zu einer festen Ebene, der Richtebene, parallel sind.

Catalansche Fläche: Beispiel Wendelfläche
Leitkurve ist eine Helix, Richtebene ist die x-y-Ebene

Eine Catalansche Fläche mit der Richtebene lässt sich durch eine Parameterdarstellung

  • mit

beschreiben. Jede Flächenkurve mit festem Parameter ist eine Erzeugende, beschreibt die Leitkurve und die Vektoren sind alle parallel zur Richtebene.

Ist hinreichend differenzierbar, kann man die Planaritätsbedingung auch durch

ausdrücken.

Beispiele:

(2) Zylinder:
(3) Wendelfläche:
(4) Ein Konoid ist eine Catalansche Fläche, bei der sich die Geraden auf einer festen Gerade, der Achse, schneiden.

Catalan bewies, dass die Ebene und die Wendelfläche die einzigen Regelflächen unter den Minimalflächen sind.

Bemerkung:

  1. Regelflächen, aber keine Catalansche Flächen sind z. B.: Kegel, einschaliges Hyperboloid.
  2. Man sollte eine Catalansche Fläche nicht mit einer Catalanschen Minimalfläche verwechseln !

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg-Verlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-528-17289-4, S. 78.

Literatur Bearbeiten

  • A. Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 3. Auflage. CRC Press, Boca Raton, FL 2006, ISBN 1-58488-448-7.
  • V. Y. Rovenskii: Geometry of curves and surfaces with MAPLE. 2000, ISBN 0-8176-4074-6. (Auszugsweise online)
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Eine Catalansche Flache ist in der Geometrie eine nach dem belgischen Mathematiker Eugene Charles Catalan benannte Regelflache deren Erzeugenden Geraden alle zu einer festen Ebene der Richtebene parallel sind Catalansche Flache Beispiel Wendelflache Leitkurve ist eine Helix Richtebene ist die x y EbeneEine Catalansche Flache mit der Richtebene x n 0 0 displaystyle mathbf x cdot mathbf n 0 0 lasst sich durch eine Parameterdarstellung x u v c u v r u displaystyle mathbf x u v mathbf c u v mathbf r u mitr u n 0 0 displaystyle mathbf r u cdot mathbf n 0 0 beschreiben Jede Flachenkurve x u 0 v displaystyle mathbf x u 0 v mit festem Parameter u u 0 displaystyle u u 0 ist eine Erzeugende c u displaystyle mathbf c u beschreibt die Leitkurve und die Vektoren r u displaystyle mathbf r u sind alle parallel zur Richtebene Ist r u displaystyle mathbf r u hinreichend differenzierbar kann man die Planaritatsbedingung auch durch det r r r 0 displaystyle det mathbf r mathbf dot r mathbf ddot r 0 ausdrucken Beispiele 1 Ebene x u v p u a v r displaystyle mathbf x u v mathbf p u mathbf a v mathbf r Die Leitkurve ist eine Gerade dd 2 Zylinder x u v cos u sin u 0 v 0 0 1 displaystyle mathbf x u v cos u sin u 0 v 0 0 1 Die Leitkurve ist ein Kreis Als Richtebene kann man jede Ebene parallel zur z Achse verwenden dd 3 Wendelflache x u v cos u sin u u v cos u sin u 0 displaystyle mathbf x u v cos u sin u u v cos u sin u 0 Die Leitkurve ist eine Helix Schraublinie und die Richtebene parallel zur x y Ebene Diese Wendelflache lasst sich auch mit einer Gerade z Achse als Leitkurve erzeugen x u v 0 0 u v cos u sin u 0 displaystyle mathbf x u v 0 0 u v cos u sin u 0 dd 4 Ein Konoid ist eine Catalansche Flache bei der sich die Geraden auf einer festen Gerade der Achse schneiden Catalan bewies dass die Ebene und die Wendelflache die einzigen Regelflachen unter den Minimalflachen sind Bemerkung Regelflachen aber keine Catalansche Flachen sind z B Kegel einschaliges Hyperboloid Man sollte eine Catalansche Flache nicht mit einer Catalanschen Minimalflache 1 verwechseln Siehe auch BearbeitenRegelflache KonoidEinzelnachweise Bearbeiten W Kuhnel Differentialgeometrie Vieweg Verlag Stuttgart 2003 ISBN 3 528 17289 4 S 78 Literatur BearbeitenA Gray E Abbena S Salamon Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica 3 Auflage CRC Press Boca Raton FL 2006 ISBN 1 58488 448 7 V Y Rovenskii Geometry of curves and surfaces with MAPLE 2000 ISBN 0 8176 4074 6 Auszugsweise online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Catalansche Flache amp oldid 213839060