Ein Kreissegment auch Kreisabschnitt ist in der Geometrie eine Teilflache einer Kreisflache die von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt wird im Gegensatz zum von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzten Kreissektor Kreisausschnitt Kreissegment Inhaltsverzeichnis 1 Bezeichnungen und Eigenschaften 2 Sagitta 3 Ahnliche geometrische Objekte 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseBezeichnungen und Eigenschaften BearbeitenGrossen des Kreissegments a Mittelpunktswinkel b Kreisbogen h Segmenthohe r Radius s Kreissehne A Segmentflache M KreismittelpunktDer Flacheninhalt eines Kreissegments lasst sich aus dem Kreisradius r displaystyle r nbsp und dem zugehorigen Mittelpunktswinkel a displaystyle alpha nbsp berechnen Man ermittelt dazu die Flacheninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks AMB Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180 muss man diese Flacheninhalte subtrahieren Sektorflache minus Dreiecksflache Bei einem Mittelpunktswinkel uber 180 sind die Flacheninhalte zu addieren Wenn der Mittelpunktswinkel 180 betragt ist das Kreissegment eine Halbkreisflache und die Flache des Dreiecks ist 0 In den Formeln der folgenden Tabelle sind Winkel in Bogenmass einzusetzen Die Umrechnung der Masszahl eines Winkels von Grad in Bogenmass erfolgt mit dem Faktor p 180 displaystyle pi 180 circ nbsp s Radiant Formeln zum Kreissegment alle Winkel in Bogenmass Flacheninhalt A r 2 2 a sin a displaystyle A frac r 2 2 cdot left alpha sin alpha right nbsp A r b 2 s r h 2 displaystyle A frac r cdot b 2 frac s cdot r h 2 nbsp A 1 2 arctan 2 h s 4 h 2 s 2 2 h s 4 h 2 s 2 16 h 2 displaystyle A frac frac 1 2 arctan left frac 2h s right cdot left 4h 2 s 2 right 2 hs cdot left 4h 2 s 2 right 16h 2 nbsp A r 2 arccos 1 h r r h 2 r h h 2 displaystyle A r 2 cdot arccos left 1 frac h r right r h cdot sqrt 2rh h 2 nbsp A r 2 arcsin s 2 r s r h 2 displaystyle A r 2 cdot arcsin left frac s 2r right frac s cdot r h 2 nbsp A 2 3 s h displaystyle A approx frac 2 3 s cdot h nbsp 1 Radius r 4 h 2 s 2 8 h displaystyle r frac 4h 2 s 2 8h nbsp r s 2 sin a 2 displaystyle r frac s 2 cdot sin frac alpha 2 nbsp r h 1 cos a 2 displaystyle r frac h 1 cos left frac alpha 2 right nbsp Kreissehne s 2 r sin a 2 displaystyle s 2r cdot sin left frac alpha 2 right nbsp s 2 h tan a 4 2 h cot a 4 displaystyle s frac 2h tan left frac alpha 4 right 2h cdot cot left frac alpha 4 right nbsp s 2 r 2 r h 2 2 2 r h h 2 displaystyle s 2 cdot sqrt r 2 r h 2 2 sqrt 2rh h 2 nbsp Segmenthohe h r 1 cos a 2 displaystyle h r cdot left 1 cos left frac alpha 2 right right nbsp h r r 2 s 2 2 r 1 2 4 r 2 s 2 displaystyle h r sqrt r 2 left frac s 2 right 2 r frac 1 2 sqrt 4r 2 s 2 nbsp h s 2 tan a 4 displaystyle h frac s 2 cdot tan left frac alpha 4 right nbsp Bogenlange b r a displaystyle b r cdot alpha nbsp b a 4 h 2 s 2 8 h displaystyle b frac alpha cdot left 4h 2 s 2 right 8h nbsp b arctan 2 h s 4 h 2 s 2 2 h displaystyle b frac arctan left frac 2h s right cdot left 4h 2 s 2 right 2h nbsp b 2 r arcsin s 2 r displaystyle b 2 cdot r cdot arcsin left frac s 2r right nbsp Mittelpunktswinkel a 2 arctan s 2 r h displaystyle alpha 2 cdot arctan left frac s 2 r h right nbsp a 2 arccos 1 h r displaystyle alpha 2 cdot arccos left 1 frac h r right nbsp a 2 arcsin s 2 r displaystyle alpha 2 cdot arcsin left frac s 2r right nbsp a 2 arcsin 4 h s 4 h 2 s 2 displaystyle alpha 2 cdot arcsin left frac 4hs 4h 2 s 2 right nbsp a 4 arctan 2 h s displaystyle alpha 4 cdot arctan left frac 2h s right nbsp Flachenschwerpunkt x s 4 3 r sin 3 a 2 a sin a y s 0 displaystyle x s frac 4 3 cdot frac r cdot sin 3 left frac alpha 2 right alpha sin alpha qquad y s 0 nbsp x s s 3 12 A y s 0 displaystyle x s frac s 3 12 cdot A qquad y s 0 nbsp Sonderfall Halbkreis x s 4 r 3 p y s 0 displaystyle x s frac 4r 3 pi qquad y s 0 nbsp Sagitta BearbeitenDie Segmenthohe wird auch Sagitta lateinisch fur Pfeil genannt und die dazugehorigen Formeln lassen sich mithilfe des Satzes von Pythagoras herleiten Die Strecke der Differenz von Radius und Segmenthohe bildet mit der Halfte der Kreissehne ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius als Hypotenuse So ergibt sich folgende Gleichung die sich dann entsprechend umformen lasst r 2 s 2 2 r h 2 displaystyle r 2 left tfrac s 2 right 2 r h 2 nbsp 2 Ahnliche geometrische Objekte BearbeitenDas dreidimensionale Analogon ist ein Kugelsegment Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Kreissegment In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Horst Stocker Handbook of mathematical formulas and computational science Springer 1998 ISBN 0 387 94746 9 Eric W Weisstein Sagitta In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreissegment amp oldid 229151565
