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Antiprisma Ein Mehrzahl Antiprismen ist ein geometrischer Körper der ein Vieleck als Grundfläche und ein gleichartiges V

Antiprisma

Ein Antiprisma (Mehrzahl: Antiprismen) ist ein geometrischer Körper, der ein Vieleck als Grundfläche und ein gleichartiges Vieleck als Deckfläche hat, die zueinander parallel, aber verdreht sind. Diese beiden Flächen sind durch ein umlaufendes Band von Dreiecksflächen verbunden, deren Spitzen abwechselnd zur Grund- und zur Deckfläche weisen.

Antiprisma mit einem Hexagon als Basisfläche

Antiprismen sind spezielle Polyeder. Sie ähneln Prismen und gehören ebenso wie diese zu den Prismatoiden. Im Unterschied zu Prismen haben sie jedoch doppelt so viele Mantelflächen (bei gleicher Eckenzahl) und die Mantelflächen sind Dreiecke anstatt Parallelogramme.

Besondere Antiprismen Bearbeiten

Bei geraden Antiprismen ist die Grund- und Deckfläche ein regelmäßiges n-Eck und 2n gleichschenklige Dreiecke bilden den Mantel. Die Mittelpunkte der Grund- und Deckflächen liegen genau übereinander und die Deckfläche ist um den Winkel gegenüber der Grundfläche gedreht. Bei geraden Antiprismen sind alle Ecken gleichartig. Die dualen Polyeder zu geraden Antiprismen sind Trapezoeder.

Ein uniformes Antiprisma hat zusätzlich die Bedingung, dass seine Mantelflächen gleichseitige Dreiecke sind. Ein Beispiel dafür ist das Oktaeder, das sich (auch) als ein uniformes Antiprisma mit dreieckiger Grundfläche beschreiben lässt.

Das diagonale Antiprisma, auch Disphenoid genannt, ist ein entarteter Sonderfall, bei dem die Grund- und Deckfläche zu einem Zweieck reduziert ist. Ein uniformes diagonales Antiprisma ist ein regelmäßiges Tetraeder.

Beispiele für uniforme Antiprismen:

Symmetrie Bearbeiten

Besitzt ein Antiprisma ein regelmäßiges -Eck als Grundseite und ist die Deckfläche um den Winkel gegenüber der Grundfläche gedreht, dann und nur dann ist das Antiprisma punktsymmetrisch wenn ungerade ist.

Beispiele:

  • Das Oktaeder mit einer ungeraden Anzahl von Eckpunkten der Grundseite (Dreieck) ist punktsymmetrisch.
  • Das Tetraeder mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten der Grundseite (Zweieck) ist nicht punktsymmetrisch.

Kartesische Koordinaten Bearbeiten

Kartesische Koordinaten für die Ecken eines geraden Antiprismas mit n-eckiger Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken sind

wobei k Werte von 0 bis 2n−1 annimmt; wenn die Dreiecke gleichseitig sind, ist

Volumen und Oberfläche Bearbeiten

Die Kantenlänge eines uniformen n-eckigen Antiprismas sei mit a gegeben. Dann ist sein Volumen

und seine Oberfläche

Umkugel Bearbeiten

Der Radius der Umkugel bei gegebener Höhe und gegebenem Umkreisradius der Grundfläche berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

(Wegen seiner vier Ecken besitzt auch jedes unregelmäßige Tetraeder eine Umkugel. Dieses pathologische Prisma wird hier aber ignoriert.)

Kantenkugel Bearbeiten

Nur uniforme Antiprismen haben eine Kantenkugel. Der Radius der Kantenkugel bei gegebener Höhe und gegebenem Inkreisradius berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

Inkugel Bearbeiten

Wegen seiner vier Flächen besitzt jeder Vierflächner eine Inkugel.

Ansonsten besitzen nur gerade Antiprismen, deren Höhe das Doppelte des Inkugelradius beträgt, eine Inkugel. Für diese Körper ergibt sich der Radius der Inkugel bei gegebenem Umkreisradius und gegebenem Inkreisradius der Grund- beziehungsweise Deckfläche zu:

Ein Antiprisma mit einer Inkugel besteht i.a. aus gleichschenkligen Dreiecken als Mantelflächen. Lediglich das Oktaeder (neben dem regelmäßigen Tetraeder) ist das einzige Antiprisma mit gleichseitigen Dreiecken als Mantelflächen.

Netz Bearbeiten

Für das Netz von Antiprismen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist, zunächst ein Band von Dreiecken für den Mantel zu definieren und an dieses Band dann die Grund- und Deckfläche anzufügen. Zwei andere Möglichkeiten zeigen die folgenden Grafiken.

Vorkommen Bearbeiten

Antiprismen finden sich unter anderem als Koordinationspolyeder in Kristallstrukturen und Komplexverbindungen, als Kapside von Viren, und in Walzenwürfeln.

Gerüste aus Stäben oder Rohren, die die Kanten von Antiprismen bilden, sind um die Hauptachse um vieles torsionssteifer und knickfester als entsprechende Prismen, weshalb sie gerne als Podeste im Zirkus verwendet werden.

In der Architektur wird das Antiprisma gelegentlich eingesetzt. Das One World Trade Center in New York City hat hauptsächlich die Form eines langgezogenen quadratischen Antiprismas, wobei allerdings das obere Quadrat kleiner als das untere ist. Der Diagonal Tower in Seoul besteht aus drei aufeinandergestellten quadratischen Antiprismen. Sein Design soll die entstehenden Windkräfte reduzieren und zugleich Materialersparnis einbringen.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Antiprismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Antiprisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. SOM: diagonal tower yongsan international business district
  2. (Memento vom 11. Mai 2021 im Internet Archive)
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Antiprisma Mehrzahl Antiprismen ist ein geometrischer Korper der ein Vieleck als Grundflache und ein gleichartiges Vieleck als Deckflache hat die zueinander parallel aber verdreht sind Diese beiden Flachen sind durch ein umlaufendes Band von Dreiecksflachen verbunden deren Spitzen abwechselnd zur Grund und zur Deckflache weisen Antiprisma mit einem Hexagon als BasisflacheAntiprismen sind spezielle Polyeder Sie ahneln Prismen und gehoren ebenso wie diese zu den Prismatoiden Im Unterschied zu Prismen haben sie jedoch doppelt so viele Mantelflachen bei gleicher Eckenzahl und die Mantelflachen sind Dreiecke anstatt Parallelogramme Inhaltsverzeichnis 1 Besondere Antiprismen 2 Symmetrie 3 Kartesische Koordinaten 4 Volumen und Oberflache 5 Umkugel 6 Kantenkugel 7 Inkugel 8 Netz 9 Vorkommen 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseBesondere Antiprismen BearbeitenBei geraden Antiprismen ist die Grund und Deckflache ein regelmassiges n Eck und 2n gleichschenklige Dreiecke bilden den Mantel Die Mittelpunkte der Grund und Deckflachen liegen genau ubereinander und die Deckflache ist um den Winkel 180 n displaystyle tfrac 180 circ n nbsp gegenuber der Grundflache gedreht Bei geraden Antiprismen sind alle Ecken gleichartig Die dualen Polyeder zu geraden Antiprismen sind Trapezoeder Ein uniformes Antiprisma hat zusatzlich die Bedingung dass seine Mantelflachen gleichseitige Dreiecke sind Ein Beispiel dafur ist das Oktaeder das sich auch als ein uniformes Antiprisma mit dreieckiger Grundflache beschreiben lasst Das diagonale Antiprisma auch Disphenoid genannt ist ein entarteter Sonderfall bei dem die Grund und Deckflache zu einem Zweieck reduziert ist Ein uniformes diagonales Antiprisma ist ein regelmassiges Tetraeder Beispiele fur uniforme Antiprismen nbsp Diagonales zweieckiges Antiprisma Tetraeder nbsp Trigonales dreieckiges Antiprisma Oktaeder nbsp Tetragonales quadratisches Antiprisma nbsp Pentagonales funfeckiges Antiprismas a Ikosaeder nbsp Hexagonales sechseckiges Antiprisma nbsp Heptagonales siebeneckiges Antiprisma nbsp Oktogonales achteckiges Antiprisma nbsp Nonagonales neuneckiges Antiprisma nbsp Dekagonales zehneckiges Antiprisma nbsp Hendekagonales elfeckiges Antiprisma nbsp Dodekagonales zwolfeckiges AntiprismaSymmetrie BearbeitenBesitzt ein Antiprisma ein regelmassiges n displaystyle n nbsp Eck als Grundseite und ist die Deckflache um den Winkel 180 n displaystyle tfrac 180 circ n nbsp gegenuber der Grundflache gedreht dann und nur dann ist das Antiprisma punktsymmetrisch wenn n displaystyle n nbsp ungerade ist Beispiele Das Oktaeder mit einer ungeraden Anzahl von Eckpunkten der Grundseite Dreieck ist punktsymmetrisch Das Tetraeder mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten der Grundseite Zweieck ist nicht punktsymmetrisch Kartesische Koordinaten BearbeitenKartesische Koordinaten fur die Ecken eines geraden Antiprismas mit n eckiger Grundflache und gleichschenkligen Dreiecken sind cos k p n sin k p n 1 k h displaystyle left cos frac k pi n sin frac k pi n 1 k h right nbsp wobei k Werte von 0 bis 2n 1 annimmt wenn die Dreiecke gleichseitig sind ist 2 h 2 cos p n cos 2 p n displaystyle 2h 2 cos frac pi n cos frac 2 pi n nbsp Volumen und Oberflache BearbeitenDie Kantenlange eines uniformen n eckigen Antiprismas sei mit a gegeben Dann ist sein Volumen V n 4 cos 2 p 2 n 1 sin 3 p 2 n 12 sin 2 p n a 3 displaystyle V frac n sqrt 4 cos 2 frac pi 2n 1 sin frac 3 pi 2n 12 sin 2 frac pi n a 3 nbsp und seine Oberflache A n 2 cot p n 3 a 2 displaystyle A frac n 2 left cot frac pi n sqrt 3 right a 2 nbsp Umkugel BearbeitenDer Radius R displaystyle R nbsp der Umkugel bei gegebener Hohe h displaystyle h nbsp und gegebenem Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp der Grundflache berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu R r u 2 h 2 4 displaystyle R sqrt r u 2 frac h 2 4 nbsp Wegen seiner vier Ecken besitzt auch jedes unregelmassige Tetraeder eine Umkugel Dieses pathologische Prisma wird hier aber ignoriert Kantenkugel BearbeitenNur uniforme Antiprismen haben eine Kantenkugel Der Radius R displaystyle R nbsp der Kantenkugel bei gegebener Hohe h displaystyle h nbsp und gegebenem Inkreisradius r i displaystyle r i nbsp berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu R r i 2 h 2 4 displaystyle R sqrt r i 2 frac h 2 4 nbsp Inkugel BearbeitenWegen seiner vier Flachen besitzt jeder Vierflachner eine Inkugel Ansonsten besitzen nur gerade Antiprismen deren Hohe das Doppelte des Inkugelradius betragt eine Inkugel Fur diese Korper ergibt sich der Radius R displaystyle R nbsp der Inkugel bei gegebenem Umkreisradius r u displaystyle r u nbsp und gegebenem Inkreisradius r i displaystyle r i nbsp der Grund beziehungsweise Deckflache zu R r i r u displaystyle R sqrt r i cdot r u nbsp Ein Antiprisma mit einer Inkugel besteht i a aus gleichschenkligen Dreiecken als Mantelflachen Lediglich das Oktaeder neben dem regelmassigen Tetraeder ist das einzige Antiprisma mit gleichseitigen Dreiecken als Mantelflachen Netz BearbeitenFur das Netz von Antiprismen gibt es verschiedene Moglichkeiten Eine ist zunachst ein Band von Dreiecken fur den Mantel zu definieren und an dieses Band dann die Grund und Deckflache anzufugen Zwei andere Moglichkeiten zeigen die folgenden Grafiken nbsp Netz eines geraden uniformen Antiprismas nbsp Eine andere Art das Netz zu bilden nbsp Zwei Netzdarstellungen eines quadratischen AntiprismasVorkommen BearbeitenAntiprismen finden sich unter anderem als Koordinationspolyeder in Kristallstrukturen und Komplexverbindungen als Kapside von Viren und in Walzenwurfeln Geruste aus Staben oder Rohren die die Kanten von Antiprismen bilden sind um die Hauptachse um vieles torsionssteifer und knickfester als entsprechende Prismen weshalb sie gerne als Podeste im Zirkus verwendet werden In der Architektur wird das Antiprisma gelegentlich eingesetzt Das One World Trade Center in New York City hat hauptsachlich die Form eines langgezogenen quadratischen Antiprismas wobei allerdings das obere Quadrat kleiner als das untere ist Der Diagonal Tower in Seoul besteht aus drei aufeinandergestellten quadratischen Antiprismen Sein Design soll die entstehenden Windkrafte reduzieren und zugleich Materialersparnis einbringen 1 2 nbsp 8 seitiger Antiprisma Spielwurfel nbsp Das One World Trade CenterWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Antiprismen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Antiprisma Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Antiprism In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten SOM diagonal tower yongsan international business district Diagonal Tower Yongsan International Business District Memento vom 11 Mai 2021 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Antiprisma amp oldid 239196795