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Abgeschrägtes Hexaeder Das abgeschrägte Hexaeder auch Cubus simus genannt ist ein chirales Polyeder Vielflächner das zu

Abgeschrägtes Hexaeder

Das abgeschrägte Hexaeder (auch Cubus simus genannt) ist ein chirales Polyeder (Vielflächner), das zu den Archimedischen Körpern zählt. Es setzt sich zusammen aus 38 Flächen, nämlich 6 Quadraten und 32 gleichseitigen Dreiecken, und hat 24 Ecken sowie 60 Kanten. Dabei bilden jeweils vier Dreiecke und ein Quadrat eine Raumecke.

3D-Ansicht eines abgeschrägten Hexaeders (Animation)

Die jeweils sich paarweise gegenüberliegenden Quadrate sind parallel und gegeneinander um ca. 33° verdreht (die Drehachse verläuft durch die Flächenmitten). Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche abgeschrägte Hexaeder.

Der zum abgeschrägten Hexaeder duale Körper ist das Pentagonikositetraeder.

Konstruktion Bearbeiten

„Schiefes“ Dekaeder mit 8 Fünfecken und 2 Quadraten als Begrenzungsflächen
  • Wie der Name schon andeutet, entsteht dieses Polyeder durch fortwährendes Abschrägen eines Hexaeders, sodass am Ende sechs (kleinere) Quadrate übrigbleiben, die koinzident mit den ursprünglichen Begrenzungsflächen des Würfels sind.
  • Durch das Aufsetzen kleiner Pyramiden (mit fünfeckiger Grundfläche und vier gleichseitigen Dreiecken sowie einem „halben Quadrat“ als Mantelfläche) auf die acht fünfeckigen Begrenzungsflächen eines speziellen Dekaeders (s. Abb. rechts) erhält man ebenfalls ein abgeschrägtes Hexaeder.
  • Verdreht man bei einem Rhombenkuboktaeder diejenigen sechs Quadrate, die koinzident mit den Begrenzungsflächen eines umbeschriebenen Würfels sind (und sich paarweise gegenüberliegen), gegeneinander um den Winkel ω (s. Formel unten) und fügt jeweils eine Diagonale in die übrigen, jetzt verzerrten Quadrate ein, entsteht auch ein abgeschrägtes Hexaeder.

Formeln Bearbeiten

Ausschnitt einer Raumecke des abgeschrägten Hexaeders
Körpernetz eines abgeschrägten Hexaeders

Nachfolgend bezeichne der Term t den Kosinus des kleineren Zentriwinkels ζ im Sehnenfünfeck (die weißen Linien in der Grafik rechts) mit den Seitenlängen a und d (Quadratdiagonale).

Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (≈ 1,84) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.

Größen eines abgeschrägten Hexaeders mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Kantenkugelradius
1. Flächenwinkel
 (Trigon–Trigon)
 ≈ 153° 14′ 5″
2. Flächenwinkel
 (Quadrat–Trigon)
 ≈ 142° 59′
Flächen-Kanten-Winkel
 (Quadrat–Trigon)
 ≈ 126° 24′ 12″
3D-Kantenwinkel
 (Trigon–Trigon)
 ≈ 114° 48′ 43″
Quadrat-Drehwinkel
 ≈ 32° 56′ 6″
Eckenraumwinkel
 ≈ 1,1426 π
Sphärizität
 ≈ 0,9652

Weblinks Bearbeiten

Commons: Abgeschrägtes Hexaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: abgeschrägtes Hexaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Veröffentlichungsdatum:
Das abgeschragte Hexaeder auch Cubus simus genannt ist ein chirales Polyeder Vielflachner das zu den Archimedischen Korpern zahlt Es setzt sich zusammen aus 38 Flachen namlich 6 Quadraten und 32 gleichseitigen Dreiecken und hat 24 Ecken sowie 60 Kanten Dabei bilden jeweils vier Dreiecke und ein Quadrat eine Raumecke 3D Ansicht eines abgeschragten Hexaeders Animation Die jeweils sich paarweise gegenuberliegenden Quadrate sind parallel und gegeneinander um ca 33 verdreht die Drehachse verlauft durch die Flachenmitten Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche abgeschragte Hexaeder Spiegelvariante 1 Spiegelvariante 2Der zum abgeschragten Hexaeder duale Korper ist das Pentagonikositetraeder Konstruktion Bearbeiten nbsp Schiefes Dekaeder mit 8 Funfecken und 2 Quadraten als BegrenzungsflachenWie der Name schon andeutet entsteht dieses Polyeder durch fortwahrendes Abschragen eines Hexaeders sodass am Ende sechs kleinere Quadrate ubrigbleiben die koinzident mit den ursprunglichen Begrenzungsflachen des Wurfels sind Durch das Aufsetzen kleiner Pyramiden mit funfeckiger Grundflache und vier gleichseitigen Dreiecken sowie einem halben Quadrat als Mantelflache auf die acht funfeckigen Begrenzungsflachen eines speziellen Dekaeders s Abb rechts erhalt man ebenfalls ein abgeschragtes Hexaeder Verdreht man bei einem Rhombenkuboktaeder diejenigen sechs Quadrate die koinzident mit den Begrenzungsflachen eines umbeschriebenen Wurfels sind und sich paarweise gegenuberliegen gegeneinander um den Winkel w s Formel unten und fugt jeweils eine Diagonale in die ubrigen jetzt verzerrten Quadrate ein entsteht auch ein abgeschragtes Hexaeder Formeln Bearbeiten nbsp Ausschnitt einer Raumecke des abgeschragten Hexaeders nbsp Korpernetz eines abgeschragten HexaedersNachfolgend bezeichne der Term t den Kosinus des kleineren Zentriwinkels z im Sehnenfunfeck die weissen Linien in der Grafik rechts mit den Seitenlangen a und d Quadratdiagonale t cos z 1 6 19 3 33 3 19 3 33 3 2 displaystyle t cos zeta frac 1 6 left sqrt 3 19 3 sqrt 33 sqrt 3 19 3 sqrt 33 2 right nbsp Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert erhalt man die Tribonacci Konstante welche den Limes des Verhaltnisses 1 84 zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt Grossen eines abgeschragten Hexaeders mit Kantenlange aVolumen V a 3 3 1 2 t 3 2 t 4 2 2 t displaystyle V frac a 3 3 sqrt 1 2t left 3 sqrt 2t 4 sqrt 2 2t right nbsp Oberflacheninhalt A O 2 a 2 3 4 3 displaystyle A O 2a 2 left 3 4 sqrt 3 right nbsp Umkugelradius R a 2 2 2 t 1 2 t displaystyle R frac a 2 sqrt frac 2 2t 1 2t nbsp Kantenkugelradius r a 2 1 2 t displaystyle r frac a 2 sqrt 1 2t nbsp 1 Flachenwinkel Trigon Trigon 153 14 5 cos a 1 1 3 1 4 t displaystyle cos alpha 1 frac 1 3 left 1 4t right nbsp 2 Flachenwinkel Quadrat Trigon 142 59 cos a 2 1 2 1 t 3 displaystyle cos alpha 2 frac 1 2 sqrt 1 t sqrt 3 nbsp Flachen Kanten Winkel Quadrat Trigon 126 24 12 cos b 1 2 t 2 1 t displaystyle cos beta frac 1 2 sqrt t sqrt 2 left 1 sqrt t right nbsp 3D Kantenwinkel Trigon Trigon 114 48 43 cos g t displaystyle cos gamma t nbsp Quadrat Drehwinkel 32 56 6 sin w 2 t 1 2 t 1 2 t 2 1 displaystyle sin omega frac 2t 1 2t 1 2t 2 1 nbsp Eckenraumwinkel 1 1426 p W 3 a 1 2 a 2 3 p displaystyle Omega 3 alpha 1 2 alpha 2 3 pi nbsp Spharizitat 0 9652 PS 36 p V 2 3 A O displaystyle Psi frac sqrt 3 36 pi V 2 A O nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Abgeschragtes Hexaeder Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary abgeschragtes Hexaeder Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Abgeschragtes Hexaeder In MathWorld englisch Archimedische Korper Tetraederstumpf Kuboktaeder Hexaederstumpf Oktaederstumpf Rhombenkuboktaeder Kuboktaederstumpf Ikosidodekaeder Dodekaederstumpf Ikosaederstumpf Abgeschragtes Hexaeder Rhombenikosidodekaeder Ikosidodekaederstumpf Abgeschragtes Dodekaeder Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abgeschragtes Hexaeder amp oldid 214294164