Das Oberflachenintegral oder Flachenintegral ist eine Verallgemeinerung des eindimensionalen Integralbegriffes zwecks Anwendung auf ebenen oder gekrummten Flachen Das Integrationsgebiet F displaystyle mathcal F ist also nicht ein eindimensionales Intervall sondern eine zweidimensionale Menge im zwei oder dreidimensionalen Raum Fur eine allgemeinere Darstellung im n displaystyle n dimensionalen Raum R n displaystyle mathbb R n mit n 2 displaystyle n geq 2 siehe Integration auf Mannigfaltigkeiten Es wird generell zwischen einem skalaren und einem vektoriellen Oberflachenintegral unterschieden je nach Form des Integranden und des sogenannten Oberflachenelements Sie lauten F f d s displaystyle iint mathcal F f mathrm d sigma mit skalarer Funktion f displaystyle f und skalarem Oberflachenelement d s displaystyle mathrm d sigma sowie F v d s displaystyle iint mathcal F vec v cdot mathrm d vec sigma mit vektorwertiger Funktion v displaystyle vec v und vektoriellem Oberflachenelement d s displaystyle mathrm d vec sigma F f d s displaystyle iint mathcal F vec f mathrm d sigma mit vektorwertiger Funktion f displaystyle vec f und skalarem Oberflachenelement d s displaystyle mathrm d sigma F p d s displaystyle iint mathcal F p mathrm d vec sigma mit skalarer Funktion p displaystyle p und vektorwertigem Oberflachenelement d s displaystyle mathrm d vec sigma Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe und Definitionen 1 1 Parametrisierung 1 1 1 Beispiel 1 Parameterdarstellung 1 1 2 Beispiel 2 Explizite Darstellung 1 2 Oberflachenelement 1 2 1 Beispiel 1 Parameterdarstellung 1 2 2 Beispiel 2 Explizite Darstellung 1 3 Projektion auf Flache mit bekanntem Flachenelement 1 3 1 Beispiel 1 1 3 2 Beispiel 2 2 Die Integrale 2 1 Das skalare Oberflachenintegral 2 2 Das vektorielle Oberflachenintegral 3 LiteraturBegriffe und Definitionen BearbeitenBei der Integration uber Flachen treten Parametrisierungen der Flache an die Stelle der Integrationsvariable und Oberflachenelemente an die Stelle der infinitesimalen unendlich kleinen Intervallbreite d x displaystyle mathrm d x nbsp Parametrisierung Bearbeiten Als zweidimensionale Menge lasst sich eine Oberflache als Funktion von zwei Variablen darstellen parametrisieren Ist B R 2 displaystyle B subset mathbb R 2 nbsp eine Menge deren Rand keine doppelten Punkte enthalt stetig differenzierbar nicht unendlich lang und ferner f displaystyle varphi nbsp eine Abbildung von B displaystyle B nbsp in den R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ist so sagt man f displaystyle varphi nbsp ist Parametrisierung der Flache F displaystyle mathcal F nbsp wenn F f B displaystyle mathcal F varphi B nbsp ist An dieser Stelle sei darauf hingewiesen dass ein Grossteil der Schwierigkeiten im Umgang mit Oberflachenintegralen mit der Parametrisierung zusammenhangt Es ist a priori nicht klar dass unterschiedliche Parametrisierungen den gleichen Wert fur das Integral erzeugen Ein Koordinatenwechsel fur Oberflachenintegrale ist nicht trivial und ist mithin Motivation fur die Verwendung von Differentialformen Allgemein lasst sich eine Flache im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit zwei Parametern u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp in folgender Form darstellen f B R 3 u v f u v x u v y u v z u v displaystyle varphi colon B to mathbb R 3 quad left u v right mapsto vec varphi left u v right left begin matrix x left u v right y left u v right z left u v right end matrix right nbsp Auf der Flache f u v displaystyle vec varphi left u v right nbsp bilden die Kurvenscharen u c o n s t displaystyle u mathrm const nbsp bzw v c o n s t displaystyle v mathrm const nbsp die Koordinatenlinien Diese uberziehen die Flache mit einem Koordinatennetz wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen Somit hat jeder Punkt auf der Flache eindeutige Koordinaten u 0 v 0 displaystyle left u 0 v 0 right nbsp Beispiel 1 Parameterdarstellung Bearbeiten Die Oberflache einer Kugel mit Radius R displaystyle R nbsp lasst sich wie folgt parametrisieren B displaystyle B nbsp ist das Rechteck 0 p 0 2 p displaystyle 0 pi times 0 2 pi nbsp und f u v R sin u cos v R sin u sin v R cos u displaystyle vec varphi u v begin pmatrix R sin u cos v R sin u sin v R cos u end pmatrix nbsp Diese Parametrisierung erfullt die Kugelgleichung x 2 y 2 z 2 R 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 R 2 nbsp siehe auch Kugelkoordinaten u displaystyle u nbsp ist hier der Polarwinkel meist ϑ displaystyle vartheta nbsp oder 8 displaystyle theta nbsp und v displaystyle v nbsp der Azimutwinkel meist f displaystyle varphi nbsp oder ϕ displaystyle phi nbsp bezeichnet Beispiel 2 Explizite Darstellung Bearbeiten Ist f B R x y f x y displaystyle f colon B to mathbb R left x y right mapsto f left x y right nbsp eine Funktion und die Flache in der Form z f x y displaystyle z f x y nbsp angegeben so sind x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp die beiden Parameter die Parametrisierung der Flache sieht also wie folgt aus f x y x y f x y displaystyle vec varphi left x y right left begin matrix x y f left x y right end matrix right nbsp Oberflachenelement Bearbeiten Wenn im eindimensionalen Fall das d x displaystyle mathrm d x nbsp die Breite eines unendlich kleinen Intervalls darstellt so liegt es nahe es im zweidimensionalen Fall durch die Flache eines unendlich kleinen Flachenstuckes d s displaystyle mathrm d sigma nbsp zu ersetzen Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberflache zwei Tangenten legen siehe auch Krummlinige Koordinaten Einmal die Tangente die entsteht wenn man v displaystyle v nbsp konstant lasst und u displaystyle u nbsp minimal variiert und einmal mit vertauschten Variablen Das heisst also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten Punkt u 0 v 0 displaystyle left u 0 v 0 right nbsp Diese Tangenten lassen sich durch zwei infinitesimale Tangentenvektoren ausdrucken sei f u v displaystyle vec varphi left u v right nbsp die parametrisierte Form der Flache f u u 0 v 0 d u displaystyle left frac partial vec varphi partial u right u 0 v 0 mathrm d u nbsp und f v u 0 v 0 d v displaystyle left frac partial vec varphi partial v right u 0 v 0 mathrm d v nbsp Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise fur die partiellen Ableitungen verwendet f u f u displaystyle vec varphi u frac partial vec varphi partial u nbsp und f v f v displaystyle vec varphi v frac partial vec varphi partial v nbsp Sind diese Tangenten in keinem Punkt der Flache parallel so spricht man von einer regularen Parametrisierung Das Kreuzprodukt der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor dessen Lange ungleich Null ist f u f v 0 displaystyle left left vec varphi u times vec varphi v right right neq 0 nbsp Die beiden Tangentenvektoren liegen in der Tangentialebene der Flache am betrachteten Punkt Der Flacheninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht nun gerade dem Betrag ihres Kreuzproduktes Ist nun f u v displaystyle vec varphi u v nbsp eine regulare Parametrisierung der Oberflache so definiert man Skalares Oberflachenelement d s f u f v d u d v displaystyle mathrm d sigma left left vec varphi u times vec varphi v right right mathrm d u mathrm d v nbsp Vektorielles Oberflachenelement d s n d s f u f v d u d v displaystyle mathrm d vec sigma hat n mathrm d sigma vec varphi u times vec varphi v mathrm d u mathrm d v nbsp mit dem Einheitsnormalenvektor des Flachenelements n f u f v f u f v displaystyle hat n frac vec varphi u times vec varphi v left left vec varphi u times vec varphi v right right nbsp Gemass den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflachenelement senkrecht auf der Flache sein Betrag entspricht gerade der Grosse des infinitesimalen Flachenstucks In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflachenelement nicht wohldefiniert da seine Richtung davon abhangt ob man f u f v displaystyle vec varphi u times vec varphi v nbsp oder f v f u f u f v displaystyle vec varphi v times vec varphi u left vec varphi u times vec varphi v right nbsp berechnet Die beiden Moglichkeiten sind antiparallel zueinander Betrachtet man geschlossene Oberflachen vereinbart man meist dass das nach aussen weisende vektorielle Oberflachenelement zu verwenden ist Beispiel 1 Parameterdarstellung Bearbeiten Die Oberflache der Kugel mit Radius R kann wie oben gezeigt durch den Polarwinkel u displaystyle u nbsp und den Azimutwinkel v displaystyle v nbsp parametrisiert werden Das Flachenelement ergibt sich aus folgender Rechnung f R sin u cos v sin u sin v cos u f u R cos u cos v cos u sin v sin u f v R sin u sin v sin u cos v 0 f u f v R 2 sin u sin u cos v sin u sin v cos u f u f v R 2 sin u n sin u cos v sin u sin v cos u d s n d s n R 2 sin u d u d v displaystyle begin aligned amp vec varphi R left begin matrix sin u cos v sin u sin v cos u end matrix right quad vec varphi u R left begin matrix cos u cos v cos u sin v sin u end matrix right quad vec varphi v R left begin matrix sin u sin v sin u cos v 0 end matrix right amp pm left vec varphi u times vec varphi v right pm R 2 sin u left begin matrix sin u cos v sin u sin v cos u end matrix right quad left left pm left vec varphi u times vec varphi v right right right R 2 sin u amp hat n pm left begin matrix sin u cos v sin u sin v cos u end matrix right quad mathrm d vec sigma hat n mathrm d sigma hat n R 2 sin u mathrm d u mathrm d v end aligned nbsp Beim Normalenvektor sind zwei Losungen moglich displaystyle pm nbsp abhangig von der Reihenfolge von f u displaystyle vec varphi u nbsp und f v displaystyle vec varphi v nbsp im Kreuzprodukt Typischerweise wahlt man hier die positive Losung bei der n displaystyle hat n nbsp von der konvexen Kugeloberflache weg zeigt sog aussere Normale Beispiel 2 Explizite Darstellung Bearbeiten Ist die Flache in der Form z f x y displaystyle z f x y nbsp angegeben so druckt man das Flachenelement durch die Differentiale der Koordinaten x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp aus f x y f x y f x 1 0 f x f y 0 1 f y displaystyle vec varphi left begin matrix x y f x y end matrix right quad vec varphi x left begin matrix 1 0 f x end matrix right quad vec varphi y left begin matrix 0 1 f y end matrix right nbsp f x f y f x f y 1 f x f y f x 2 f y 2 1 n 1 f x 2 f y 2 1 f x f y 1 displaystyle pm left vec varphi x times vec varphi y right pm left begin matrix f x f y 1 end matrix right quad left left pm left vec varphi x times vec varphi y right right right sqrt f x 2 f y 2 1 quad hat n pm frac 1 sqrt f x 2 f y 2 1 left begin matrix f x f y 1 end matrix right nbsp Somit sind Flachenelement und vektorielles Flachenelement gleich d s f x 2 f y 2 1 d x d y displaystyle mathrm d sigma sqrt f x 2 f y 2 1 mathrm d x mathrm d y nbsp d s n f x 2 f y 2 1 d x d y f x f y 1 d x d y displaystyle mathrm d vec sigma hat n sqrt f x 2 f y 2 1 mathrm d x mathrm d y begin pmatrix f x f y 1 end pmatrix mathrm d x mathrm d y nbsp Projektion auf Flache mit bekanntem Flachenelement Bearbeiten Wir gehen im Folgenden davon aus dass eine Flache A displaystyle A nbsp mit ihrem Flachenelement d A displaystyle mathrm d A nbsp und zugehorigem Normalenvektor n A displaystyle hat n A nbsp bekannt ist Z B xy Ebene d A d x d y displaystyle mathrm d A mathrm d x mathrm d y nbsp und n A e z 0 0 1 displaystyle hat n A hat e z left begin matrix 0 0 1 end matrix right nbsp Mantelflache eines Kreiszylinders mit Radius r displaystyle rho nbsp d A r d f d z displaystyle mathrm d A rho mathrm d varphi mathrm d z nbsp und n A e r cos f sin f 0 displaystyle hat n A hat e rho left begin matrix cos varphi sin varphi 0 end matrix right nbsp Kugeloberflache mit Radius r displaystyle r nbsp d A r 2 sin ϑ d ϑ d f displaystyle mathrm d A r 2 sin vartheta mathrm d vartheta mathrm d varphi nbsp und n A e r sin ϑ cos f sin ϑ sin f cos ϑ displaystyle hat n A hat e r left begin matrix sin vartheta cos varphi sin vartheta sin varphi cos vartheta end matrix right nbsp Fur eine weitere Flache F displaystyle mathcal F nbsp mit Normalenvektor n F displaystyle hat n mathcal F nbsp soll das Flachenelement d s displaystyle mathrm d sigma nbsp ermittelt werden Die Flache ist etwa durch g x y z 0 displaystyle g x y z 0 nbsp gegeben und somit der Normalenvektor gleich n F g g displaystyle hat n mathcal F nabla g nabla g nbsp Wir projizieren nun F displaystyle mathcal F nbsp entlang von n A displaystyle hat n A nbsp auf A displaystyle A nbsp Dann lassen sich die Flachenelemente mittels d A d A n A d s n A d s n F n A displaystyle mathrm d A mathrm d vec A cdot hat n A mathrm d vec sigma cdot hat n A mathrm d sigma hat n mathcal F cdot hat n A nbsp fur n F n A 0 displaystyle hat n mathcal F cdot hat n A neq 0 nbsp verknupfen d s d A n F n A g d A g n A displaystyle mathrm d sigma frac mathrm d A hat n mathcal F cdot hat n A frac nabla g mathrm d A nabla g cdot hat n A nbsp Dabei darf jede Gerade entlang der Normalenvektoren n A displaystyle hat n A nbsp die Flache F displaystyle mathcal F nbsp nur einmal schneiden Sonst muss man die Flache F displaystyle mathcal F nbsp aufteilen in kleinere Flachen F 1 F 2 displaystyle mathcal F 1 mathcal F 2 dotsc nbsp deren Projektion dann eindeutig ist oder eine andere Grundflache A displaystyle A nbsp wahlen Das vektorielle Flachenelement ist d s n F d A n F n A g g g d A g n A g d A g n A displaystyle mathrm d vec sigma hat n mathcal F frac mathrm d A hat n mathcal F cdot hat n A frac nabla g nabla g frac nabla g mathrm d A nabla g cdot hat n A frac nabla g mathrm d A nabla g cdot hat n A nbsp Beispiel 1 Bearbeiten Sei eine Flache F displaystyle mathcal F nbsp der Form z f x y displaystyle z f x y nbsp gegeben so gilt g x y z z f x y displaystyle g x y z z f x y nbsp und damit g f x f y 1 g f x 2 f y 2 1 n F g g 1 f x 2 f y 2 1 f x f y 1 displaystyle nabla g begin pmatrix f x f y 1 end pmatrix quad nabla g sqrt f x 2 f y 2 1 quad hat n mathcal F frac nabla g nabla g frac 1 sqrt f x 2 f y 2 1 begin pmatrix f x f y 1 end pmatrix nbsp Diese Flache wird nun in die x y displaystyle xy nbsp Ebene projiziert mit d A d x d y displaystyle mathrm d A mathrm d x mathrm d y nbsp und n A e z displaystyle hat n A hat e z nbsp dabei ist d s g d x d y g e z f x 2 f y 2 1 d x d y e z e z f x 2 f y 2 1 d x d y displaystyle mathrm d sigma frac nabla g mathrm d x mathrm d y nabla g cdot hat e z frac sqrt f x 2 f y 2 1 mathrm d x mathrm d y hat e z cdot hat e z sqrt f x 2 f y 2 1 mathrm d x mathrm d y nbsp d s g d x d y g e z f x f y 1 d x d y displaystyle mathrm d vec sigma frac nabla g mathrm d x mathrm d y nabla g cdot hat e z begin pmatrix f x f y 1 end pmatrix mathrm d x mathrm d y nbsp Beispiel 2 Bearbeiten Gesucht ist das Flachenelement eines Rotationskorpers um die z displaystyle z nbsp Achse mit r f z displaystyle rho f z nbsp also g r f z r f z displaystyle g rho varphi z rho f z nbsp g e r f z e z g 1 f z 2 n F g g e r f z e z 1 f z 2 displaystyle nabla g hat e rho f z hat e z quad nabla g sqrt 1 f z 2 quad hat n mathcal F frac nabla g nabla g frac hat e rho f z hat e z sqrt 1 f z 2 nbsp Durch Projektion auf die Mantelflache eines Kreiszylinders mit Radius r f z displaystyle rho f z nbsp erhalt man das Flachenelement d s g r d f d z g e z 1 f z 2 f z d f d z e r f z e z e r 1 f z 2 f z d f d z displaystyle mathrm d sigma frac nabla g rho mathrm d varphi mathrm d z nabla g cdot hat e z frac sqrt 1 f z 2 f z mathrm d varphi mathrm d z hat e rho f z hat e z cdot hat e rho sqrt 1 f z 2 f z mathrm d varphi mathrm d z nbsp d s e r f z e z f z d f d z displaystyle mathrm d vec sigma hat e rho f z hat e z f z mathrm d varphi mathrm d z nbsp Die Integrale BearbeitenMit den Parametrisierungen und den Oberflachenelementen kann man nun die Oberflachenintegrale definieren Diese mehrdimensionalen Integrale sind Lebesgue Integrale konnen aber in den meisten Anwendungsfallen als mehrfache Riemann Integrale berechnet werden Das skalare Oberflachenintegral Bearbeiten Das skalare Oberflachenintegral einer skalaren Funktion f R 3 R displaystyle f colon mathbb R 3 rightarrow mathbb R nbsp uber eine Oberflache F displaystyle mathcal F nbsp mit regularer Parametrisierung f B R 3 displaystyle varphi colon B rightarrow mathbb R 3 nbsp mit B R 2 displaystyle B subset mathbb R 2 nbsp ist definiert als F f x d s B f f u v f u f v d u v displaystyle iint mathcal F f vec x mathrm d sigma iint B f left vec varphi u v right vec varphi u times vec varphi v mathrm d u v nbsp Setzt man beispielsweise f x 1 displaystyle f vec x 1 nbsp so ist das skalare Oberflachenintegral einfach der Flacheninhalt der Oberflache Beispiel Oberflacheninhalt einer KugelMit dem Flachenelement fur Kugelkoordinaten d s r 2 sin 8 d 8 d f displaystyle mathrm d sigma r 2 sin theta mathrm d theta mathrm d varphi nbsp ergibt sich fur den Flacheninhalt A F displaystyle A mathcal F nbsp der Oberflache F displaystyle mathcal F nbsp einer Kugel mit dem Radius r displaystyle r nbsp A F F 1 d s 0 2 p 0 p r 2 sin 8 d 8 d f r 2 0 2 p 0 p sin 8 d 8 d f r 2 0 2 p 2 d f 4 p r 2 displaystyle A mathcal F iint mathcal F 1 mathrm d sigma int limits 0 2 pi int limits 0 pi r 2 sin theta mathrm d theta mathrm d varphi r 2 int limits 0 2 pi int limits 0 pi sin theta mathrm d theta mathrm d varphi r 2 int limits 0 2 pi 2 mathrm d varphi 4 pi r 2 nbsp Das vektorielle Oberflachenintegral Bearbeiten Das vektorielle Oberflachenintegral einer vektorwertigen Funktion f R 3 R 3 displaystyle f colon mathbb R 3 rightarrow mathbb R 3 nbsp uber eine Oberflache F displaystyle mathcal F nbsp mit regularer Parametrisierung f B R 3 displaystyle varphi colon B rightarrow mathbb R 3 nbsp mit B R 2 displaystyle B subset mathbb R 2 nbsp ist definiert als F f x d s B f f u v f u f v d u v F F f displaystyle iint mathcal F vec f vec x cdot mathrm d vec sigma iint B vec f left vec varphi u v right cdot vec varphi u times vec varphi v mathrm d u v Phi mathcal F vec f nbsp Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht uber den Fluss F displaystyle Phi nbsp eines Vektorfeldes f displaystyle vec f nbsp durch die Flache F displaystyle mathcal F nbsp Die Grosse f d s displaystyle vec f cdot mathrm d vec sigma nbsp gibt an welchen Beitrag zum Gesamtfluss F F f displaystyle Phi mathcal F vec f nbsp der infinitesimal kleine Oberflachen Vektor d s n d s displaystyle mathrm d vec sigma hat n mathrm d sigma nbsp liefert namlich wie viel von f displaystyle vec f nbsp durch das Oberflachenstuck d s displaystyle mathrm d sigma nbsp fliesst Der Fluss ist maximal wenn das Vektorfeld f displaystyle vec f nbsp parallel zur Flachennormale n displaystyle hat n nbsp steht und null wenn f displaystyle vec f nbsp senkrecht zu n displaystyle hat n nbsp steht also tangential zur Oberflache ist dann fliesst f displaystyle vec f nbsp entlang der Oberflache aber nicht durch sie hindurch Beispiel Fluss eines Vektorfeldes durch eine KugeloberflacheGegeben sei ein radialsymmetrisches Vektorfeld E r C r 2 r r displaystyle vec E vec r dfrac C r 2 cdot dfrac vec r r nbsp mit einer Konstanten C R displaystyle C in mathbb R nbsp dem Ortsvektor r displaystyle vec r nbsp und seinem Betrag r displaystyle r nbsp Bei dem Vektor r r displaystyle dfrac vec r r nbsp handelt es sich somit um einen Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors In der Physik ist zum Beispiel das elektrische Feld einer Punktladung Q displaystyle Q nbsp im Koordinatenursprung von dieser Form siehe Coulombsches Gesetz Aus Symmetriegrunden verwendet man Kugelkoordinaten Das vektorielle Oberflachenelement d s displaystyle textstyle mathrm d vec sigma nbsp fur eine Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist d s r 2 sin 8 r r d 8 d f displaystyle mathrm d vec sigma r 2 sin theta cdot dfrac vec r r mathrm d theta mathrm d varphi nbsp Fur den Fluss F displaystyle Phi nbsp des Vektorfeldes E r displaystyle vec E vec r nbsp durch die Oberflache F displaystyle mathcal F nbsp einer Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp ergibt sich F F C r 2 r r d s 0 2 p 0 p C r 2 r r r 2 sin 8 r r d 8 d f C 0 2 p 0 p sin 8 d 8 d f C 0 2 p 2 d f 4 p C displaystyle Phi iint mathcal F dfrac C r 2 cdot dfrac vec r r mathrm d vec sigma int limits 0 2 pi int limits 0 pi dfrac C r 2 dfrac vec r r cdot r 2 sin theta cdot dfrac vec r r mathrm d theta mathrm d varphi C int limits 0 2 pi int limits 0 pi sin theta mathrm d theta mathrm d varphi C int limits 0 2 pi 2 mathrm d varphi 4 pi C nbsp Der Fluss F displaystyle Phi nbsp des Vektorfeldes durch die Kugeloberflache ist somit unabhangig vom Kugelradius r displaystyle r nbsp Fur das physikalische Beispiel des elektrischen Feldes einer Punktladung ist dieses Ergebnis ein Spezialfall des Gaussschen Gesetzes der Elektrostatik Literatur BearbeitenG Barwolff Hohere Mathematik fur Naturwissenschaftler und Ingenieure 2 Auflage Spektrum Akademischer Verlag 2006 ISBN 978 3 8274 1688 9 K F Riley M P Hobson Mathematical Methods for Physics and Engineering 3 Auflage Cambridge University Press 2006 ISBN 978 0 521 67971 8 K Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Oberflachenintegral amp oldid 231601020
