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Kubikzahl n n n n Eine von lateinisch cubus Würfel ist eine Zahl die entsteht wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit

Kubikzahl

n³ = n⋅n⋅n

Eine Kubikzahl (von lateinisch cubus, „Würfel“) ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert. Beispielsweise ist eine Kubikzahl. Die ersten Kubikzahlen sind

Bei einigen Autoren ist die Null keine Kubikzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Kubikzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Würfels her. Die Anzahl der Steine, die man zum Bauen eines Würfels benötigt, entspricht immer einer Kubikzahl. So lässt sich beispielsweise ein Würfel mit der Seitenlänge 3 mit Hilfe von 27 Steinen legen.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Kubikzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Tetraederzahlen gehören.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Aus den aufeinanderfolgenden Blöcken von einer, zwei, drei, vier, fünf, … ungeraden natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge lassen sich durch Summation die Kubikzahlen erzeugen:
  • Ausgehend von der Folge der zentrierten Sechseckszahlen 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … erhält man die -te Kubikzahl als Summe der ersten Folgenglieder:
  • Die Summe der ersten Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der -ten Dreieckszahl:
  • Jede natürliche Zahl kann als Summe von höchstens neun Kubikzahlen dargestellt werden (Lösung des Waringschen Problems für den Exponenten 3). Dass 9 Summanden notwendig sein können, zeigt die Zahl 23. Diese hat die Darstellung
        ,
    aber offensichtlich keine mit weniger kubischen Summanden.
  • Jede Kubikzahl lässt sich als Summe der ungeraden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden doppelten Dreieckszahlen sowie als Differenz der Quadrate zweier sukzessiver Dreieckszahlen darstellen:
  • Die Summe zweier beliebiger Kubikzahlen kann selbst nie eine Kubikzahl sein. Anders formuliert heißt dies, dass die Gleichung
        
    keine Lösung mit natürlichen Zahlen besitzt. Dieser Spezialfall der Fermatschen Vermutung wurde 1753 von Leonhard Euler bewiesen. Lässt man mehr als zwei Summanden zu, kann es vorkommen, dass eine Kubikzahl als Summe von Kuben darstellbar ist, wie das folgende Beispiel (sogar mit drei direkt aufeinanderfolgenden Kubikzahlen) zeigt:
        .
  • Wenn man von der Folge der Kubikzahlen den Modulo 9 nimmt, erhält man die periodische Folge (Folge A167176 in OEIS). Dies ergibt sich aus . Hieraus schließt sich ebenfalls, dass eine Zahl, die als Summe von drei Kubikzahlen darstellbar ist, niemals kongruent zu 4 oder 5 mod 9 sein kann.

Summe der Kehrwerte Bearbeiten

Die Summe der Kehrwerte aller Kubikzahlen wird Apéry-Konstante genannt. Sie entspricht dem Wert der riemannschen -Funktion an der Stelle 3.

Erzeugende Funktion Bearbeiten

Jeder Folge ganzer (oder reeller) Zahlen kann man eine formale Potenzreihe zuordnen, die sogenannte erzeugende Funktion . In diesem Kontext ist es allerdings üblich, die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen, also die Folge zu betrachten. Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann

Geometrische Generierung Bearbeiten

In der Kubikzahl ist die Basis eine reelle Zahl und der Exponent eine positive ganze Zahl. Aus diesem Grund ist der Potenzwert von auf einer Zahlengeraden als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis größer oder kleiner als die Zahl ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

Vorgehensweise für Basis > 1 Bearbeiten

  1. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen um mit der Basis als Radius, bis er die Zahlengerade in schneidet.
  2. Bestimme den Abstand mit der Länge zum Punkt und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt , bis sie den Kreisbogen in schneidet.
  3. Verlängere die Basis mit einer Halbgeraden und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt , bis sie die Halbgerade in schneidet.
  4. Abschließend schneidet eine Senkrechte zur Strecke im Punkt die Zahlengerade in der Kubikzahl

Vorgehensweise für Basis < 1 Bearbeiten

  1. Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis als Strecke .
  2. Ziehe auf der Zahlengeraden einen Halbkreis um mit Radius , er schneidet die Zahlengerade in .
  3. Bestimme auf der Zahlengeraden ab die Strecke mit der Länge und ziehe einen Kreisbogen um mit Radius bis er den Halbkreis in schneidet.
  4. Fälle das Lot von auf mit Fußpunkt und verbinde den Punkt mit .
  5. Fälle das Lot von auf mit Fußpunkt .
  6. Der abschließende Kreisbogen um mit Radius bis auf die Zahlengerade liefert die Kubikzahl .

Tastatur Bearbeiten

Auf der deutschen PC-Tastatur liegt das ³-Zeichen als dritte Belegung auf der 3-Taste und kann mit Hilfe der Alt-Gr-Taste eingegeben werden. Oft kann man auch statt Alt Gr die beiden Tasten Strg und Alt verwenden. Bei einer Apple-Tastatur hingegen gibt es keine definierte Tastenkombination für das ³-Zeichen. Das ³-Zeichen ist mit der Codenummer 179 (hexadezimal B3) Bestandteil der Zeichenkodierung ISO 8859-1 (bzw. ISO 8859-15) und damit auch des Unicodeblock Lateinisch-1, Ergänzung.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Kubikzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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Veröffentlichungsdatum:
n n n n Eine Kubikzahl von lateinisch cubus Wurfel ist eine Zahl die entsteht wenn man eine naturliche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert Beispielsweise ist 27 3 3 3 displaystyle 27 3 cdot 3 cdot 3 eine Kubikzahl Die ersten Kubikzahlen sind 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 Folge A000578 in OEIS Bei einigen Autoren ist die Null keine Kubikzahl sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt Die Bezeichnung Kubikzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Wurfels her Die Anzahl der Steine die man zum Bauen eines Wurfels benotigt entspricht immer einer Kubikzahl So lasst sich beispielsweise ein Wurfel mit der Seitenlange 3 mit Hilfe von 27 Steinen legen Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zahlen die Kubikzahlen zu den figurierten Zahlen zu denen auch die Quadratzahlen und Tetraederzahlen gehoren Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Summe der Kehrwerte 3 Erzeugende Funktion 4 Geometrische Generierung 4 1 Vorgehensweise fur Basis gt 1 4 2 Vorgehensweise fur Basis lt 1 5 Tastatur 6 Siehe auch 7 WeblinksEigenschaften BearbeitenAus den aufeinanderfolgenden Blocken von einer zwei drei vier funf ungeraden naturlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge lassen sich durch Summation die Kubikzahlen erzeugen 1 1 3 5 8 7 9 11 27 13 15 17 19 64 21 23 25 27 29 125 displaystyle underbrace 1 1 underbrace 3 5 8 underbrace 7 9 11 27 underbrace 13 15 17 19 64 underbrace 21 23 25 27 29 125 ldots nbsp Ausgehend von der Folge der zentrierten Sechseckszahlen 1 7 19 37 61 91 127 169 217 271 erhalt man die n displaystyle n nbsp te Kubikzahl als Summe der ersten n displaystyle n nbsp Folgenglieder 1 1 8 1 7 27 1 7 19 64 1 7 19 37 125 1 7 19 37 61 displaystyle begin aligned 1 amp 1 8 amp 1 7 27 amp 1 7 19 64 amp 1 7 19 37 125 amp 1 7 19 37 61 ldots amp ldots end aligned nbsp Die Summe der ersten n displaystyle n nbsp Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n displaystyle n nbsp ten Dreieckszahl i 1 n i 3 1 3 2 3 n 3 n n 1 2 2 displaystyle sum i 1 n i 3 1 3 2 3 ldots n 3 left frac n n 1 2 right 2 nbsp Jede naturliche Zahl kann als Summe von hochstens neun Kubikzahlen dargestellt werden Losung des Waringschen Problems fur den Exponenten 3 Dass 9 Summanden notwendig sein konnen zeigt die Zahl 23 Diese hat die Darstellung 23 8 8 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle 23 8 8 1 1 1 1 1 1 1 nbsp aber offensichtlich keine mit weniger kubischen Summanden Jede Kubikzahl lasst sich als Summe der ungeraden Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden doppelten Dreieckszahlen sowie als Differenz der Quadrate zweier sukzessiver Dreieckszahlen darstellen n 3 i 1 n n 1 n 2 i 1 D n 2 D n 1 2 displaystyle n 3 sum i 1 n n 1 n 2i 1 Delta n 2 Delta n 1 2 nbsp Die Summe zweier beliebiger Kubikzahlen kann selbst nie eine Kubikzahl sein Anders formuliert heisst dies dass die Gleichung a 3 b 3 c 3 displaystyle a 3 b 3 c 3 nbsp keine Losung mit naturlichen Zahlen a b c displaystyle a b c nbsp besitzt Dieser Spezialfall der Fermatschen Vermutung wurde 1753 von Leonhard Euler bewiesen Lasst man mehr als zwei Summanden zu kann es vorkommen dass eine Kubikzahl als Summe von Kuben darstellbar ist wie das folgende Beispiel sogar mit drei direkt aufeinanderfolgenden Kubikzahlen zeigt 3 3 4 3 5 3 6 3 displaystyle 3 3 4 3 5 3 6 3 nbsp Wenn man von der Folge der Kubikzahlen den Modulo 9 nimmt erhalt man die periodische Folge 0 1 8 displaystyle 0 1 8 ldots nbsp Folge A167176 in OEIS Dies ergibt sich aus x 3 mod 9 x mod 3 3 D x Z displaystyle x 3 bmod 9 x bmod 3 3 D x in mathbb Z nbsp Hieraus schliesst sich ebenfalls dass eine Zahl die als Summe von drei Kubikzahlen darstellbar ist niemals kongruent zu 4 oder 5 mod 9 sein kann Summe der Kehrwerte BearbeitenDie Summe der Kehrwerte aller Kubikzahlen wird Apery Konstante genannt Sie entspricht dem Wert der riemannschen z displaystyle zeta nbsp Funktion an der Stelle 3 n 1 1 n 3 z 3 1 202 0569 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 3 zeta 3 1 2020569 ldots nbsp Erzeugende Funktion BearbeitenJeder Folge ganzer oder reeller Zahlen a i i 0 displaystyle a i i geq 0 nbsp kann man eine formale Potenzreihe zuordnen die sogenannte erzeugende Funktion i 0 a i x i displaystyle textstyle sum i geq 0 a i x i nbsp In diesem Kontext ist es allerdings ublich die Folge der Kubikzahlen mit 0 beginnen zu lassen also die Folge 0 1 8 27 64 displaystyle 0 1 8 27 64 ldots nbsp zu betrachten Die erzeugende Funktion der Kubikzahlen ist dann i 0 i 3 x i x 8 x 2 27 x 3 64 x 4 x x 2 4 x 1 x 1 4 displaystyle sum i geq 0 i 3 x i x 8x 2 27x 3 64x 4 ldots frac x x 2 4x 1 x 1 4 nbsp Geometrische Generierung Bearbeiten Hauptartikel Konstruktion mit Zirkel und Lineal In der Kubikzahl a 3 displaystyle a 3 nbsp ist die Basis a displaystyle a nbsp eine reelle Zahl und der Exponent 3 displaystyle 3 nbsp eine positive ganze Zahl Aus diesem Grund ist der Potenzwert von a 3 displaystyle a 3 nbsp auf einer Zahlengeraden als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar Es ist zu unterscheiden ob die Basis a displaystyle a nbsp grosser oder kleiner als die Zahl 1 displaystyle 1 nbsp ist Im Folgenden werden beide Moglichkeiten beschrieben Vorgehensweise fur Basis gt 1 Bearbeiten Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen um A 0 displaystyle A 0 nbsp mit der Basis a A B displaystyle a overline AB nbsp als Radius bis er die Zahlengerade in B displaystyle B nbsp schneidet Bestimme den Abstand mit der Lange 1 displaystyle 1 nbsp zum Punkt A 0 displaystyle A 0 nbsp und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt 1 displaystyle 1 nbsp bis sie den Kreisbogen in B displaystyle B nbsp schneidet Verlangere die Basis A B displaystyle overline AB nbsp mit einer Halbgeraden und errichte eine Senkrechte zur Zahlengeraden im Punkt B displaystyle B nbsp bis sie die Halbgerade in C displaystyle C nbsp schneidet Abschliessend schneidet eine Senkrechte zur Strecke A C displaystyle overline AC nbsp im Punkt C displaystyle C nbsp die Zahlengerade in der Kubikzahl A B 3 displaystyle overline AB 3 nbsp nbsp Konstruktion der Kubikzahl A B 3 displaystyle overline AB 3 nbsp mit Basis A B gt 1 displaystyle overline AB gt 1 nbsp nbsp Konstruktion der Kubikzahl A B 3 displaystyle overline AB 3 nbsp mit Basis A B lt 1 displaystyle overline AB lt 1 nbsp Vorgehensweise fur Basis lt 1 Bearbeiten Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis a displaystyle a nbsp als Strecke A B displaystyle overline AB nbsp Ziehe auf der Zahlengeraden einen Halbkreis um B displaystyle B nbsp mit Radius A B displaystyle overline AB nbsp er schneidet die Zahlengerade in C displaystyle C nbsp Bestimme auf der Zahlengeraden ab B displaystyle B nbsp die Strecke B D displaystyle overline BD nbsp mit der Lange 0 5 displaystyle 0 5 nbsp und ziehe einen Kreisbogen um D displaystyle D nbsp mit Radius B D displaystyle overline BD nbsp bis er den Halbkreis in E displaystyle E nbsp schneidet Falle das Lot von E displaystyle E nbsp auf B C displaystyle overline BC nbsp mit Fusspunkt F displaystyle F nbsp und verbinde den Punkt B displaystyle B nbsp mit E displaystyle E nbsp Falle das Lot von F displaystyle F nbsp auf B E displaystyle overline BE nbsp mit Fusspunkt G displaystyle G nbsp Der abschliessende Kreisbogen um B displaystyle B nbsp mit Radius B G displaystyle overline BG nbsp bis auf die Zahlengerade liefert die Kubikzahl A B 3 displaystyle overline AB 3 nbsp Tastatur BearbeitenAuf der deutschen PC Tastatur liegt das Zeichen als dritte Belegung auf der 3 Taste und kann mit Hilfe der Alt Gr Taste eingegeben werden Oft kann man auch statt Alt Gr die beiden Tasten Strg und Alt verwenden Bei einer Apple Tastatur hingegen gibt es keine definierte Tastenkombination fur das Zeichen Das Zeichen ist mit der Codenummer 179 hexadezimal B3 Bestandteil der Zeichenkodierung ISO 8859 1 bzw ISO 8859 15 und damit auch des Unicodeblock Lateinisch 1 Erganzung Siehe auch BearbeitenZentrierte Kubikzahl Hardy Ramanujan Zahl QuadratzahlWeblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Kubikzahl Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Cubic Number In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kubikzahl amp oldid 239144167