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Waringsches Problem Das Waringsche Problem ist ein Problem der Zahlentheorie Es verallgemeinert den Vier Quadrate Satz d

Waringsches Problem

Das Waringsche Problem ist ein Problem der Zahlentheorie. Es verallgemeinert den Vier-Quadrate-Satz, der besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. In seinem Werk Meditationes algebraicae (1770) stellte Edward Waring die Vermutung auf, dass es für jeden Exponenten k eine solche gemeinsame Summandenanzahl geben müsse. Das Waringsche Problem gilt heute als gelöst.

Das Waringsche Problem Bearbeiten

Formulierung Bearbeiten

Zu jedem natürlichen Exponenten existiert eine natürliche Zahl derart, dass jede Zahl als Summe von höchstens -ten Potenzen dargestellt werden kann, also eine Darstellung der Form

mit natürlichen Zahlen besitzt, wobei ist.

Erläuterungen Bearbeiten

Darüber hinaus wird dann üblicherweise nach der kleinsten derartigen Zahl gefragt. Beispielsweise besagt der Vier-Quadrate-Satz, dass jede natürliche Zahl durch eine Summe von vier Quadratzahlen darstellbar ist, also . Da, wie die Zahl zeigt, drei Quadrate nicht immer genügen, muss sein, insgesamt also .

Während man also 4 Quadrate für die Zahl 7 benötigt, sind 9 Kubikzahlen für die Zahl 23 erforderlich und 19 vierte Potenzen für die Zahl 79. Waring vermutete, dass diese Werte die höchstmöglichen sind, also und .

Lösungen für kleine Exponenten Bearbeiten

Warings Vermutung wurde 1909 von David Hilbert bewiesen. Die Aussage wird deshalb manchmal auch als Satz von Waring-Hilbert bezeichnet. Der Hilbertsche Beweis wurde 1912 durch Robert Remak und Erik Stridsberg vereinfacht. Einen elementaren Beweis für das Waringsche Problem, der andere Ideen als Hilbert nutzte, lieferte 1942 Juri Wladimirowitsch Linnik mithilfe von Ergebnissen von Lew Schnirelman.

k=2: Durch den Vier-Quadrate-Satz ist bewiesen.

k=3: Dass ist, wurde in den Jahren 1909 bis 1912 von Arthur Wieferich und Aubrey J. Kempner (1880–1973) bewiesen. Edmund Landau konnte ebenfalls bereits im Jahr 1909 zeigen, dass nur endlich viele natürliche Zahlen neun Kuben benötigen, jede hinreichend große Zahl also als Summe von acht Kuben darstellbar ist, und Leonard E. Dickson fand 1939, dass 23 und 239 die beiden einzigen Zahlen sind, die tatsächlich neun Kuben benötigen. Schon Arthur Wieferich vermutete, dass tatsächlich nur 15 Zahlen acht und nur 121 Zahlen sieben Kuben benötigen. Heute wird allgemein angenommen, dass man nur für Zahlen ≤ 454 acht Kuben (oder neun für 23 und 239), für Zahlen ≤ 8.042 sieben Kuben und für Zahlen ≤ 1.290.740 sechs Kuben benötigt, alle hinreichend großen Zahlen also als Summe von fünf Kuben darstellbar sind. Den Beweis des Sieben-Kuben-Satzes konnte als erster 1941 Juri Linnik führen, von George Leo Watson wurde er 1951 deutlich vereinfacht.

k=4: wurde 1986 von Ramachandran Balasubramanian, François Dress und Jean-Marc Deshouillers gezeigt. Bereits seit 1939 weiß man außerdem, dass jede hinreichend große Zahl als Summe von 16 Biquadraten darstellbar ist, die Menge der Zahlen, die tatsächlich 17, 18 oder 19 vierte Potenzen benötigen, also endlich ist. Dieser Wert kann nicht verbessert werden.

k>4: wurde im Jahr 1964 von Chen Jingrun nachgewiesen.S. Sivasankaranarayana Pillai zeigte 1940 , und Leonard E. Dickson 1937 .

Allgemeine Lösung Bearbeiten

Durch die Arbeiten von Leonard Dickson, Pillai, R. K. Rubugunday und Ivan M. Niven sind nun alle anderen g(k) ebenfalls bekannt.

wobei und .

Es wird vermutet, dass der zweite Fall für kein k auftritt. Die Bedingung für den ersten Fall ist für alle erfüllt und es ist bekannt, dass es höchstens endlich viele geben kann, für die der zweite Fall überhaupt in Frage käme. Sollte sich diese Vermutung bestätigen, so könnte man obige Formel zu

vereinfachen. 

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … g(k) 1 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 …

(Folge A002804 in OEIS)

Für größere kann die Anzahl auch mit abgeschätzt werden.

Kleinste Zahl a(k) Bearbeiten

Die jeweils kleinste Zahl die im Waringschen Problem die maximale Anzahl an Summanden benötigt, ist für kleine : 

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … g(k) 1 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 … a(k) 1 7 23 79 223 703 2175 6399 19455 58367 …

(Folge A018886 in OEIS)

Beispiel für : Demnach ist jede Zahl als Summe von 9 Dreierpotenzen (Kuben) darstellbar. 23 ist die kleinste Zahl, die nicht als Summe von weniger als 9 Kuben dargestellt werden kann, es ist .

Quellen und Literatur Bearbeiten

  • Helmut Koch, Herbert Pieper: Zahlentheorie. Ausgewählte Methoden und Ergebnisse (= Studienbücherei). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.
  • Melvyn B. Nathanson: Additive Number Theory. The Classical Bases (= Graduate Texts in Mathematics. Band 164). Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 0-387-94656-X.
  • Edward Waring: Meditationes algebraicae. Cambridge 31782.
  • Dennis Weeks (Hrsg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. ISBN 0821801694.

Weblinks Bearbeiten

Wikisource: David Hilbert: Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, 11. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). – Quellen und Volltexte

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl -ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen. 67 (1909), S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.) In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 2, S. 271–274.
  2. Erik Stridsberg: Sur la démonstration de M.(onsieur) Hilbert du théorème de Waring. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 145–152; Robert Remak: Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems. In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 153–156.
  3. Juri Wladimirowitsch Linnik: Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана [= Elementarnoe rešenie problemy Waring’a po metodu Šnirel’mana. (Elementare Lösung des Waringschen Problems mit Schnirelmans Methode.)] In: Recueil Mathématique. Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 225–230.
  4. Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 95–101.
  5. Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 387–399.
  6. Edmund Landau: Über eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 102–105.
  7. Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. (PDF; 376 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (1939), S. 588–591.
  8. Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), hier S. 95: „Tabellen der kleinsten Anzahlen von positiven Kuben, in die sich die ganzen Zahlen zerlegen lassen, sind […] für die Zahlen bis 40.000 aufgestellt worden. Aus ihnen ergab sich, daß bis zur Grenze 40.000 hin alle Zahlen größer als 239 sich durch höchstens 8, oberhalb 454 durch höchstens 7 und oberhalb 8.042 durch höchstens 6 Kuben darstellen lassen, so daß vermutlich über eine gewisse Grenze (8.042) hinaus eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens 6 Kuben darstellbar ist.“
  9. Vgl. W. S. Baer: Über die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben. In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 4, S. 511–514. – François Bertault; Olivier Ramaré; Paul Zimmermann: On sums of seven cubes. (PDF; 254 kB) In: Mathematics of Computation. 68 (1999), Nr. 227, S. 1303–1310.
  10. Juri Wladimirowitsch Linnik: On the representation of large numbers as sums of seven cubes. (О разложении больших чисел на семь кубов [= O razloženii bol’šich čsel na sem’ kubov. (Über die Darstellung großer Zahlen als Summe von sieben Kuben.)]) In: Comptes Rendus (Doklady) de l’Académie des Sciences de l’URSS. N. F. 35 (1942), Nr. 6, S. 162 ff. Auch in: Recueil Mathématique Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 218–224.
  11. George Leo Watson: A proof of the seven cubes theorem. In: Journal of the London Mathematical Society. 26 (1951), S. 153–156.
  12. Ramachandran Balasubramanian; Jean-Marc Deshouillers; François Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I: Mathematique 303 (1986), Nr. 4, S. 85–88, Nr. 5, S. 161–163.
  13. Harold Davenport: On Waring’s Problem for Fourth Powers. In: Annals of Mathematics. 40 (1939), Nr. 4, S. 731–747.
  14. Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), hier S. 395–396 (§ 4. Es kommen in der natürlichen Zahlreihe immer wieder Zahlen vor, die mindestens 16 positive Biquadrate erfordern).
  15. Chen Jingrun: (Memento des Originals vom 18. Dezember 2015 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/math.scichina.com (PDF; 501 kB) In: Scientia Sinica. 13 (1964), S. 1547–1568. Auch in: Chinese Mathematics. Acta Scientiarum Mathematicarum. 6 (1965), S. 105–127.
  16. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s problem g(6) = 73. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 12 (1940). S. 30–40.
  17. Leonard Eugene Dickson: The Waring Problem and its generalizations. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 42 (1936), S. 833–842.
  18. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s Problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 2 (1936), Nr. 2, S. 16–44; vgl. Sarvadaman Chowla: Pillai’s Exact Formulae for the Number g(n) in Waring’s Problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. A 4 (1936), S. 261.
  19. Shri Raghunath Krishna Rubugunday: On g(k) in Waring’s problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 6 (1942), Nr. 2, S. 192–198.
  20. Ivan Morton Niven: An unsolved case of the Waring Problem. In: American Journal of Mathematics. 66 (1944), S. 137–143.
  21. W. J. Ellison: Waring’s problem. In: American Mathematical Monthly. 1971, Band 78, Seiten 10–36, Theorem 4.1.
  22. R. M. Stemmler: The ideal Waring theorem for exponents 401–200,000. In: Math. Comp. 1964, Band 18, Seiten 144–146.
  23. K. Mahler: On the fractional parts of powers of real numbers. In: Mathematika. 1957, Band 4, Seiten 122–124.
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Das Waringsche Problem ist ein Problem der Zahlentheorie Es verallgemeinert den Vier Quadrate Satz der besagt dass jede naturliche Zahl als Summe von vier Quadratzahlen dargestellt werden kann In seinem Werk Meditationes algebraicae 1770 stellte Edward Waring die Vermutung auf dass es fur jeden Exponenten k eine solche gemeinsame Summandenanzahl geben musse Das Waringsche Problem gilt heute als gelost Inhaltsverzeichnis 1 Das Waringsche Problem 1 1 Formulierung 1 2 Erlauterungen 2 Losungen fur kleine Exponenten 3 Allgemeine Losung 4 Kleinste Zahl a k 5 Quellen und Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDas Waringsche Problem BearbeitenFormulierung Bearbeiten Zu jedem naturlichen Exponenten k N displaystyle k in mathbb N nbsp existiert eine naturliche Zahl g k N displaystyle g k in mathbb N nbsp derart dass jede Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp als Summe von hochstens g k displaystyle g k nbsp k displaystyle k nbsp ten Potenzen dargestellt werden kann also eine Darstellung der 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kleine Exponenten BearbeitenWarings Vermutung wurde 1909 von David Hilbert bewiesen 1 Die Aussage wird deshalb manchmal auch als Satz von Waring Hilbert bezeichnet Der Hilbertsche Beweis wurde 1912 durch Robert Remak und Erik Stridsberg vereinfacht 2 Einen elementaren Beweis fur das Waringsche Problem der andere Ideen als Hilbert nutzte lieferte 1942 Juri Wladimirowitsch Linnik mithilfe von Ergebnissen von Lew Schnirelman 3 k 2 Durch den Vier Quadrate Satz ist g 2 4 displaystyle g 2 4 nbsp bewiesen k 3 Dass g 3 9 displaystyle g 3 9 nbsp ist wurde in den Jahren 1909 bis 1912 von Arthur Wieferich und Aubrey J Kempner 1880 1973 bewiesen 4 5 Edmund Landau konnte ebenfalls bereits im Jahr 1909 zeigen dass nur endlich viele naturliche Zahlen neun Kuben benotigen 6 jede hinreichend grosse Zahl also als Summe von acht Kuben darstellbar ist und Leonard E Dickson fand 1939 dass 23 und 239 die beiden einzigen Zahlen sind die tatsachlich neun Kuben benotigen 7 Schon Arthur Wieferich vermutete dass 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displaystyle g 6 73 nbsp 16 und Leonard E Dickson 1937 g 7 143 displaystyle g 7 143 nbsp Allgemeine Losung BearbeitenDurch die Arbeiten von Leonard Dickson Pillai R K Rubugunday und Ivan M Niven sind nun alle anderen g k ebenfalls bekannt 17 18 19 20 g k 3 2 k 2 k 2 fur k 6 oder 3 k 2 k 2 lt 2 k 1 3 2 k 3 2 k 4 3 k 2 k c k fur k gt 6 und 3 k 2 k 2 2 k 1 3 2 k displaystyle g k begin cases left lfloor left frac 3 2 right k right rfloor 2 k 2 amp text fur k leq 6 text oder 3 k 2 k 2 lt 2 k 1 left lfloor left frac 3 2 right k right rfloor left lfloor left frac 3 2 right k right rfloor left lfloor left frac 4 3 right k right rfloor 2 k c k amp text fur k gt 6 text und 3 k 2 k 2 geq 2 k 1 left lfloor left frac 3 2 right k right rfloor end cases nbsp wobei c k 2 3 displaystyle c k in 2 3 nbsp und c k 2 3 2 k 4 3 k 3 2 k 4 3 k 2 k displaystyle textstyle c k 2 Leftrightarrow left lfloor left frac 3 2 right k right rfloor cdot left lfloor left frac 4 3 right k right rfloor left lfloor left frac 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Gesammelte Abhandlungen Erster Band 11 Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n ter Potenzen Waringsches Problem Quellen und Volltexte Eric W Weisstein Waring s Problem In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten David Hilbert Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n displaystyle n nbsp ter Potenzen Waringsches Problem In Mathematische Annalen 67 1909 S 281 300 Vgl Erhard Schmidt Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe In Mathematische Annalen 74 1913 Nr 2 S 271 274 Erik Stridsberg Sur la demonstration de M onsieur Hilbert du theoreme de Waring In Mathematische Annalen 72 1912 S 145 152 Robert Remak Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems In Mathematische Annalen 72 1912 S 153 156 Juri Wladimirowitsch Linnik Elementarnoe reshenie problemy Waring a po metodu Shnirelmana Elementarnoe resenie problemy Waring a po metodu Snirel mana Elementare Losung des Waringschen Problems mit Schnirelmans Methode In Recueil Mathematique Matematicheskij Sbornik Matematiceskij Sbornik Mathematische Sammlung N F 12 54 1943 Nr 2 S 225 230 Arthur Wieferich Beweis des Satzes dass sich eine jede ganze Zahl als Summe von hochstens neun positiven Kuben darstellen lasst In Mathematische Annalen 66 1909 S 95 101 Aubrey John Kempner Bemerkungen zum Waringschen Problem In Mathematische Annalen 72 1912 S 387 399 Edmund Landau Uber eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie In Mathematische Annalen 66 1909 S 102 105 Leonard Eugene Dickson All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes PDF 376 kB In Bulletin of the American Mathematical Society 45 1939 S 588 591 Arthur Wieferich Beweis des Satzes dass sich eine jede ganze Zahl als Summe von hochstens neun positiven Kuben darstellen lasst In Mathematische Annalen 66 1909 hier S 95 Tabellen der kleinsten Anzahlen von positiven Kuben in die sich die ganzen Zahlen zerlegen lassen sind fur die Zahlen bis 40 000 aufgestellt worden Aus ihnen ergab sich dass bis zur Grenze 40 000 hin alle Zahlen grosser als 239 sich durch hochstens 8 oberhalb 454 durch hochstens 7 und oberhalb 8 042 durch hochstens 6 Kuben darstellen lassen so dass vermutlich uber eine gewisse Grenze 8 042 hinaus eine jede ganze Zahl als Summe von hochstens 6 Kuben darstellbar ist Vgl W S Baer Uber die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben In Mathematische Annalen 74 1913 Nr 4 S 511 514 Francois Bertault Olivier Ramare Paul Zimmermann On sums of seven cubes PDF 254 kB In Mathematics of Computation 68 1999 Nr 227 S 1303 1310 Juri Wladimirowitsch Linnik On the representation of large numbers as sums of seven cubes O razlozhenii bolshih chisel na sem kubov O razlozenii bol sich csel na sem kubov Uber die Darstellung grosser Zahlen als Summe von sieben Kuben In Comptes Rendus Doklady de l Academie des Sciences de l URSS N F 35 1942 Nr 6 S 162 ff Auch in Recueil Mathematique Matematicheskij Sbornik Matematiceskij Sbornik Mathematische Sammlung N F 12 54 1943 Nr 2 S 218 224 George Leo Watson A proof of the seven cubes theorem In Journal of the London Mathematical Society 26 1951 S 153 156 Ramachandran Balasubramanian Jean Marc Deshouillers Francois Dress Probleme de Waring pour les bicarres In Comptes rendus de l Academie des sciences Serie I Mathematique 303 1986 Nr 4 S 85 88 Nr 5 S 161 163 Harold Davenport On Waring s Problem for Fourth Powers In Annals of Mathematics 40 1939 Nr 4 S 731 747 Aubrey John Kempner Bemerkungen zum Waringschen Problem In Mathematische Annalen 72 1912 hier S 395 396 4 Es kommen in der naturlichen Zahlreihe immer wieder Zahlen vor die mindestens 16 positive Biquadrate erfordern Chen Jingrun Waring s Problem for g 5 37 Memento des Originals vom 18 Dezember 2015 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot math scichina com PDF 501 kB In Scientia Sinica 13 1964 S 1547 1568 Auch in Chinese Mathematics Acta Scientiarum Mathematicarum 6 1965 S 105 127 Subbayya Sivasankaranarayana Pillai On Waring s problem g 6 73 In Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 12 1940 S 30 40 Leonard Eugene Dickson The Waring Problem and its generalizations In Bulletin of the American Mathematical Society 42 1936 S 833 842 Subbayya Sivasankaranarayana Pillai On Waring s Problem In Journal of the Indian Mathematical Society 2 1936 Nr 2 S 16 44 vgl Sarvadaman Chowla Pillai s Exact Formulae for the Number g n in Waring s Problem In Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 4 1936 S 261 Shri Raghunath Krishna Rubugunday On g k in Waring s problem In Journal of the Indian Mathematical Society 6 1942 Nr 2 S 192 198 Ivan Morton Niven An unsolved case of the Waring Problem In American Journal of Mathematics 66 1944 S 137 143 W J Ellison Waring s problem In American Mathematical Monthly 1971 Band 78 Seiten 10 36 Theorem 4 1 R M Stemmler The ideal Waring theorem for exponents 401 200 000 In Math Comp 1964 Band 18 Seiten 144 146 K Mahler On the fractional parts of powers of real numbers In Mathematika 1957 Band 4 Seiten 122 124 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Waringsches Problem amp oldid 221255899