Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl n Z displaystyle n in mathbb Z haben damit sie als Summe dreier Kubikzahlen x 3 y 3 displaystyle x 3 y 3 und z 3 displaystyle z 3 mit ganzzahligen Basen x y z Z displaystyle x y z in mathbb Z darstellbar ist Wie lauten zu einer gegebenen Zahl n displaystyle n mogliche Zahlentripel x y displaystyle x y und z displaystyle z so dass n x 3 y 3 z 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 erfullt ist Wie viele Losungen gibt es fur eine gegebene Zahl n displaystyle n Einfach logarithmischer Graph der Losungen der Gleichung x3 y3 z3 n mit ganzzahligen x y und z und n aus 0 100 Grune Balken bedeuten dass es fur diese n nachweislich keine Losungen gibt Die Losungen dieser diophantischen Gleichung fur gegebene n displaystyle n ist ein seit 160 Jahren ungelostes Problem der Zahlentheorie 1 Inhaltsverzeichnis 1 Losungen der Gleichung 1 1 Darstellungen fur n 0 1 2 Darstellungen fur n 1 1 3 Darstellungen fur n 2 1 4 Darstellungen fur n 3 1 5 Darstellungen fur n 4 und 5 1 6 Darstellungen fur n 6 1 7 Darstellungen fur n 7 1 8 Konstruierbare Losungen fur n k3m 1 9 Jeweils kleinste Darstellungen fur n 0 bis 107 2 Chronologie der Entdeckungen 3 Eigenschaften 4 Jeweils kleinste Darstellungen fur n 0 bis 91 der OEIS entnehmen 4 1 Beispiel fur n 24 dem 19 Eintrag 5 Trivia 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseLosungen der Gleichung BearbeitenDarstellungen fur n 0 Bearbeiten Die einfachste triviale Darstellung fur n 0 displaystyle n 0 nbsp als Summe dreier Kubikzahlen lautet 0 0 3 0 3 0 3 displaystyle 0 0 3 0 3 0 3 nbsp Weitere triviale Darstellungen lauten 0 0 3 a 3 a 3 displaystyle 0 0 3 a 3 a 3 nbsp mit a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp Nichttriviale Darstellungen existieren nicht Beweis Angenommen es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form 0 x 3 y 3 z 3 displaystyle 0 x 3 y 3 z 3 nbsp mit x y z 0 displaystyle x y z not 0 nbsp Genau eine oder zwei der Variablen x y z displaystyle x y z nbsp mussen negativ sein denn sie konnen nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden dass x gt 0 y gt 0 z lt 0 displaystyle x gt 0 y gt 0 z lt 0 nbsp Im Fall von zwei negativen Variablen betrachtet man die Losung x y z displaystyle x y z nbsp Bringt man z 3 displaystyle z 3 nbsp auf die rechte Seite erhalt man mit x 3 y 3 z 3 displaystyle x 3 y 3 z 3 nbsp eine ganzzahlige Losung fur die Gleichung x 3 y 3 z 3 displaystyle x 3 y 3 z 3 nbsp mit z z gt 0 displaystyle z z gt 0 nbsp Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Grossen Fermatscher Satz der besagt dass die Gleichung x 3 y 3 z 3 displaystyle x 3 y 3 z 3 nbsp fur positive ganze Zahlen x y z N displaystyle x y z in mathbb N nbsp keine Losungen besitzt Somit muss die Annahme fallengelassen werden was bedeutet dass es keine nichttriviale Darstellung der Form x 3 y 3 z 3 0 displaystyle x 3 y 3 z 3 0 nbsp geben kann dd Darstellungen fur n 1 Bearbeiten Die triviale Darstellung fur n 1 displaystyle n 1 nbsp als Summe dreier Kubikzahlen lautet 1 0 3 0 3 1 3 displaystyle 1 0 3 0 3 1 3 nbsp Neben dieser existieren aber auch weitere Darstellungen wie z B 1 6 3 8 3 9 3 displaystyle 1 6 3 8 3 9 3 nbsp displaystyle nbsp 1 131769 3 131802 3 11980 3 displaystyle 1 131769 3 131802 3 11980 3 nbsp Neben diesen Einzellosungen existieren aber auch ganze Familien von Darstellungen Die einfachste lautet 1 c 3 c 3 1 3 displaystyle 1 c 3 c 3 1 3 nbsp mit c Z displaystyle c in mathbb Z nbsp Zwei kompliziertere Losungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt 1 1 9 c 4 3 3 c 9 c 4 3 1 9 c 3 3 displaystyle 1 9c 4 3 pm 3c 9c 4 3 1 mp 9c 3 3 nbsp mit c Z displaystyle c in mathbb Z nbsp 729 c 12 4 27 c 3 1 243 c 6 2 729 c 9 3 729 c 12 4 1 27 c 3 1 243 c 6 2 729 c 9 3 1 displaystyle underbrace bcancel 729c 12 4 quad pm underbrace bcancel 27c 3 1 underbrace bcancel 243c 6 2 pm underbrace bcancel 729c 9 3 underbrace bcancel 729c 12 4 quad 1 mp underbrace bcancel 27c 3 1 underbrace bcancel 243c 6 2 mp underbrace bcancel 729c 9 3 1 nbsp wie auch folgende 1 1 135 c 4 3888 c 10 3 3 c 81 c 4 1296 c 7 3888 c 10 3 1 9 c 3 648 c 6 3888 c 9 3 displaystyle 1 135c 4 3888c 10 3 3c 81c 4 1296c 7 3888c 10 3 1 9c 3 648c 6 3888c 9 3 nbsp mit c Z displaystyle c in mathbb Z nbsp Fur n 1 displaystyle n 1 nbsp lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Losungsfamilien 2 Neben x c 0 y c 0 z c 0 9 c 4 3 c 9 c 4 1 9 c 3 displaystyle x c 0 y c 0 z c 0 9c 4 3c 9c 4 1 9c 3 nbsp x c 1 y c 1 z c 1 9 c 4 3 c 9 c 4 1 9 c 3 displaystyle x c 1 y c 1 z c 1 9c 4 3c 9c 4 1 9c 3 nbsp lassen sich fur jedes einzelne c Z displaystyle c in mathbb Z nbsp unendlich viele weitere Tripel x c k y c k z c k displaystyle x c k y c k z c k nbsp mit k 2 displaystyle k geq 2 nbsp rekursiv mittels x c k 2 216 c 6 1 x c k 1 x c k 2 108 c 4 displaystyle x c k 2 216c 6 1 x c k 1 x c k 2 108c 4 nbsp y c k 2 216 c 6 1 y c k 1 y c k 2 108 c 4 displaystyle y c k 2 216c 6 1 y c k 1 y c k 2 108c 4 nbsp und z c k 2 216 c 6 1 z c k 1 z c k 2 216 c 6 4 displaystyle z c k 2 216c 6 1 z c k 1 z c k 2 216c 6 4 nbsp konstruieren 2 Fur k 0 displaystyle k 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp erhalt man die einfachen Losungen von Kurt Mahler fur k 2 displaystyle k 2 nbsp die kompliziertere Darstellungen fur n 2 Bearbeiten Die triviale Darstellung fur n 2 displaystyle n 2 nbsp als Summe dreier Kubikzahlen lautet 2 0 3 1 3 1 3 displaystyle 2 0 3 1 3 1 3 nbsp Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs Familie lautet 1 2 1 6 c 3 3 1 6 c 3 3 6 c 2 3 displaystyle 2 1 6c 3 3 1 6c 3 3 6c 2 3 nbsp mit c Z displaystyle c in mathbb Z nbsp Weitere bekannte Darstellungen die nicht der obigen Familie angehoren sind 2 1214928 3 3480205 3 3528875 3 2 37404275617 3 25282289375 3 33071554596 3 2 3737830626090 3 1490220318001 3 3815176160999 3 displaystyle begin array lrcrcr 2 amp 1214928 3 amp amp 3480205 3 amp amp 3528875 3 2 amp 37404275617 3 amp amp 25282289375 3 amp amp 33071554596 3 2 amp 3737830626090 3 amp amp 1490220318001 3 amp amp 3815176160999 3 end array nbsp Darstellungen fur n 3 Bearbeiten Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen fur n 3 displaystyle n 3 nbsp als Summe dreier Kubikzahlen folgende 3 1 3 1 3 1 3 displaystyle 3 1 3 1 3 1 3 nbsp und 3 4 3 4 3 5 3 displaystyle 3 4 3 4 3 5 3 nbsp Uberraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt 3 3 569936821221962380720 3 569936821113563493509 3 472715493453327032 3 displaystyle 3 569936821221962380720 3 569936821113563493509 3 472715493453327032 3 nbsp Man weiss nicht ob es nur diese drei endlich viele oder unendlich viele Darstellung fur n 3 displaystyle n 3 nbsp gibt Darstellungen fur n 4 und 5 Bearbeiten Fur n 4 displaystyle n 4 nbsp und 5 displaystyle 5 nbsp gibt es keine Losungen Darstellungen fur n 6 Bearbeiten Es gibt mehrere Darstellungen die fur x y z 1000 displaystyle x leq y leq z leq 1000 nbsp lauten 6 1 3 1 3 2 3 displaystyle 6 1 3 1 3 2 3 nbsp 6 43 3 58 3 65 3 displaystyle 6 43 3 58 3 65 3 nbsp 6 55 3 235 3 236 3 displaystyle 6 55 3 235 3 236 3 nbsp 6 205 3 637 3 644 3 displaystyle 6 205 3 637 3 644 3 nbsp Darstellungen fur n 7 Bearbeiten Es gibt mehrere Darstellungen die fur x y z 1000 displaystyle x leq y leq z leq 1000 nbsp lauten 7 0 3 1 3 2 3 displaystyle 7 0 3 1 3 2 3 nbsp 7 32 3 104 3 105 3 displaystyle 7 32 3 104 3 105 3 nbsp 7 44 3 168 3 169 3 displaystyle 7 44 3 168 3 169 3 nbsp Konstruierbare Losungen fur n k3m Bearbeiten Lasst sich n displaystyle n nbsp als Produkt einer Kubikzahl k 3 displaystyle k 3 nbsp und einer Zahl m displaystyle m nbsp darstellen erbt diese Zahl n displaystyle n nbsp alle Losungen der Zahl m displaystyle m nbsp auf folgende Weise m x 3 y 3 z 3 n k 3 m k 3 x 3 y 3 z 3 n k 3 m k x 3 k y 3 k z 3 displaystyle m x 3 y 3 z 3 quad longrightarrow quad n k 3 m k 3 x 3 y 3 z 3 quad longrightarrow quad n k 3 m kx 3 ky 3 kz 3 nbsp Beispiel 1 6 3 8 3 9 3 8 12 3 16 3 18 3 displaystyle 1 6 3 8 3 9 3 quad longrightarrow quad 8 12 3 16 3 18 3 nbsp Jeweils kleinste Darstellungen fur n 0 bis 107 Bearbeiten Folgende Tabelle enthalt fur 0 n 107 n N 0 displaystyle 0 leq n leq 107 n in mathbb N 0 nbsp die jeweils kleinsten Losungen der Gleichung n x 3 y 3 z 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 nbsp mit x y z displaystyle x leq y leq z nbsp x y z Z displaystyle x y z in mathbb Z nbsp 4 Tabelle fur 0 n 107 n N 0 displaystyle 0 leq n leq 107 n in mathbb N 0 nbsp der jeweils kleinsten Losungen der Gleichung n x 3 y 3 z 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 nbsp mit x y z displaystyle x leq y leq z nbsp x y z Z displaystyle x y z in mathbb Z nbsp fur 0 n 26 displaystyle 0 leq n leq 26 nbsp n displaystyle n nbsp x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp 0 0 0 01 0 0 12 0 1 13 1 1 14 keine Losung56 1 1 27 0 1 28 0 0 29 0 1 210 1 1 211 2 2 312 7 10 1113 keine Losung1415 1 2 216 0 2 217 1 2 218 1 2 319 0 2 320 1 2 321 11 14 1622 keine Losung2324 2 2 225 1 1 326 0 1 3 fur 27 n 53 displaystyle 27 leq n leq 53 nbsp n displaystyle n nbsp x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp 27 0 0 328 0 1 329 1 1 330 283059965 2218888517 222042293231 Es existiert keine Losung 3233 2736111468807040 8778405442862239 886612897528752834 1 2 335 0 2 336 1 2 337 0 3 438 1 3 439 117367 134476 15938040 Es existiert keine Losung 4142 12602123297335631 80435758145817515 8053873881207597443 2 2 344 5 7 845 2 3 446 2 3 347 6 7 848 2 2 449 Es existiert keine Losung 5051 602 659 79652 23961292454 60702901317 6192271286553 1 3 3 fur 54 n 80 displaystyle 54 leq n leq 80 nbsp n displaystyle n nbsp x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp 54 7 11 1255 1 3 356 0 2 457 1 2 458 Es existiert keine Losung 5960 1 4 561 0 4 562 2 3 363 0 1 464 0 0 465 0 1 466 1 1 467 Es existiert keine Losung 6869 2 4 570 11 20 2171 1 2 472 7 9 1073 1 2 474 66229832190556 283450105697727 28465029255588575 4381159 435203083 43520323176 Es existiert keine Losung 7778 26 53 5579 19 33 3580 6 6 8 fur 81 n 107 displaystyle 81 leq n leq 107 nbsp n displaystyle n nbsp x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp 81 10 17 1882 11 11 1483 2 3 484 8241191 41531726 4163961185 Es existiert keine Losung 8687 1972 4126 427188 3 4 589 6 6 790 1 3 491 0 3 492 1 3 493 5 5 794 Es existiert keine Losung 9596 14 20 2297 1 3 598 0 3 599 2 3 4100 3 6 7101 3 4 4102 118 229 239103 Es existiert keine Losung 104105 4 7 8106 2 3 5107 28 48 51 5 6 7 8 9 Chronologie der Entdeckungen Bearbeiten1954 Miller und Woolet fanden 69 der 78 moglichen Losungen fur 1 n 100 displaystyle 1 leq n leq 100 nbsp per Brute Force Suche aller Kombinationen x y z 2164 displaystyle x leq y leq z leq 2164 nbsp 1 Unbekannt blieben die Losungen der neun Zahlen 30 33 39 42 52 74 75 84 displaystyle 30 33 39 42 52 74 75 84 nbsp und 87 displaystyle 87 nbsp Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten 70 11 3 20 3 21 3 displaystyle 70 11 3 20 3 21 3 nbsp 96 14 3 20 3 22 3 displaystyle 96 14 3 20 3 22 3 nbsp 79 19 3 33 3 35 3 displaystyle 79 19 3 33 3 35 3 nbsp 78 26 3 53 3 55 3 displaystyle 78 26 3 53 3 55 3 nbsp 51 602 3 659 3 796 3 displaystyle 51 602 3 659 3 796 3 nbsp dd 1963 Gardiner Lazarus und Stein suchten weiter mit x y 2 16 displaystyle x leq y leq 2 16 nbsp und 0 z x 2 16 displaystyle 0 leq z x leq 2 16 nbsp fur 1 n 1000 displaystyle 1 leq n leq 1000 nbsp 1 Fur n 100 displaystyle n leq 100 nbsp fanden sie folgende weitere Losung 87 1972 3 4126 3 4271 3 displaystyle 87 1972 3 4126 3 4271 3 nbsp dd Fur n 1000 displaystyle n leq 1000 nbsp fanden sie 708 der 778 Losungen Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten 978 8666 3 40169 3 40303 3 displaystyle 978 8666 3 40169 3 40303 3 nbsp 402 37685 3 41378 3 49915 3 displaystyle 402 37685 3 41378 3 49915 3 nbsp 583 17419 3 48223 3 48969 3 displaystyle 583 17419 3 48223 3 48969 3 nbsp 227 24579 3 51748 3 53534 3 displaystyle 227 24579 3 51748 3 53534 3 nbsp 971 7423 3 55643 3 55687 3 displaystyle 971 7423 3 55643 3 55687 3 nbsp dd 1992 Heath Brown Lioen und te Riele fanden folgende weitere Losung 39 117367 3 134476 3 159380 3 displaystyle 39 117367 3 134476 3 159380 3 nbsp dd 1994 Conn and Vasersteĭn fanden folgende weitere Losung 84 8241191 3 41531726 3 41639611 3 displaystyle 84 8241191 3 41531726 3 41639611 3 nbsp dd 1999 Fur n 100 displaystyle n leq 100 nbsp waren bereits fur 75 verschiedene n displaystyle n nbsp Losungen bekannt Es kamen hinzu 75 4381159 3 435203083 3 435203231 3 displaystyle 75 4381159 3 435203083 3 435203231 3 nbsp 30 283059965 3 2218888517 3 2220422932 3 displaystyle 30 283059965 3 2218888517 3 2220422932 3 nbsp 52 23961292454 3 60702901317 3 61922712865 3 displaystyle 52 23961292454 3 60702901317 3 61922712865 3 nbsp dd Damit fehlten nur noch die Losungen fur n 33 42 displaystyle n 33 42 nbsp und 74 displaystyle 74 nbsp Fur n 1000 displaystyle n leq 1000 nbsp fanden sie 751 der 778 Losungen 1 2007 fehlten nur noch fur folgende n displaystyle n nbsp zwischen 1 displaystyle 1 nbsp und 1000 displaystyle 1000 nbsp obige Darstellungen 1 33 42 74 114 165 390 579 627 633 732 795 906 921 displaystyle 33 42 74 114 165 390 579 627 633 732 795 906 921 nbsp und 975 displaystyle 975 nbsp dd 2016 wurde das Problem fur n 74 displaystyle n 74 nbsp von Sander Huisman gelost 6 74 284650292555885 3 66229832190556 3 283450105697727 3 displaystyle 74 284650292555885 3 66229832190556 3 283450105697727 3 nbsp dd 2019 wurde das Problem fur n 33 displaystyle n 33 nbsp vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer Einsatz gelost 10 11 33 8866128975287528 3 8778405442862239 3 2736111468807040 3 displaystyle 33 8866128975287528 3 8778405442862239 3 2736111468807040 3 nbsp dd September 2019 wurde das Problem fur die letzte verbliebene Zahl n 100 displaystyle n leq 100 nbsp namlich fur n 42 displaystyle n 42 nbsp ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelost 12 13 42 80538738812075974 3 80435758145817515 3 12602123297335631 3 displaystyle 42 80538738812075974 3 80435758145817515 3 12602123297335631 3 nbsp dd Da n 42 displaystyle n 42 nbsp das letzte ungeloste Problem bis n 100 displaystyle n leq 100 nbsp fur diese Art von Gleichung war wurde spasseshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman und Horspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt 14 bis Mitte 2020 wurden ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland drei weitere Falle gelost 165 385495523231271884 3 383344975542639445 3 98422560467622814 3 displaystyle 165 385495523231271884 3 383344975542639445 3 98422560467622814 3 nbsp 795 14219049725358227 3 14197965759741571 3 2337348783323923 3 displaystyle 795 14219049725358227 3 14197965759741571 3 2337348783323923 3 nbsp 906 74924259395610397 3 72054089679353378 3 35961979615356503 3 displaystyle 906 74924259395610397 3 72054089679353378 3 35961979615356503 3 nbsp dd Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch fur die folgenden acht Werte fur n 1000 displaystyle n leq 1000 nbsp unbekannt Stand 1 Juni 2020 12 114 390 579 627 633 732 921 displaystyle 114 390 579 627 633 732 921 nbsp und 975 displaystyle 975 nbsp dd Momentan ist also die Gleichung 114 x 3 y 3 z 3 displaystyle 114 x 3 y 3 z 3 nbsp diejenige mit dem kleinsten naturlichen n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp fur die noch keine ganzzahlige Losung bekannt ist Eigenschaften BearbeitenSei n x 3 y 3 z 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 nbsp ganzzahlig losbar Dann ist eine notwendige Bedingung fur n displaystyle n nbsp die folgende n 4 mod 9 displaystyle n not equiv pm 4 pmod 9 nbsp dd Ausfuhrlicher Beweis dieser Satzes Fur den Beweis benotigen wir zuerst folgenden Hilfssatz Fur jede Kubikzahl x 3 displaystyle x 3 nbsp mit x Z displaystyle x in mathbb Z nbsp gilt x 3 1 0 oder 1 mod 9 displaystyle x 3 equiv 1 0 text oder 1 pmod 9 nbsp dd Beweis dieses Hilfssatzes Wir testen alle neun moglichen Varianten x 0 8 mod 9 displaystyle x equiv 0 ldots 8 pmod 9 nbsp durch Fur x 0 mod 9 gilt x 3 0 3 0 0 mod 9 Fur x 1 mod 9 gilt x 3 1 3 1 1 mod 9 Fur x 2 mod 9 gilt x 3 2 3 8 1 mod 9 Fur x 3 mod 9 gilt x 3 3 3 27 0 mod 9 Fur x 4 mod 9 gilt x 3 4 3 64 1 mod 9 Fur x 5 mod 9 gilt x 3 5 3 125 1 mod 9 Fur x 6 mod 9 gilt x 3 6 3 216 0 mod 9 Fur x 7 mod 9 gilt x 3 7 3 343 1 mod 9 Fur x 8 mod 9 gilt x 3 8 3 512 1 mod 9 displaystyle begin array rlr text Fur x equiv 0 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 0 3 0 amp 0 pmod 9 text Fur x equiv 1 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 1 3 1 amp 1 pmod 9 text Fur x equiv 2 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 2 3 8 amp 1 pmod 9 text Fur x equiv 3 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 3 3 27 equiv amp 0 pmod 9 text Fur x equiv 4 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 4 3 64 equiv amp 1 pmod 9 text Fur x equiv 5 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 5 3 125 equiv amp 1 pmod 9 text Fur x equiv 6 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 6 3 216 equiv amp 0 pmod 9 text Fur x equiv 7 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 7 3 343 equiv amp 1 pmod 9 text Fur x equiv 8 pmod 9 text gilt amp x 3 equiv 8 3 512 equiv amp 1 pmod 9 end array nbsp dd Somit gilt fur alle x Z displaystyle x in mathbb Z nbsp dass nur x 3 1 0 oder 1 mod 9 displaystyle x 3 equiv 1 0 text oder 1 pmod 9 nbsp sein kann womit dieser Hilfssatz bewiesen ist dd Beweis des Hauptsatzes Nun muss bewiesen werden dass die Summe n displaystyle n nbsp dreier Kubikzahlen nie n 4 oder 5 mod 9 displaystyle n equiv 4 text oder 5 pmod 9 nbsp sein kann Dazu addieren wir drei Zahlen x 3 y 3 und z 3 displaystyle x 3 y 3 text und z 3 nbsp mit jeweils der Eigenschaftx 3 y 3 z 3 1 0 oder 1 mod 9 displaystyle x 3 y 3 z 3 equiv 1 0 text oder 1 pmod 9 nbsp dd Dabei sind fur n x 3 y 3 z 3 3 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 equiv 3 ldots 3 nbsp erreichbar damaximal drei positive Gewichte 1 displaystyle 1 nbsp ergibt dann 3 displaystyle 3 nbsp oder maximal drei negative Gewichte 1 displaystyle 1 nbsp ergibt dann 3 displaystyle 3 nbsp addiert werden konnen dd Da n 4 5 mod 9 displaystyle n equiv pm 4 equiv 5 pmod 9 nbsp nicht n 3 3 mod 9 displaystyle n equiv 3 ldots 3 pmod 9 nbsp erfullen sind sie durch keine der moglichen Summen erreichbar Somit ist immer n 4 mod 9 displaystyle n not equiv pm 4 pmod 9 nbsp was zu zeigen war Leider ist nicht bekannt ob diese Eigenschaft fur n displaystyle n nbsp auch hinreichend ist dann ware namlich das bis dato ungeloste Problem der Zahlentheorie dem dieser Artikel gewidmet ist gelost Es wurde jedoch von Heath Brown vermutet dass die diophantische Gleichung n x 3 y 3 z 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 nbsp fur alle n 4 mod 9 displaystyle n not equiv pm 4 pmod 9 nbsp unendlich viele ganzzahlige Losungen hat 15 Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen x displaystyle x nbsp und n displaystyle n nbsp wie zum Beispiel die folgenden 16 Sei n x 3 y 3 z 3 displaystyle n x 3 y 3 z 3 nbsp ganzzahlig losbar Bei gegebenem n displaystyle n nbsp gelten die folgenden Bedingungen fur x displaystyle x nbsp Wenn n 2 mod 7 displaystyle n equiv 2 pmod 7 nbsp ist muss gelten x 0 1 2 displaystyle x equiv 0 1 2 nbsp oder 4 mod 7 displaystyle 4 pmod 7 nbsp Wenn n 2 mod 7 displaystyle n equiv 2 pmod 7 nbsp ist muss gelten x 0 1 2 displaystyle x equiv 0 1 2 nbsp oder 4 mod 7 displaystyle 4 pmod 7 nbsp Wenn n 3 mod 7 displaystyle n equiv 3 pmod 7 nbsp ist muss gelten x 1 2 displaystyle x equiv 1 2 nbsp oder 4 mod 7 displaystyle 4 pmod 7 nbsp Wenn n 3 mod 7 displaystyle n equiv 3 pmod 7 nbsp ist muss gelten x 1 2 displaystyle x equiv 1 2 nbsp oder 4 mod 7 displaystyle 4 pmod 7 nbsp Wenn n 2 mod 9 displaystyle n equiv 2 pmod 9 nbsp ist muss gelten x y z 2 mod 3 displaystyle x y z not equiv 2 pmod 3 nbsp Wenn n 2 mod 9 displaystyle n equiv 2 pmod 9 nbsp ist muss gelten x y z 2 mod 3 displaystyle x y z not equiv 2 pmod 3 nbsp Wenn n 3 mod 9 displaystyle n equiv 3 pmod 9 nbsp ist muss gelten x y z 1 mod 3 displaystyle x y z equiv 1 pmod 3 nbsp Wenn n 3 mod 9 displaystyle n equiv 3 pmod 9 nbsp ist muss gelten x y z 1 mod 3 displaystyle x y z equiv 1 pmod 3 nbsp dd Jeweils kleinste Darstellungen fur n 0 bis 91 der OEIS entnehmen BearbeitenIm Folgenden wird beschrieben wie die kleinsten Losungen fur grossere n den Listen Folge A060464 in OEIS Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte fur n x y und z fur Werte von n fur die eine Losung existiert und bekannt ist Es ist jeweils die Losung mit x y z displaystyle x leq y leq z nbsp enthalten Folge A060464 in OEIS enthalt die n displaystyle n nbsp 0 0 0 1 0 2 0 3 0 6 0 7 0 8 0 9 10 11 12 15 16 17 18 19 20 21 24 25 26 27 28 29 30 33 34 35 36 37 38 39 42 43 44 Folge A060465 in OEIS enthalt die x displaystyle x nbsp 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 7 1 511 1 1 0 1 11 2901096694 1 0 0 0 1 283059965 2736111468807040 1 0 1 0 1 117367 12602123297335631 2 5 Folge A060466 in OEIS enthalt die y displaystyle y nbsp 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 10 2 1609 2 2 2 2 14 15550555555 1 1 0 1 1 2218888517 8778405442862239 2 2 2 3 3 134476 80435758145817515 2 7 Folge A060467 in OEIS enthalt die z displaystyle z nbsp 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 11 2 1626 2 3 3 3 16 15584139827 3 3 3 3 3 2220422932 8866128975287528 3 3 3 4 4 159380 80538738812075974 3 8 Beispiel fur n 24 dem 19 Eintrag Bearbeiten In obigen vier Listen wurde jeweils der 19 Eintrag fett markiert Die Werte lauten n 24 x 2901096694 y 15550555555 z 15584139827Die kleinstmogliche Darstellung fur n 24 lautet damit 24 2901096694 3 15550555555 3 15584139827 3 displaystyle 24 2901096694 3 15550555555 3 15584139827 3 nbsp Trivia BearbeitenFur x y z Q displaystyle x y z in mathbb Q nbsp existieren immer Losungen Fur eine gegebene Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp und einen frei wahlbaren Parameter b Z 0 displaystyle b mathbb Z setminus 0 nbsp erhalt man Losungen z B durch x 9 b 6 30 n 2 b 3 n 4 3 b 3 n 2 72 n 4 b 3 6 b n 3 b 3 n 2 2 displaystyle x frac 9b 6 30n 2 b 3 n 4 3b 3 n 2 72n 4 b 3 6bn 3b 3 n 2 2 nbsp y 30 n 2 b 3 9 b 6 n 4 6 b n 3 b 3 n 2 displaystyle y frac 30n 2 b 3 9b 6 n 4 6bn 3b 3 n 2 nbsp z 18 n b 5 6 n 3 b 2 3 b 3 n 2 2 displaystyle z frac 18nb 5 6n 3 b 2 3b 3 n 2 2 nbsp dd Sobald eine der Basen x y z displaystyle x y z nbsp R displaystyle in mathbb R nbsp sein darf sind beliebige Losungen direkt ohne Umwege konstruierbar x 3 y 3 z 3 n x n y 3 z 3 3 displaystyle x 3 y 3 z 3 n longrightarrow x sqrt 3 n y 3 z 3 nbsp n displaystyle n nbsp gegeben y z displaystyle y z nbsp beliebig dd Weblinks BearbeitenW Conn L N Vasersteĭn On Sums of Three Integral Cubes Contemporary Mathematics 166 Marz 1992 S 1 11 abgerufen am 19 September 2019 Roger Heath Brown Herman te Riele Walter M Lioen On solving the Diophantine equation x y z k on a vector computer Mathematics of Computation 61 203 Juli 1993 S 235 244 abgerufen am 19 September 2019 Kenji Koyama Tables of solutions of the Diophantine equation x y z n Mathematics of Computation 62 206 April 1994 S 941 942 abgerufen am 24 September 2019 Eric Rowland Koyama s table of integer solutions of n x y z Abgerufen am 24 September 2019 5417 Losungen von n 2 bis 999 davon 521 Losungen von n 2 bis 100 Erik Dofs Solution of x y z nxyz Acta Arithmetica LXXIII 3 1995 S 201 213 abgerufen am 19 September 2019 Kenji Koyama Yukio Tsuruoka Hiroshi Sekigawa On searching for solutions of the diophantine equation x y z n Mathematics of Computation 66 218 April 1997 S 841 851 abgerufen am 19 September 2019 Eric Rowland Known families of integer solutions of x y z n 28 Februar 2005 S 1 6 abgerufen am 19 September 2019 Michael Beck Eric Pine Wayne Tarrant Kin Yarbrough Jensen New Integer Representations as the Sum of three Cubes Mathematics of Computation 76 259 Juli 2007 S 1683 1690 abgerufen am 19 September 2019 Sander G Huisman Newer Sums of three Cubes 26 April 2016 S 1 3 abgerufen am 19 September 2019 Armen Avagyan Gurgen Dallakyan A new method in the problem of three cubes Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan 21 Februar 2018 S 1 23 abgerufen am 19 September 2019 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e f g h Armen Avagyan Gurgen Dallakyan A new method in the problem of three cubes Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan 21 Februar 2018 S 1 23 abgerufen am 18 September 2019 a b Eric S Rowland Known families of integer solutions of x 3 y 3 z 3 n psu edu PDF Mark McAndrew Insanely huge Sum Of Three Cubes fur 3 discovered After 66 year search Twitter 16 September 2018 abgerufen am 18 September 2019 Hisanori Mishima Solutions of n x y z 0 lt n lt 99 Abgerufen am 18 September 2019 Tito Piezas III Integer solutions to the equation a b c 30 Abgerufen am 18 September 2019 a b Sander G Huisman Newer Sums of three Cubes 26 April 2016 S 1 3 abgerufen am 19 September 2019 W Conn L N Vasersteĭn On Sums of Three Integral Cubes Contemporary Mathematics 166 Marz 1992 S 1 11 abgerufen am 19 September 2019 Eric Rowland Koyama s table of integer solutions of n x y z Abgerufen am 24 September 2019 5417 Losungen von n 2 bis 999 davon 521 Losungen von n 2 bis 100 D J Bernstein threecubes Abgerufen am 29 September 2019 weitere Losungen Andrew R Booker Cracking the problem with 33 University of Bristol 2019 S 1 6 abgerufen am 18 September 2019 Lance Fortnow Bill Gasarch x y z 33 has a solution in Z And its big Computational Complexity org 28 April 2019 abgerufen am 18 September 2019 a b Robin Houston 42 is the answer to the question what is 80538738812075974 80435758145817515 12602123297335631 The Aperiodical 6 September 2019 abgerufen am 18 September 2019 Michelle Starr Mathematicians Solve 42 Problem With Planetary Supercomputer science alert 9 September 2019 abgerufen am 18 September 2019 Mathematiker knacken Ratsel um die Zahl 42 D R Heath Brown The Density of Zeros of formsfor which weak Approximation fails Band 59 Nr 200 mathematics of computation Oktober 1992 S 613 623 ams org PDF Kenji Koyama Yukio Tsuruoka Hiroshi Sekigawa On searching for solutions of the diophantine equation x y z n Property 1 und 2 Mathematics of Computation 66 218 April 1997 S 843 844 abgerufen am 28 September 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Summe von drei Kubikzahlen amp oldid 238702088
