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Zentrierte Quadratzahl Eine zentrierte Quadratzahl ist eine Zahl die die Summe zweier aufeinander folgender Quadratzahle

Zentrierte Quadratzahl

Eine zentrierte Quadratzahl ist eine Zahl, die die Summe zweier aufeinander folgender Quadratzahlen ist. Beispielsweise ist eine zentrierte Quadratzahl. Die ersten zentrierten Quadratzahlen sind

25 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Quadrate

Eine zentrierte Quadratzahl beziffert eine Anzahl von Steinen, so dass ein Stein in der Mitte so von weiteren Steinen umgeben ist, dass diese ein Quadrat bilden.

1 Stein 5 Steine 13 Steine 25 Steine

Die n-te zentrierte Quadratzahl ZQₙ berechnet sich nach der Formel

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen Bearbeiten

Dreieckszahlen Bearbeiten

Die -te zentrierte Quadratzahl ist eine ungerade Zahl, die um eins größer ist als das Vierfache der -ten Dreieckszahl.

Jede -te zentrierte Quadratzahl lässt sich auch als Summe von vier Dreieckszahlen mit drei aufeinander folgenden Indizes erzeugen:

Außer der 1 ist keine zentrierte Quadratzahl auch eine Dreieckszahl.

Quadratzahlen Bearbeiten

Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinander folgender dezentraler Quadratzahlen. Dies wird offensichtlich, wenn man die Berechnungsformel für die zentrierten Quadratzahlen umstellt.

Auch an dem einer zentrierten Quadratzahl zugrundeliegenden Muster lässt sich dieser Sachverhalt erkennen:

Einige zentrierte Quadratzahlen sind auch Quadratzahlen, wie zum Beispiel 25, 841, 28561 und 970225. Diejenigen Zahlen, welche sowohl zentrierte Quadratzahlen als auch dezentrale Quadratzahlen zugleich sind, entstehen auf folgende Weise:

Die abgebildete Formel gilt für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ. Dabei steht Pₙ für die Zahl in der Pell-Folge an n-ter Stelle.

Vierte Potenzen Bearbeiten

Das Produkt zweier aufeinander folgender zentrierter Quadratzahlen ergibt immer den Nachfolger vom Vierfachen einer vierten Potenz:

Unendliche Summen Bearbeiten

Die unendliche Summe von den Kehrwerten der zentrierten Quadratzahlen ist elementar darstellbar:

Ebenso können die folgenden unendlichen Summenausdrücke elementar dargestellt werden:

Primzahlen und teilbare Zahlen Bearbeiten

Im Vergleich zu den Quadratzahlen, die stets zusammengesetzt sind, gibt es in der Folge der zentrierten Quadratzahlen auch einige Primzahlen. Die ersten primen zentrierten Quadratzahlen lauten wie folgt:

Denn alle Teiler von komplett allen zentrierten Quadratzahlen sind Nachfolger von Vielfachen von Vier. Deswegen kann jede teilbare zentrierte Quadratzahl auf mindestens zwei verschiedene Weisen als Summe zweier dezentraler Quadratzahlen dargestellt werden. Diese Tatsache basiert auf der Brahmagupta-Identität und auf dem Zwei-Quadrate-Satz von Pierre de Fermat.

Abwandlungen und Verallgemeinerungen Bearbeiten

Im Folgenden sind die wichtigsten abgewandelten Zahlenfolgen aufgelistet:

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine zentrierte Quadratzahl ist eine Zahl die die Summe zweier aufeinander folgender Quadratzahlen ist Beispielsweise ist 13 4 9 2 2 3 2 displaystyle 13 4 9 2 2 3 2 eine zentrierte Quadratzahl Die ersten zentrierten Quadratzahlen sind25 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Quadrate 1 5 13 25 41 61 85 113 145 181 221 Folge A001844 in OEIS Eine zentrierte Quadratzahl beziffert eine Anzahl von Steinen so dass ein Stein in der Mitte so von weiteren Steinen umgeben ist dass diese ein Quadrat bilden 1 Stein 5 Steine 13 Steine 25 SteineDie n te zentrierte Quadratzahl ZQₙ berechnet sich nach der Formel Z Q n 2 n 2 2 n 1 displaystyle ZQ n 2n 2 2n 1 Inhaltsverzeichnis 1 Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen 1 1 Dreieckszahlen 1 2 Quadratzahlen 1 3 Vierte Potenzen 2 Unendliche Summen 3 Primzahlen und teilbare Zahlen 4 Abwandlungen und Verallgemeinerungen 5 Siehe auch 6 WeblinksBeziehungen zu anderen figurierten Zahlen BearbeitenDreieckszahlen Bearbeiten Die n displaystyle n nbsp te zentrierte Quadratzahl ist eine ungerade Zahl die um eins grosser ist als das Vierfache der n 1 displaystyle n 1 nbsp ten Dreieckszahl Z Q n 1 4 D n 1 1 4 n n 1 2 displaystyle ZQ n 1 4 Delta n 1 1 4 cdot frac n n 1 2 nbsp nbsp Jede n displaystyle n nbsp te zentrierte Quadratzahl lasst sich auch als Summe von vier Dreieckszahlen mit drei aufeinander folgenden Indizes erzeugen Z Q n D n 2 2 D n 1 D n n 2 n 1 2 2 n 1 n 2 n n 1 2 displaystyle ZQ n Delta n 2 2 Delta n 1 Delta n frac n 2 n 1 2 2 cdot frac n 1 n 2 frac n n 1 2 nbsp nbsp Ausser der 1 ist keine zentrierte Quadratzahl auch eine Dreieckszahl Quadratzahlen Bearbeiten Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinander folgender dezentraler Quadratzahlen Dies wird offensichtlich wenn man die Berechnungsformel fur die zentrierten Quadratzahlen umstellt 2 n 2 2 n 1 n 1 2 n 2 displaystyle 2n 2 2n 1 n 1 2 n 2 nbsp Auch an dem einer zentrierten Quadratzahl zugrundeliegenden Muster lasst sich dieser Sachverhalt erkennen nbsp Einige zentrierte Quadratzahlen sind auch Quadratzahlen wie zum Beispiel 25 841 28561 und 970225 Diejenigen Zahlen welche sowohl zentrierte Quadratzahlen als auch dezentrale Quadratzahlen zugleich sind entstehen auf folgende Weise P 2 n 1 2 Z Q 1 2 P 2 n 1 1 2 P 2 n 2 1 2 1 2 cosh 2 n 1 arsinh 1 2 displaystyle P 2n 1 2 ZQ tfrac 1 2 P 2n 1 tfrac 1 2 P 2n 2 tfrac 1 2 tfrac 1 2 cosh 2n 1 operatorname arsinh 1 2 nbsp Die abgebildete Formel gilt fur alle naturlichen Zahlen n ℕ Dabei steht Pₙ fur die Zahl in der Pell Folge an n ter Stelle Vierte Potenzen Bearbeiten Das Produkt zweier aufeinander folgender zentrierter Quadratzahlen ergibt immer den Nachfolger vom Vierfachen einer vierten Potenz Z Q n Z Q n 1 2 n 2 2 n 1 2 n 1 2 2 n 1 1 displaystyle ZQ n times ZQ n 1 2n 2 2n 1 2 n 1 2 2 n 1 1 nbsp 2 n 2 2 n 1 2 n 2 2 n 1 4 n 4 1 displaystyle 2n 2 2n 1 2n 2 2n 1 4n 4 1 nbsp Unendliche Summen BearbeitenDie unendliche Summe von den Kehrwerten der zentrierten Quadratzahlen ist elementar darstellbar n 1 1 Z Q n n 1 1 2 n 2 2 n 1 p 2 tanh p 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 ZQ n sum n 1 infty frac 1 2n 2 2n 1 frac pi 2 tanh bigl frac pi 2 bigr nbsp Ebenso konnen die folgenden unendlichen Summenausdrucke elementar dargestellt werden n 1 1 Z Q n 2 p 2 tanh p 2 p 2 4 sech p 2 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 ZQ n 2 frac pi 2 tanh bigl frac pi 2 bigr frac pi 2 4 operatorname sech bigl frac pi 2 bigr 2 nbsp n 1 1 Z Q n 3 3 p 4 tanh p 2 3 p 2 8 sech p 2 2 p 3 8 tanh p 2 sech p 2 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 ZQ n 3 frac 3 pi 4 tanh bigl frac pi 2 bigr frac 3 pi 2 8 operatorname sech bigl frac pi 2 bigr 2 frac pi 3 8 tanh bigl frac pi 2 bigr operatorname sech bigl frac pi 2 bigr 2 nbsp Primzahlen und teilbare Zahlen BearbeitenIm Vergleich zu den Quadratzahlen die stets zusammengesetzt sind gibt es in der Folge der zentrierten Quadratzahlen auch einige Primzahlen Die ersten primen zentrierten Quadratzahlen lauten wie folgt 5 13 41 61 113 181 313 421 613 761 1013 Folge A027862 in OEIS Denn alle Teiler von komplett allen zentrierten Quadratzahlen sind Nachfolger von Vielfachen von Vier Deswegen kann jede teilbare zentrierte Quadratzahl auf mindestens zwei verschiedene Weisen als Summe zweier dezentraler Quadratzahlen dargestellt werden Diese Tatsache basiert auf der Brahmagupta Identitat und auf dem Zwei Quadrate Satz von Pierre de Fermat Abwandlungen und Verallgemeinerungen BearbeitenIm Folgenden sind die wichtigsten abgewandelten Zahlenfolgen aufgelistet Die zentrierten Dreiecks zentrierten Funfeck und zentrierten Sechseckszahlen Die dezentralen Quadrat und Sechseckszahlen bzw die Polygonalzahlen Oktaederzahlen sind die Summen der ersten zentrierten Quadratzahlen sh Figurierte Zahl Siehe auch BearbeitenFigurierte Zahl Polygonalzahl und Zentrierte PolygonalzahlWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Zentrierte Quadratzahl In MathWorld englisch https oeis org A007204 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentrierte Quadratzahl amp oldid 236658223