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Brahmagupta Identität Die auch als Brahmagupta Fibonacci Identität oder Fibonacci Identität bekannt ist eine Identität i

Brahmagupta-Identität

Die Brahmagupta-Identität, auch als Brahmagupta–Fibonacci-Identität oder Fibonacci-Identität bekannt, ist eine Identität in der elementaren Algebra. Trotz ihres Namens geht ihre erste bekannte Verwendung nicht auf Brahmagupta oder Fibonacci zurück, sondern findet sich in einem Werk des Diophantos von Alexandria (Arithmetica (III, 19)).

Identitätsgleichung Bearbeiten

Die Identität beschreibt, wie sich das Produkt von zwei Summen, bestehend aus je zwei Quadratzahlen, wieder als Summe von zwei anderen Quadratzahlen darstellen lässt.

Ein Zahlenbeispiel:

Als direkte Folgerung aus der Identität ergibt sich, dass die Menge der Summen zweier Quadratzahlen bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist.

Brahmagupta selbst hat ein allgemeineres Ergebnis bewiesen und benutzt, das äquivalent zu

ist. Als Folgerung ergibt sich, dass die Menge der Zahlen von der Form bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist.

Historisches Bearbeiten

Die letztere Identität geht auf den indischen Mathematiker und Astronomen Brahmagupta (598–668) zurück und findet sich in seinem Werk Brahmasphutasiddhanta aus dem Jahre 628. Dieses wurde zunächst von Muhammad al-Fazari aus dem Sanskrit ins Arabische übersetzt; um 1128 entstand dann eine Übersetzung ins Lateinische aus der arabischen Version. Später wurde die (frühere) Diophantos-Identität auch in Fibonaccis Liber Quadratorum von 1225 beschrieben.

Erweiterungen Bearbeiten

Brahmagupta–Fibonacci-Identität ist eine Zwei-Quadrate-Identität, die sich auf vier, acht, sechzehn und mehr Quadrate erweitern lässt:

Pfister bewies 1967, dass prinzipiell für alle Potenzen von Zwei (2ⁿ) Identitäten gefunden werden können.

Die Zwei-Quadrate-Identität steht in Verbindung mit den Komplexen Zahlen, die Vier-Quadrate-Identität mit den Quaternionen, die Acht-Quadrate-Identität mit den Oktonionen, siehe Quadrate-Satz.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, S. 306. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. (englisch)
  2. Eric W. Weisstein: Fibonacci Identity. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Euler Four-Square Identity. In: MathWorld (englisch).
  4. ↑ Eric W. Weisstein: Degen's Eight-Square Identity. In: MathWorld (englisch).
  5. Tito Piezas III: (Memento vom 17. September 2016 im Internet Archive)

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Brahmagupta Identitat auch als Brahmagupta Fibonacci Identitat oder Fibonacci Identitat bekannt ist eine Identitat in der elementaren Algebra Trotz ihres Namens geht ihre erste bekannte Verwendung nicht auf Brahmagupta oder Fibonacci zuruck sondern findet sich in einem Werk des Diophantos von Alexandria Arithmetica III 19 Inhaltsverzeichnis 1 Identitatsgleichung 2 Historisches 3 Erweiterungen 4 Einzelnachweise 5 WeblinksIdentitatsgleichung BearbeitenDie Identitat beschreibt wie sich das Produkt von zwei Summen bestehend aus je zwei Quadratzahlen wieder als Summe von zwei anderen Quadratzahlen darstellen lasst a 2 b 2 c 2 d 2 displaystyle left a 2 b 2 right left c 2 d 2 right nbsp a c b d 2 a d b c 2 displaystyle left ac bd right 2 left ad bc right 2 nbsp a c b d 2 a d b c 2 displaystyle left ac bd right 2 left ad bc right 2 nbsp Ein Zahlenbeispiel 1 2 4 2 2 2 7 2 30 2 1 2 26 2 15 2 displaystyle 1 2 4 2 2 2 7 2 30 2 1 2 26 2 15 2 nbsp Als direkte Folgerung aus der Identitat ergibt sich dass die Menge der Summen zweier Quadratzahlen bezuglich der Multiplikation abgeschlossen ist Brahmagupta selbst hat ein allgemeineres Ergebnis bewiesen und benutzt das aquivalent zu a 2 n b 2 c 2 n d 2 a c n b d 2 n a d b c 2 a c n b d 2 n a d b c 2 displaystyle begin aligned left a 2 nb 2 right left c 2 nd 2 right amp left ac nbd right 2 n left ad bc right 2 amp left ac nbd right 2 n left ad bc right 2 end aligned nbsp ist Als Folgerung ergibt sich dass die Menge der Zahlen von der Form x 2 n y 2 displaystyle x 2 ny 2 nbsp bezuglich der Multiplikation abgeschlossen ist Historisches BearbeitenDie letztere Identitat geht auf den indischen Mathematiker und Astronomen Brahmagupta 598 668 zuruck und findet sich in seinem Werk Brahmasphutasiddhanta aus dem Jahre 628 Dieses wurde zunachst von Muhammad al Fazari aus dem Sanskrit ins Arabische ubersetzt um 1128 entstand dann eine Ubersetzung ins Lateinische aus der arabischen Version 1 Spater wurde die fruhere Diophantos Identitat auch in Fibonaccis Liber Quadratorum von 1225 beschrieben Erweiterungen BearbeitenBrahmagupta Fibonacci Identitat ist eine Zwei Quadrate Identitat die sich auf vier acht sechzehn und mehr Quadrate erweitern lasst Brahmagupta Fibonacci Identitat 2 x 1 2 x 2 2 y 1 2 y 2 2 z 1 2 z 2 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 cdot y 1 2 y 2 2 z 1 2 z 2 2 nbsp Eulers Vier Quadrate Identitat 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 4 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 z 4 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 cdot y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 4 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 z 4 2 nbsp Degens Acht Quadrate Identitat 4 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 8 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 8 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 z 8 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 x 3 2 ldots x 8 2 cdot y 1 2 y 2 2 y 3 2 ldots y 8 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 ldots z 8 2 nbsp Pfisters Sechzehn Quadrate Identitat 5 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 16 2 y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 16 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 z 16 2 displaystyle x 1 2 x 2 2 x 3 2 ldots x 16 2 cdot y 1 2 y 2 2 y 3 2 ldots y 16 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 ldots z 16 2 nbsp Pfister bewies 1967 dass prinzipiell fur alle Potenzen von Zwei 2ⁿ Identitaten gefunden werden konnen 4 Die Zwei Quadrate Identitat steht in Verbindung mit den Komplexen Zahlen die Vier Quadrate Identitat mit den Quaternionen die Acht Quadrate Identitat mit den Oktonionen siehe Quadrate Satz Einzelnachweise Bearbeiten George G Joseph 2000 The Crest of the Peacock S 306 Princeton University Press ISBN 0 691 00659 8 englisch Eric W Weisstein Fibonacci Identity In MathWorld englisch Eric W Weisstein Euler Four Square Identity In MathWorld englisch a b Eric W Weisstein Degen s Eight Square Identity In MathWorld englisch Tito Piezas III Pfister s 16 Square Identity Memento vom 17 September 2016 im Internet Archive Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Fibonacci Identity In MathWorld englisch Brahmagupta Identitat bei PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Brahmagupta Identitat amp oldid 239534490