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Differenzenfolge Die früher Differenzenreihe einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der Mathematik durch Bilden der Dif

Differenzenfolge

Die Differenzenfolge (früher: Differenzenreihe) einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der Mathematik durch Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Folgengliedern.

Berechnung Bearbeiten

In Formeln ausgedrückt: Ist eine gegebene Folge in einem geeigneten Rechenbereich, in dem man Differenzen bilden kann, so ist durch

die ihre Differenzenfolge definiert. Ein Beispiel für wiederholtes Bilden der Differenzenfolge:

Alle weiteren Differenzenfolgen sind ebenfalls konstant .

Eigenschaften Bearbeiten

Bildet man von einer Folge, die durch ein Polynom angegeben werden kann, wiederholt die Differenzenfolge, sind irgendwann alle weiteren Differenzenfolgen Nullfolgen.

Genauer gesagt: Die Differenzenfolge eines Polynoms -ten Grades ist vom Grad .

Nach Newton lässt sich jede Folge auch mit ihren Differenzenfolgen (genauer gesagt, mit jeweils dem ersten Folgeglied aller Differenzenfolgen) darstellen:

mit den Binomialkoeffizienten . Bei Polynomfunktionen ist dies keine unendliche Reihe, da nur für endlich viele die Startwerte der Differenzenfolgen ungleich sind.

Nicht für alle Folgen sind irgendwann alle Differenzenfolgen Nullfolgen: Betrachten wir die geometrische Folge so erhalten wir

Alle Folgen sind also gleich.

Anwendungen Bearbeiten

Differenzenfolgen sind ein wichtiges Hilfsmittel zum Lösen so mancher Denksportaufgabe des Typs „Wie lautet das nächste Glied der Folge …?“. Benutzt werden sie auch in Intelligenztests.

Mit Hilfe der Differenzenfolge kann man entscheiden, ob es sich bei einer gegebenen Folge um eine arithmetische Folge handelt. Wiederholtes Bilden der Differenzenfolge erlaubt die Charakterisierung arithmetischer Folgen höherer Ordnung, deshalb sind Differenzenfolgen auch bei der Untersuchung figurierter Zahlen, z. B. Polygonalzahlen von Interesse.

In der mathematischen Forschung ist die Differenzenfolge der Folge der Primzahlen Gegenstand zahlreicher Untersuchungen. Terence Tao und Ben Green bewiesen 2004, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss (Satz von Green-Tao). Die bislang (2010) längste bekannte dieser Folgen besteht aus 26 Elementen (AP-26).

Literatur Bearbeiten

  • John H. Conway, Richard Kenneth Guy: Zahlenzauber. Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen, Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-5244-8. Besser ist hier die englische Originalausgabe: The Book of Numbers, Springer, Berlin, 2nd corr. Printing (März 1998), ISBN 978-0-387-97993-9

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Differenzenfolge fruher Differenzenreihe einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der Mathematik durch Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Folgengliedern Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung 2 Eigenschaften 3 Anwendungen 4 Literatur 5 WeblinksBerechnung BearbeitenIn Formeln ausgedruckt Ist a n n 0 displaystyle a n n geq 0 nbsp eine gegebene Folge in einem geeigneten Rechenbereich in dem man Differenzen bilden kann so ist durch d n a n 1 a n n 0 displaystyle d n a n 1 a n qquad n geq 0 nbsp die ihre Differenzenfolge definiert Ein Beispiel fur wiederholtes Bilden der Differenzenfolge a n n 0 4 7 11 18 31 54 92 151 mit a n 96 70 n n 2 2 n 3 n 4 24 d n n 0 3 4 7 13 23 38 59 mit d n 18 2 n 3 n 2 n 3 6 d n 2 n 0 1 3 6 10 15 21 mit d n 2 2 3 n n 2 2 d n 3 n 0 2 3 4 5 6 mit d n 3 n 2 d n 4 n 0 1 1 1 1 mit d n 4 1 d n 5 n 0 0 0 0 mit d n 5 0 displaystyle begin aligned a n n geq 0 amp 4 7 11 18 31 54 92 151 ldots amp quad amp text mit a n frac 96 70n n 2 2n 3 n 4 24 d n n geq 0 amp 3 4 7 13 23 38 59 ldots amp quad amp text mit d n frac 18 2n 3n 2 n 3 6 d n 2 n geq 0 amp 1 3 6 10 15 21 ldots amp quad amp text mit d n 2 frac 2 3n n 2 2 d n 3 n geq 0 amp 2 3 4 5 6 ldots amp quad amp text mit d n 3 n 2 d n 4 n geq 0 amp 1 1 1 1 ldots amp quad amp text mit d n 4 1 d n 5 n geq 0 amp 0 0 0 ldots amp quad amp text mit d n 5 0 end aligned nbsp Alle weiteren Differenzenfolgen sind ebenfalls konstant 0 displaystyle 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenBildet man von einer Folge die durch ein Polynom angegeben werden kann wiederholt die Differenzenfolge sind irgendwann alle weiteren Differenzenfolgen Nullfolgen Genauer gesagt Die Differenzenfolge eines Polynoms k displaystyle k nbsp ten Grades ist vom Grad k 1 displaystyle k 1 nbsp Nach Newton lasst sich jede Folge auch mit ihren Differenzenfolgen genauer gesagt mit jeweils dem ersten Folgeglied aller Differenzenfolgen darstellen a n a 0 n d 0 n 2 d 0 2 n 3 d 0 3 n 4 d 0 4 n n d 0 n a 0 k 1 n n k d 0 k displaystyle a n a 0 n cdot d 0 n choose 2 d 0 2 n choose 3 d 0 3 n choose 4 d 0 4 cdots n choose n d 0 n a 0 sum k 1 n n choose k d 0 k nbsp mit den Binomialkoeffizienten n k displaystyle textstyle n choose k nbsp Bei Polynomfunktionen ist dies keine unendliche Reihe da nur fur endlich viele k displaystyle k nbsp die Startwerte der Differenzenfolgen d 0 k displaystyle d 0 k nbsp ungleich 0 displaystyle 0 nbsp sind Nicht fur alle Folgen sind irgendwann alle Differenzenfolgen Nullfolgen Betrachten wir die geometrische Folge a n 2 n displaystyle a n 2 n nbsp so erhalten wir a n 1 2 4 8 16 32 displaystyle a n 1 2 4 8 16 32 ldots nbsp d n 1 2 4 8 16 displaystyle d n 1 2 4 8 16 ldots nbsp d n 2 1 2 4 8 displaystyle d n 2 1 2 4 8 ldots nbsp displaystyle ldots nbsp Alle Folgen sind also gleich Anwendungen BearbeitenDifferenzenfolgen sind ein wichtiges Hilfsmittel zum Losen so mancher Denksportaufgabe des Typs Wie lautet das nachste Glied der Folge Benutzt werden sie auch in Intelligenztests Mit Hilfe der Differenzenfolge kann man entscheiden ob es sich bei einer gegebenen Folge um eine arithmetische Folge handelt Wiederholtes Bilden der Differenzenfolge erlaubt die Charakterisierung arithmetischer Folgen hoherer Ordnung deshalb sind Differenzenfolgen auch bei der Untersuchung figurierter Zahlen z B Polygonalzahlen von Interesse In der mathematischen Forschung ist die Differenzenfolge der Folge der Primzahlen Gegenstand zahlreicher Untersuchungen Terence Tao und Ben Green bewiesen 2004 dass es beliebig lange arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss Satz von Green Tao Die bislang 2010 langste bekannte dieser Folgen besteht aus 26 Elementen AP 26 Literatur BearbeitenJohn H Conway Richard Kenneth Guy Zahlenzauber Von naturlichen imaginaren und anderen Zahlen Birkhauser Basel 2002 ISBN 978 3 7643 5244 8 Besser ist hier die englische Originalausgabe The Book of Numbers Springer Berlin 2nd corr Printing Marz 1998 ISBN 978 0 387 97993 9Weblinks BearbeitenDifferenzen und Summenfolgen bei Jutta Gut mit Beispielen und Zusammenhangen zu Infinitesimalrechnung und Summenfolgen Eric W Weisstein Prime Arithmetic Progression In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differenzenfolge amp oldid 212600378