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Geometrische Folge Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine regelmäßige Zahlenfolge mit der Eigenschaft dass d

Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine regelmäßige Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Namensherkunft Bearbeiten

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder.

Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Das -te Glied einer geometrischen Folge mit dem Quotienten berechnet sich aus der Formel

wenn das Anfangsglied mit bezeichnet wird, oder

wenn das Anfangsglied mit bezeichnet wird.

Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende rekursive Formel:

Bemerkung: Jede geometrische Folge lässt sich mit einer solchen Funktionsvorschrift beschreiben, aber eine solche Funktionsvorschrift beschreibt nicht immer eine geometrische Folge. So kann das Anfangsglied einer geometrischen Folge nicht 0 sein, denn wegen des Verbots der Division durch 0 existiert der Quotient der ersten beiden Folgenglieder nicht für . Somit sind die endlichen (aus zwei Gliedern bestehenden) Folgen mit die einzigen geometrischen Folgen, in denen die Zahl als Folgenglied auftritt oder für die die Zahl gleich ist. Insbesondere gibt es keine unendlichen geometrischen Folgen mit oder mit .

Zahlenbeispiele Bearbeiten

Beispiel 1 Bearbeiten

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten sind:

Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich:

Beispiel 2 Bearbeiten

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied und dem Quotienten sind:

Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt, ergibt sich:

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt aus der Messgröße zum Zeitpunkt durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor ergibt. Beispiele:

Zinseszins Bearbeiten

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis . Die Zahl heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

  • nach einem Jahr ein Kapital von
  • nach zwei Jahren ein Kapital von
  • nach drei Jahren ein Kapital

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung Bearbeiten

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

wobei beispielsweise die Frequenz des Kammertons und die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand zum „Ursprungston“ .

Der Wachstumsfaktor ist also .

Konvergenz geometrischer Folgen Bearbeiten

Eine unendliche geometrische Folge ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Betrag des reellen (oder komplexen) Quotienten benachbarter Folgegelieder kleiner als 1 ist.


A. Behauptung: ist mindestens dann eine Nullfolge, wenn ist.

Beweis: Sei vorgegeben. Behauptet ist die Existenz eines mit der Eigenschaft, dass für alle gilt: .

Wegen und existiert

Hierbei ist der natürliche Logarithmus.

Wegen kehrt sich für alle nach Multiplikation mit das Ungleichheitszeichen um:

für ist ; Exponenzieren (zur Basis ) verändert das Ungleichheitszeichen nicht:

wegen bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverändert; mit :


B. Behauptung: ist höchstens dann eine Nullfolge, wenn ist. ist keine Nullfolge, wenn ist.

Beweis: ist (bereits) dann keine Nullfolge, wenn ein so wählbar ist, dass für alle gilt: .

Multiplikation der Bedingung mit ergibt (wegen ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens):

Ein mit sei gewählt. Mit (2) gilt dann auch für alle : , q. e. d.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Quellenverzeichnis Bearbeiten

  1. Folgen und Reihen. Abgerufen am 14. März 2010.
  2. Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine regelmassige Zahlenfolge mit der Eigenschaft dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist Inhaltsverzeichnis 1 Namensherkunft 2 Mathematische Formulierung 3 Zahlenbeispiele 3 1 Beispiel 1 3 2 Beispiel 2 4 Anwendungsbeispiele 4 1 Zinseszins 4 2 Gleichstufige Stimmung 5 Konvergenz geometrischer Folgen 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 QuellenverzeichnisNamensherkunft BearbeitenDie Bezeichnung geometrische Folge leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab Jedes Glied einer geometrischen Folge ist namlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe Mathematische Formulierung BearbeitenDas i displaystyle i nbsp te Glied a i displaystyle a i nbsp einer geometrischen Folge mit dem Quotienten q displaystyle q nbsp berechnet sich aus der Formel 1 2 a i a 1 q i 1 displaystyle a i a 1 cdot q i 1 nbsp wenn das Anfangsglied mit a 1 displaystyle a 1 nbsp bezeichnet wird oder a i a 0 q i displaystyle a i a 0 cdot q i nbsp wenn das Anfangsglied mit a 0 displaystyle a 0 nbsp bezeichnet wird Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen dazu dient die folgende rekursive Formel a i 1 a i q displaystyle a i 1 a i cdot q nbsp Bemerkung Jede geometrische Folge lasst sich mit einer solchen Funktionsvorschrift beschreiben aber eine solche Funktionsvorschrift beschreibt nicht immer eine geometrische Folge So kann das Anfangsglied a 0 displaystyle a 0 nbsp einer geometrischen Folge nicht 0 sein denn wegen des Verbots der Division durch 0 existiert der Quotient a 1 a 0 displaystyle tfrac a 1 a 0 nbsp der ersten beiden Folgenglieder nicht fur a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp Somit sind die endlichen aus zwei Gliedern bestehenden Folgen a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp mit a 0 0 displaystyle a 0 neq 0 nbsp die einzigen geometrischen Folgen in denen die Zahl 0 displaystyle 0 nbsp als Folgenglied auftritt oder fur die die Zahl q displaystyle q nbsp gleich 0 displaystyle 0 nbsp ist Insbesondere gibt es keine unendlichen geometrischen Folgen mit a i 0 displaystyle a i 0 nbsp oder mit q 0 displaystyle q 0 nbsp Zahlenbeispiele BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a 0 5 displaystyle a 0 5 nbsp und dem Quotienten q 3 displaystyle q 3 nbsp sind a 0 5 a 1 15 a 2 45 a 3 135 displaystyle a 0 5 a 1 15 a 2 45 a 3 135 dotsc nbsp Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich 5 15 45 135 405 1215 3645 10935 32805 displaystyle 5 15 45 135 405 1215 3645 10935 32805 dotsc nbsp Beispiel 2 Bearbeiten Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a 0 1 displaystyle a 0 1 nbsp und dem Quotienten q 1 2 displaystyle q tfrac 1 2 nbsp sind a 0 1 a 1 1 2 a 2 1 4 a 3 1 8 displaystyle a 0 1 a 1 frac 1 2 a 2 frac 1 4 a 3 frac 1 8 dotsc nbsp Wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 8 frac 1 16 frac 1 32 frac 1 64 frac 1 128 frac 1 256 dotsc nbsp Anwendungsbeispiele BearbeitenDie geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse bei denen sich die Messgrosse zum Zeitpunkt n 1 displaystyle n 1 nbsp aus der Messgrosse zum Zeitpunkt n displaystyle n nbsp durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q displaystyle q nbsp ergibt Beispiele Zinseszins Bearbeiten Hauptartikel Zinseszins Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1 05 Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhaltnis q 1 05 displaystyle q 1 05 nbsp Die Zahl q displaystyle q nbsp heisst hier Zinsfaktor Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich nach einem Jahr ein Kapital von1000 Euro 1 05 1050 Euro displaystyle 1000 text Euro cdot 1 05 1050 text Euro nbsp nach zwei Jahren ein Kapital von1000 Euro 1 05 2 1102 50 Euro displaystyle 1000 text Euro cdot 1 05 2 1102 50 text Euro nbsp nach drei Jahren ein Kapital1000 Euro 1 05 3 1157 63 Euro displaystyle 1000 text Euro cdot 1 05 3 1157 63 text Euro nbsp und so weiter Gleichstufige Stimmung Bearbeiten Hauptartikel Gleichstufige Stimmung Es gibt mehrere Arten wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann Eine davon ist die gleichstufige Stimmung Bei ihr ist das Frequenzverhaltnis zwischen zwei benachbarten Tonen immer konstant Bei zwolf Tonen in der Oktave lautet die Folge hier f i a 0 2 12 i displaystyle f i a 0 cdot left sqrt 12 2 right i nbsp wobei a 0 displaystyle a 0 nbsp beispielsweise die Frequenz des Kammertons und i displaystyle i nbsp die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist f i displaystyle f i nbsp ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand i displaystyle i nbsp zum Ursprungston a 0 displaystyle a 0 nbsp Der Wachstumsfaktor ist also q 2 12 displaystyle q sqrt 12 2 nbsp Konvergenz geometrischer Folgen BearbeitenEine unendliche geometrische Folge a i displaystyle a i nbsp ist genau dann eine Nullfolge wenn der Betrag q displaystyle q nbsp des reellen oder komplexen Quotienten q a i 1 a i displaystyle q tfrac a i 1 a i nbsp benachbarter Folgegelieder kleiner als 1 ist A Behauptung a i displaystyle a i nbsp ist mindestens dann eine Nullfolge wenn q lt 1 displaystyle q lt 1 nbsp ist Beweis Sei e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp vorgegeben Behauptet ist die Existenz eines i 0 displaystyle i 0 nbsp mit der Eigenschaft dass fur alle i gt i 0 displaystyle i gt i 0 nbsp gilt a i lt e displaystyle a i lt varepsilon nbsp 1 displaystyle mathbf 1 nbsp Wegen 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp und e a 0 gt 0 displaystyle tfrac varepsilon a 0 gt 0 nbsp existiert i 0 ln e a 0 ln q displaystyle i 0 frac ln left frac varepsilon a 0 right ln q nbsp Hierbei ist ln displaystyle ln nbsp der naturliche Logarithmus Wegen q lt 1 ln q lt 0 displaystyle q lt 1 Rightarrow ln q lt 0 nbsp kehrt sich fur alle i gt i 0 displaystyle i gt i 0 nbsp nach Multiplikation mit ln q displaystyle ln q nbsp das Ungleichheitszeichen um i ln q lt i 0 ln q ln e a 0 displaystyle i cdot ln q lt i 0 cdot ln q ln left frac varepsilon a 0 right nbsp fur i N displaystyle i in mathbb N nbsp ist i ln q ln q i ln q i displaystyle i cdot ln q ln left q i right ln left left q i right right nbsp Exponenzieren zur Basis e displaystyle e nbsp verandert das Ungleichheitszeichen nicht q i lt e a 0 displaystyle left q i right lt frac varepsilon a 0 nbsp wegen a 0 gt 0 displaystyle a 0 gt 0 nbsp bleibt das Ungleichheitszeichen nach Multiplikation mit dem Nenner unverandert mit a 0 q i a 0 q i displaystyle a 0 cdot left q i right left a 0 cdot q i right nbsp a 0 q i lt e displaystyle left a 0 cdot q i right lt varepsilon nbsp damit 1 q e d B Behauptung a i displaystyle a i nbsp ist hochstens dann eine Nullfolge wenn q lt 1 displaystyle q lt 1 nbsp ist displaystyle Leftrightarrow nbsp a i displaystyle a i nbsp ist keine Nullfolge wenn q 1 displaystyle q geq 1 nbsp ist Beweis a i displaystyle a i nbsp ist bereits dann keine Nullfolge wenn ein e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp so wahlbar ist dass fur alle a i displaystyle a i nbsp gilt a i e displaystyle a i geq varepsilon nbsp Multiplikation der Bedingung q 1 displaystyle q geq 1 nbsp mit a 0 q i displaystyle left a 0 cdot q i right nbsp ergibt wegen a 0 q i gt 0 displaystyle left a 0 cdot q i right gt 0 nbsp ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens a 0 q i 1 a 0 q i displaystyle left a 0 cdot q i 1 right geq left a 0 cdot q i right nbsp damit a i 1 a i displaystyle a i 1 geq a i nbsp 2 displaystyle mathbf 2 nbsp Ein e displaystyle varepsilon nbsp mit a 0 e gt 0 displaystyle a 0 geq varepsilon gt 0 nbsp sei gewahlt Mit 2 gilt dann auch fur alle i gt 0 displaystyle i gt 0 nbsp a i e displaystyle a i geq varepsilon nbsp q e d Siehe auch BearbeitenArithmetische Folge Wachstumsfaktor Mathematik exponentieller Vorgang E Reihe Renard SerieWeblinks BearbeitenSchulergerechte ErklarungenQuellenverzeichnis Bearbeiten Folgen und Reihen Abgerufen am 14 Marz 2010 Eric W Weisstein Geometric Sequence MathWorld abgerufen am 10 November 2019 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Geometrische Folge amp oldid 231993163