Satz von Green Tao Der ist ein Resultat aus der Zahlentheorie das die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen in

Satz von Green-Tao

Der Satz von Green-Tao ist ein Resultat aus der Zahlentheorie, das die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen in der Menge der Primzahlen begründet.

Das Theorem wurde 2004 von Ben Green und Terence Tao bewiesen.

Aussage Bearbeiten

Zu jeder Länge gibt es unendlich viele arithmetische Primzahlenfolgen.
Sei die Zählfunktion der Primzahlen nicht größer als , in anderer Schreibweise . Falls eine Teilmenge der Primzahlen ist, so dass

dann existieren in

für jedes

unendlich viele arithmetische Folgen (positiver Differenz

) von Primzahlen der Länge

Erläuterungen Bearbeiten

Erster Teil Bearbeiten

Seien und , dann sind und arithmetische Primzahlenfolgen, welche die Primzahlfolgen mit der Differenz bzw. mit der Differenz produzieren.

Allgemein ist eine solche Folge von der Form , wobei ein primer Initialwert ist, die Distanz zur nächsten Primzahl und die Anzahl der Folgenglieder.

Die bisher (Stand 2021) längste arithmetische Primzahlfolge hat 27 Glieder und wurde 2019 von Rob Gahan und PrimeGrid gefunden ( ist das Primorial von 23 = 223 092 870):

bzw.

Zweiter Teil Bearbeiten

Sei die Menge der Primzahlen.

Für erhält man trivialerweise die unendliche Menge aller Folgen der Länge mit primem , weil der Limes superior des konstanten Quotienten offenbar gleich ist.

Für erhält man die unendliche Menge aller Folgen der Länge mit ungleichen Primzahlen und , zum Beispiel sind und zwei solche Folgen der Differenz bzw. . Diese Distanz kann also in zwei Folgen auch unterschiedlich sein (sonst hätte man für die Primzahlzwillings-Vermutung von Alphonse de Polignac, die aber unbewiesen ist).

Für erhält man alle Folgen mit drei Gliedern, diese Aussage wurde 1939 von Johannes van der Corput gezeigt.

Für war es bis zum Beweis des Satzes von Green-Tao unbekannt.

Siehe auch Bearbeiten

Satz von Szemerédi

Einzelnachweise Bearbeiten

Ben Green, Terence Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. In: Annals of Mathematics. 167. Jahrgang, Nr. 2, 2008, S. 481–547, doi:10.4007/annals.2008.167.481, arxiv:math.NT/0404188.
Jens Kruse Andersen: Primes in Arithmetic Progression Records. Abgerufen am 27. Mai 2021.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 08:10 am

Der Satz von Green Tao ist ein Resultat aus der Zahlentheorie das die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen in der Menge der Primzahlen begrundet Das Theorem wurde 2004 von Ben Green und Terence Tao bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Erlauterungen 2 1 Erster Teil 2 2 Zweiter Teil 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseAussage BearbeitenZu jeder Lange k N displaystyle k in mathbb N nbsp gibt es unendlich viele arithmetische Primzahlenfolgen Sei p N p P p N displaystyle pi N p in mathbb P mid p leq N nbsp die Zahlfunktion der Primzahlen nicht grosser als N displaystyle N nbsp in anderer Schreibweise p N P 1 N displaystyle pi N big mathbb P cap 1 N big nbsp Falls A displaystyle A nbsp eine Teilmenge der Primzahlen ist so dasslim sup N A 1 N p N gt 0 displaystyle limsup N to infty frac big A cap 1 N big pi N gt 0 nbsp dd dann existieren in A displaystyle A nbsp fur jedes k N displaystyle k in mathbb N nbsp unendlich viele arithmetische Folgen positiver Differenz d displaystyle d nbsp von Primzahlen der Lange k displaystyle k nbsp dd Erlauterungen BearbeitenErster Teil Bearbeiten Seien k 3 displaystyle k 3 nbsp und 0 n 2 displaystyle 0 leq n leq 2 nbsp dann sind a n 3 4 n displaystyle a n 3 4n nbsp und b n 3 2 n displaystyle b n 3 2n nbsp arithmetische Primzahlenfolgen welche die Primzahlfolgen 3 7 11 displaystyle 3 7 11 nbsp mit der Differenz d 4 displaystyle d 4 nbsp bzw 3 5 7 displaystyle 3 5 7 nbsp mit der Differenz d 2 displaystyle d 2 nbsp produzieren Allgemein ist eine solche Folge von der Form a a d a 2 d a k 1 d displaystyle a a d a 2d dotsc a k 1 d nbsp wobei a displaystyle a nbsp ein primer Initialwert ist d gt 0 displaystyle d gt 0 nbsp die Distanz zur nachsten Primzahl und k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp die Anzahl der Folgenglieder Die bisher Stand 2021 langste arithmetische Primzahlfolge AP27 displaystyle operatorname AP27 nbsp hat 27 Glieder und wurde 2019 von Rob Gahan und PrimeGrid gefunden 23 displaystyle 23 nbsp ist das Primorial von 23 223 092 870 2 a n 224 584 605 939 537 911 81 292 139 23 n displaystyle a n 224 584 605 939 537 911 81 292 139 cdot 23 cdot n nbsp mit n 0 26 displaystyle n 0 dotsc 26 nbsp bzw a n 224 584 605 939 537 911 81 292 139 223 092 870 n displaystyle a n 224 584 605 939 537 911 81 292 139 cdot 223 092 870 cdot n nbsp Zweiter Teil Bearbeiten Sei A P displaystyle A mathbb P nbsp die Menge der Primzahlen Fur k 1 displaystyle k 1 nbsp erhalt man trivialerweise die unendliche Menge aller Folgen p displaystyle p nbsp der Lange 1 displaystyle 1 nbsp mit primem p displaystyle p nbsp weil der Limes superior des konstanten Quotienten offenbar gleich 1 gt 0 displaystyle 1 gt 0 nbsp ist Fur k 2 displaystyle k 2 nbsp erhalt man die unendliche Menge aller Folgen p q displaystyle p q nbsp der Lange 2 displaystyle 2 nbsp mit ungleichen Primzahlen p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp zum Beispiel sind 2 3 displaystyle 2 3 nbsp und 5 13 displaystyle 5 13 nbsp zwei solche Folgen der Differenz 1 displaystyle 1 nbsp bzw 8 displaystyle 8 nbsp Diese Distanz kann also in zwei Folgen auch unterschiedlich sein sonst hatte man fur d 2 displaystyle d 2 nbsp die Primzahlzwillings Vermutung von Alphonse de Polignac die aber unbewiesen ist Fur k 3 displaystyle k 3 nbsp erhalt man alle Folgen mit drei Gliedern diese Aussage wurde 1939 von Johannes van der Corput gezeigt Fur k 4 displaystyle k geq 4 nbsp war es bis zum Beweis des Satzes von Green Tao unbekannt Siehe auch BearbeitenSatz von SzemerediEinzelnachweise Bearbeiten Ben Green Terence Tao The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions In Annals of Mathematics 167 Jahrgang Nr 2 2008 S 481 547 doi 10 4007 annals 2008 167 481 arxiv math NT 0404188 Jens Kruse Andersen Primes in Arithmetic Progression Records Abgerufen am 27 Mai 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Green Tao amp oldid 221824837