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Primorial Mit von englisch primorial oder Primfakultät bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen die eine bestimmte Za

Primorial

Mit Primorial (von englisch primorial), oder Primfakultät, bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht übersteigen. Die Begriffe sind eng mit der Fakultät verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz.

Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial. Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich wird allerdings im Deutschen selten Primorial, noch seltener Primfakultät genannt. Meist wird es umschrieben als „Produkt der Primzahlen kleiner gleich n“.

Definition Bearbeiten

Für eine natürliche Zahl ist die Primfakultät definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich :

bzw. als

Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent, allerdings beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen (Primorial, Primefactorial wie Primfakultät) zu unterscheiden.

Manchmal unterscheidet man den Spezialfall, in dem Primzahl ist, und definiert nur für diesen analog das Primorial, das für nicht-prime undefiniert bleibt.

Im Fall liegt das leere Produkt vor, der Wert der Primfakultät und des Primorials beträgt dann 1. Für Argumente , die keine Primzahlen sind, besitzt das Primorial keine Werte. Die Primfakultät liefert für diese den Wert, den die nächstkleinere Primzahl liefern würde. Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet.

Beispiel Bearbeiten

Um den Wert des Primorials zu berechnen, bestimmt man zunächst alle Primzahlen kleiner gleich 7. Diese sind 2, 3, 5 und 7. Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert . Für 9 könnte man dagegen kein Primorial, wohl aber die Primfakultät berechnen – da 9 keine Primzahl ist und die nächstkleinere Primzahl die 7 und die nächstgrößere Primzahl die 11 ist, gilt .

Eigenschaften Bearbeiten

Vergleich der Fakultät (gelb) und der Primfakultät (rot)
  • Es seien und zwei benachbarte Primzahlen. Dann gilt für jede natürliche Zahl mit :
  • Für das Primorial kennt man folgende Abschätzung
  • Ferner gilt:
Für sind die Werte kleiner als , aber mit größeren überschreiten die Werte der Funktion die Schranke und oszillieren später unendlich oft um .
  • Ist die -te Primzahl, dann hat genau Teiler.
Die Engel-Entwicklung (eine spezielle Stammbruch-Entwicklung) dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen (Siehe Folge A064648 in OEIS)
  • Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck für den Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Funktionswerte bis 100 Bearbeiten

n n#
200 2
3…400 6
5…600 30
7…100 210
11…120 2.310
13…160 30.030
17…180 510.510
19…220 9.699.690
23…280 223.092.870
29…300 6.469.693.230
31…360 200.560.490.130
37…400 7.420.738.134.810
41…420 304.250.263.527.210
43…460 13.082.761.331.670.030
47…520 614.889.782.588.491.410
53…580 32.589.158.477.190.044.730
59…600 1.922.760.350.154.212.639.070
61…660 117.288.381.359.406.970.983.270
67…700 7.858.321.551.080.267.055.879.090
71…720 557.940.830.126.698.960.967.415.390
73…780 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
79…820 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
83…880 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
89…960 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
97…102 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070
k pk pk#
1 2 2
2 3 6
3 5 30
4 7 210
5 11 2.310
6 13 30.030
7 17 510.510
8 19 9.699.690
9 23 223.092.870
10 29 6.469.693.230
11 31 200.560.490.130
12 37 7.420.738.134.810
13 41 304.250.263.527.210
14 43 13.082.761.331.670.030
15 47 614.889.782.588.491.410
16 53 32.589.158.477.190.044.730
17 59 1.922.760.350.154.212.639.070
18 61 117.288.381.359.406.970.983.270
19 67 7.858.321.551.080.267.055.879.090
20 71 557.940.830.126.698.960.967.415.390
21 73 40.729.680.599.249.024.150.621.323.470
22 79 3.217.644.767.340.672.907.899.084.554.130
23 83 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.790
24 89 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.310
25 97 2.305.567.963.945.518.424.753.102.147.331.756.070

(Siehe Folge A002110 in OEIS)

Quellen Bearbeiten

  1. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
    Theorem 415, S. 341
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359.
    Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371

Weblinks Bearbeiten

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Mit Primorial von englisch primorial oder Primfakultat bezeichnet man das Produkt aller Primzahlen die eine bestimmte Zahl nicht ubersteigen Die Begriffe sind eng mit der Fakultat verwandt und kommen vor allem in dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie zum Einsatz Der Name Primorial ist das eingedeutschte englische Wort primorial Das Produkt der Primzahlen kleiner gleich n displaystyle n wird allerdings im Deutschen selten Primorial noch seltener Primfakultat genannt Meist wird es umschrieben als Produkt der Primzahlen kleiner gleich n Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 4 Funktionswerte bis 100 5 Quellen 6 WeblinksDefinition BearbeitenFur eine naturliche Zahl n displaystyle n nbsp ist die Primfakultat n displaystyle n nbsp definiert als das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich n displaystyle n nbsp n p p r i m p n p displaystyle n prod p mathrm prim p leq n p nbsp bzw als p k displaystyle p k nbsp p k i 1 k p i displaystyle p k prod i 1 k p i nbsp Beide unterschiedliche Definitionen sind in der mathematischen Schreibweise einfach zu unterscheiden und in sich konsistent allerdings beide Definitionen nicht durch den Funktionsnamen Primorial Primefactorial wie Primfakultat zu unterscheiden 7 p p r i m p 7 p 2 3 5 7 210 displaystyle qquad quad 7 prod p mathrm prim p leq 7 p 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 210 nbsp p 4 7 i 1 4 p i 2 3 5 7 210 displaystyle p 4 7 prod i 1 4 p i 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 210 nbsp Manchmal unterscheidet man den Spezialfall in dem n displaystyle n nbsp Primzahl ist und definiert nur fur diesen analog das Primorial das fur nicht prime n displaystyle n nbsp undefiniert bleibt Im Fall n 1 displaystyle n leq 1 nbsp liegt das leere Produkt vor der Wert der Primfakultat und des Primorials betragt dann 1 Fur Argumente n displaystyle n nbsp die keine Primzahlen sind besitzt das Primorial keine Werte Die Primfakultat liefert fur diese n displaystyle n nbsp den Wert den die nachstkleinere Primzahl liefern wurde Im praktischen Gebrauch werden jedoch beide Begriffe meist als Synonym verwendet Beispiel BearbeitenUm den Wert des Primorials 7 displaystyle 7 nbsp zu berechnen bestimmt man zunachst alle Primzahlen kleiner gleich 7 Diese sind 2 3 5 und 7 Das Produkt dieser vier Primzahlen liefert 7 2 3 5 7 210 displaystyle 7 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 210 nbsp Fur 9 konnte man dagegen kein Primorial wohl aber die Primfakultat berechnen da 9 keine Primzahl ist und die nachstkleinere Primzahl die 7 und die nachstgrossere Primzahl die 11 ist gilt 7 8 9 10 210 displaystyle 7 8 9 10 210 nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Vergleich der Fakultat gelb und der Primfakultat rot Es seien p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp zwei benachbarte Primzahlen Dann gilt fur jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp mit p n lt q displaystyle p leq n lt q nbsp n p displaystyle n p nbsp dd Fur das Primorial kennt man folgende Abschatzung 1 n 4 n displaystyle n leq 4 n nbsp dd Ferner gilt lim n n n e displaystyle lim n to infty sqrt n n e nbsp dd Fur n lt 10 11 displaystyle n lt 10 11 nbsp sind die Werte kleiner als e displaystyle e nbsp 2 aber mit grosseren n displaystyle n nbsp uberschreiten die Werte der Funktion die Schranke e displaystyle e nbsp und oszillieren spater unendlich oft um e displaystyle e nbsp Ist p k displaystyle p k nbsp die k displaystyle k nbsp te Primzahl dann hat p k displaystyle p k nbsp genau 2 k displaystyle 2 k nbsp Teiler Zum Beispiel hat die Zahl 2 displaystyle 2 nbsp zwei Teiler 3 displaystyle 3 nbsp hat vier Teiler 5 displaystyle 5 nbsp hat acht Teiler und 97 displaystyle 97 nbsp hat bereits 2 25 displaystyle 2 25 nbsp Teiler denn 97 ist die 25 Primzahl Die Summe der Kehrwerte der Primfakultat konvergiert gegen eine Konstante k 1 1 p k 1 2 1 6 1 30 1 210 0 705 2301717918 displaystyle sum k 1 infty 1 over p k 1 over 2 1 over 6 1 over 30 1 over 210 ldots 0 7052301717918 ldots nbsp dd Die Engel Entwicklung eine spezielle Stammbruch Entwicklung dieser Zahl bildet die Folge der Primzahlen Siehe Folge A064648 in OEIS Der Satz von Euklid nutzt den Ausdruck p 1 displaystyle p 1 nbsp fur den Beweis dass es unendlich viele Primzahlen gibt Funktionswerte bis 100 Bearbeitenn n 200 23 400 65 600 307 100 21011 120 2 31013 160 30 03017 180 510 51019 220 9 699 69023 280 223 092 87029 300 6 469 693 23031 360 200 560 490 13037 400 7 420 738 134 81041 420 304 250 263 527 21043 460 13 082 761 331 670 03047 520 614 889 782 588 491 41053 580 32 589 158 477 190 044 73059 600 1 922 760 350 154 212 639 07061 660 117 288 381 359 406 970 983 27067 700 7 858 321 551 080 267 055 879 09071 720 557 940 830 126 698 960 967 415 39073 780 40 729 680 599 249 024 150 621 323 47079 820 3 217 644 767 340 672 907 899 084 554 13083 880 267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 79089 960 23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 31097 102 2 305 567 963 945 518 424 753 102 147 331 756 070k pk pk 1 2 22 3 63 5 304 7 2105 11 2 3106 13 30 0307 17 510 5108 19 9 699 6909 23 223 092 87010 29 6 469 693 23011 31 200 560 490 13012 37 7 420 738 134 81013 41 304 250 263 527 21014 43 13 082 761 331 670 03015 47 614 889 782 588 491 41016 53 32 589 158 477 190 044 73017 59 1 922 760 350 154 212 639 07018 61 117 288 381 359 406 970 983 27019 67 7 858 321 551 080 267 055 879 09020 71 557 940 830 126 698 960 967 415 39021 73 40 729 680 599 249 024 150 621 323 47022 79 3 217 644 767 340 672 907 899 084 554 13023 83 267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 79024 89 23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 31025 97 2 305 567 963 945 518 424 753 102 147 331 756 070 Siehe Folge A002110 in OEIS Quellen Bearbeiten G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Theorem 415 S 341 L Schoenfeld Sharper bounds for the Chebyshev functions 8 x displaystyle theta x nbsp and ps x displaystyle psi x nbsp II Math Comp Bd 34 Nr 134 1976 337 360 dort S 359 Zitiert in G Robin Estimation de la fonction de Tchebychef 8 displaystyle theta nbsp sur le k displaystyle k nbsp ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction w n displaystyle omega n nbsp nombre de diviseurs premiers de n displaystyle n nbsp Acta Arithm XLII 1983 367 389 PDF 731KB dort S 371Weblinks BearbeitenPrimfakultat und Primorial Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primorial amp oldid 237199304