Stammbruch Der ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet einen Bruch mit einer 1 im Zähler und einer beliebigen

Stammbruch

Der Stammbruch ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet einen Bruch mit einer 1 im Zähler und einer beliebigen natürlichen Zahl im Nenner. Somit ergeben sich Stammbrüche als Kehrwert natürlicher Zahlen. Beispiele sind und Stammbrüche, während kein Stammbruch ist.

Stammbruchentwicklung Bearbeiten

Jeder Bruch der Form mit natürlichen Zahlen kann als Summe von Stammbrüchen (und einer natürlichen Zahl, falls ) dargestellt werden. Zum Beispiel lässt sich schreiben als

Ein Verfahren zur Stammbruchentwicklung besteht darin, zunächst den ganzzahligen Anteil abzuziehen und dann jeweils den größten Stammbruch, der kleinergleich dem Rest ist (man spricht von einem Greedy-Algorithmus).

Verfahren Bearbeiten

Mit diesem Verfahren wird ein echter gekürzter Bruch in eine Summe von Stammbrüchen zerlegt, wobei alle Stammbrüche verschiedene Nenner haben:

Gegeben sei ein echter, schon gekürzter Bruch: mit .

Beispiel Bearbeiten

Es wird eine Stammbruchentwicklung für angegeben:

Schritt: Neuer Bruch:
Schritt:
Schritt:
Schritt:
Schritt: Das Verfahren bricht ab, da die Differenz bereits ein Stammbruch ist.

Dieses Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten. Es liefert jedoch nicht immer die kürzestmögliche Darstellung als Summe von Stammbrüchen. Zum Beispiel liefert dieses Verfahren die Darstellung

es gibt aber die kürzere Darstellung

Geschichte Bearbeiten

Die alten Ägypter notierten nur echte Brüche. Da sie außer für und nur Hieroglyphen für Stammbrüche hatten, mussten sie alle anderen Brüche in Summen von Stammbrüchen zerlegen (siehe auch Ägyptische Zahlschrift).

Leonardo Fibonacci veröffentlichte den obigen Algorithmus im Liber abaci (1202). Der Beweis zur allgemeinen Gültigkeit des Algorithmus gelang erst 1880 dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester.

Weitere Vorkommen Bearbeiten

Ein ungelöstes mathematisches Problem im Zusammenhang mit der Stammbruchentwicklung ist die Erdős-Straus-Vermutung.

Manche statistisch erfassten Größen sind proportional zu Stammbrüchen verteilt; dies stellt eine einfache Zipfverteilung dar.

Einzelnachweise Bearbeiten

Stammbruch. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
↑ Stammbruchsummen. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 13.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 29, 2023, 02:31 am

Der Stammbruch ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet einen Bruch mit einer 1 im Zahler und einer beliebigen naturlichen Zahl im Nenner Somit ergeben sich Stammbruche als Kehrwert naturlicher Zahlen 1 Beispiele sind 1 2 displaystyle tfrac 1 2 und 1 6 displaystyle tfrac 1 6 Stammbruche wahrend 2 3 displaystyle tfrac 2 3 kein Stammbruch ist Inhaltsverzeichnis 1 Stammbruchentwicklung 1 1 Verfahren 1 2 Beispiel 2 Geschichte 3 Weitere Vorkommen 4 EinzelnachweiseStammbruchentwicklung BearbeitenJeder Bruch der Form a b displaystyle tfrac a b nbsp mit naturlichen Zahlen a b displaystyle a b nbsp kann als Summe von Stammbruchen und einer naturlichen Zahl falls a gt b displaystyle a gt b nbsp dargestellt werden Zum Beispiel lasst sich 2 3 displaystyle tfrac 2 3 nbsp schreiben als 2 3 1 2 1 6 displaystyle frac 2 3 frac 1 2 frac 1 6 nbsp Ein Verfahren zur Stammbruchentwicklung besteht darin zunachst den ganzzahligen Anteil abzuziehen und dann jeweils den grossten Stammbruch der kleinergleich dem Rest ist man spricht von einem Greedy Algorithmus 2 Verfahren Bearbeiten Mit diesem Verfahren wird ein echter gekurzter Bruch in eine Summe von Stammbruchen zerlegt wobei alle Stammbruche verschiedene Nenner haben Gegeben sei ein echter schon gekurzter Bruch a b displaystyle tfrac a b nbsp mit a lt b displaystyle a lt b nbsp 1 Schritt Bilde den neuen Bruch c d displaystyle tfrac c d nbsp wobei gilt c a displaystyle c a nbsp und d n a gt b n N displaystyle d n cdot a gt b n in mathbb N nbsp und n displaystyle n nbsp minimal d h der neue Zahler ist gleich dem alten Zahler und der neue Nenner ist gleich dem kleinsten Vielfachen des alten Zahlers das grosser als der alte Nenner ist Der neue Bruch lasst sich aufgrund der Bildungsvorschrift immer zum Stammbruch 1 n displaystyle tfrac 1 n nbsp kurzen 2 Schritt Es gilt also a b c d a b c d displaystyle tfrac a b tfrac c d tfrac a b tfrac c d nbsp mit c d 1 n displaystyle tfrac c d tfrac 1 n nbsp 3 Schritt Berechne die Differenz a b c d a b c d 1 n n a b n b displaystyle frac a b frac c d tfrac a b tfrac c d tfrac 1 n tfrac na b nb nbsp 4 Schritt Wenn moglich kurze die Differenz n a b n b displaystyle tfrac na b nb nbsp 5 Schritt Brich das Verfahren ab falls die Differenz n a b n b displaystyle tfrac na b nb nbsp ein Stammbruch ist sonst wiederhole Schritt 1 bis 4 fur die Differenz n a b n b displaystyle tfrac na b nb nbsp Beispiel Bearbeiten Es wird eine Stammbruchentwicklung fur 2 3 displaystyle tfrac 2 3 nbsp angegeben Schritt Neuer Bruch 2 4 displaystyle frac 2 4 nbsp Schritt 2 3 2 4 2 3 2 4 displaystyle frac 2 3 frac 2 4 frac 2 3 frac 2 4 nbsp Schritt 2 3 2 4 2 3 2 4 1 2 2 12 displaystyle frac 2 3 frac 2 4 left frac 2 3 frac 2 4 right frac 1 2 frac 2 12 nbsp Schritt 2 3 1 2 1 6 displaystyle frac 2 3 frac 1 2 frac 1 6 nbsp Schritt Das Verfahren bricht ab da die Differenz 1 6 displaystyle frac 1 6 nbsp bereits ein Stammbruch ist Dieses Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten Es liefert jedoch nicht immer die kurzestmogliche Darstellung als Summe von Stammbruchen Zum Beispiel liefert dieses Verfahren die Darstellung 59 120 1 3 1 7 1 65 1 10920 displaystyle frac 59 120 frac 1 3 frac 1 7 frac 1 65 frac 1 10920 nbsp es gibt aber die kurzere Darstellung 59 120 1 5 1 6 1 8 displaystyle frac 59 120 frac 1 5 frac 1 6 frac 1 8 nbsp Geschichte BearbeitenDie alten Agypter notierten nur echte Bruche Da sie ausser fur 2 3 displaystyle tfrac 2 3 nbsp und 3 4 displaystyle tfrac 3 4 nbsp nur Hieroglyphen fur Stammbruche hatten mussten sie alle anderen Bruche in Summen von Stammbruchen zerlegen siehe auch Agyptische Zahlschrift 3 Leonardo Fibonacci veroffentlichte den obigen Algorithmus im Liber abaci 1202 2 Der Beweis zur allgemeinen Gultigkeit des Algorithmus gelang erst 1880 dem britischen Mathematiker James Joseph Sylvester Weitere Vorkommen BearbeitenEin ungelostes mathematisches Problem im Zusammenhang mit der Stammbruchentwicklung ist die Erdos Straus Vermutung Manche statistisch erfassten Grossen sind proportional zu Stammbruchen verteilt dies stellt eine einfache Zipfverteilung dar Einzelnachweise Bearbeiten Stammbruch In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 a b Stammbruchsummen In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Heinz Wilhelm Alten 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 43554 9 S 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stammbruch amp oldid 228888595