Satz von Szemerédi Der ist ein Resultat aus der Zahlentheorie das arithmetische Folgen in Mengen natürlicher Zahlen mit

Satz von Szemerédi

Der Satz von Szemerédi ist ein Resultat aus der Zahlentheorie, das arithmetische Folgen in Mengen natürlicher Zahlen mit positiver Dichte betrifft.

Aussage Bearbeiten

Für jede natürliche Zahl und für jedes , existiert ein , sodass jede Teilmenge von mit mehr als Elementen eine arithmetische Folge der Länge k enthält. Äquivalent lässt sich das Theorem auch folgenderweise formulieren:

Erweiterungen Bearbeiten

Es hat sich gezeigt, dass sich die Aussage auf polynomielle Progressionen erweitern lässt. Hat also eine Menge eine positive Dichte und Polynome mit ganzzahligen Werten, dann gibt es unendlich viele , sodass .

Der Satz von Szemerédi folgt aus der Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen.

Literatur Bearbeiten

Endre Szemerédi: On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression. Acta Arith. 27, 199–245 (1975).

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 19:21 pm

Der Satz von Szemeredi ist ein Resultat aus der Zahlentheorie das arithmetische Folgen in Mengen naturlicher Zahlen mit positiver Dichte betrifft Aussage BearbeitenFur jede naturliche Zahl k displaystyle k nbsp und fur jedes d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp existiert ein N k d displaystyle N k delta nbsp sodass jede Teilmenge von 1 N displaystyle 1 N nbsp mit mehr als d N displaystyle delta N nbsp Elementen eine arithmetische Folge der Lange k enthalt Aquivalent lasst sich das Theorem auch folgenderweise formulieren Sei r k N displaystyle r k N nbsp die Grosse der grossten Teilmenge von 1 N displaystyle 1 N nbsp ohne arithmetische Progression der Lange k Dann gilt r k N N 0 displaystyle tfrac r k N N longrightarrow 0 nbsp Erweiterungen BearbeitenEs hat sich gezeigt dass sich die Aussage auf polynomielle Progressionen erweitern lasst Hat also eine Menge A N displaystyle A subset N nbsp eine positive Dichte und p 1 p 2 p k displaystyle p 1 p 2 p k nbsp Polynome mit ganzzahligen Werten dann gibt es unendlich viele u n N displaystyle u n in N nbsp sodass u p i n A displaystyle u p i n in A nbsp Der Satz von Szemeredi folgt aus der Erdos Vermutung uber arithmetische Folgen Literatur BearbeitenEndre Szemeredi On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression Acta Arith 27 199 245 1975 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Szemeredi amp oldid 209286368