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Zahlenpalindrom e bzw Palindromzahlen sind natürliche Zahlen deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen

Zahlenpalindrom

Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a1a2a3 ...|... a3a2a1 für Zahlen mit der Basis verwendet.

Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie, einem Teilbereich der Mathematik, aus der Sprachwissenschaft übernommen.

Palindrome im Dezimalsystem Bearbeiten

Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.

Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:

Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen:

sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:

Damit gibt es unter 104 (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 105 (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10n folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n = 6), 10998 (für n = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … (OEIS, A050250).

Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 zu beweisen war.

Aus den Teilbarkeitsregeln ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind.

Erzeugung von Zahlenpalindromen Bearbeiten

Quadrieren von 1-er Zahlen Bearbeiten

Im Dezimalsystem erhält man durch

Palindromzahlen, wobei [1]n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.

1 * 1 = 1
11 * 11 = 121
111 * 111 = 12321
1111 * 1111 = 1234321
11111 * 11111 = 123454321
111111 * 111111 = 12345654321
1111111 * 1111111 = 1234567654321
11111111 * 11111111 = 123456787654321
111111111 * 111111111 = 12345678987654321

Umkehrung und Addition Bearbeiten

Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema, bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:

  1. Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die Spiegelzahl
  2. Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
  3. Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
  4. Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)

Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom. Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.

Palindrome bei Transformation des Zahlensystems Bearbeiten

Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.

Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen von 10 bis 107), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.

Basis Dezimalzahl Zahl in anderem Zahlensystem
4 13 31
7 23 32
46 64
2116 6112
15.226 62.251
8 (oktal) 1.527.465 5.647.251
9 445 544
313.725 527.313
3.454.446 6.444.543
12 (duodezimal) 315.231 132.513
13 43 34
86 68
774 477
14 834 438
16 (hexadezimal) 53 35
371 173
5141 1415
99.481 18.499
19 21 12
42 24
63 36
84 48
441 144
882 288
7721 1277
9471 1749
21 551 155
912 219
22 73 37
511 115
25 83 38
28 31 13
62 26
93 39
961 169
37 41 14
82 28
46 51 15
55 61 16
64 71 17
73 81 18
82 91 19

Summe von Zahlenpalindromen Bearbeiten

In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer.

Zahlen und Zahlwörter Bearbeiten

Joel David Hamkins bemerkt in seinen „Vorlesungen über die Philosophie der Mathematik“ (engl. Lectures on the Philosophy of Mathematics), dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu Dreiecks- oder Rechteckszahlen keine Eigenschaften von Zahlen, sondern Zahlwörtern beschreiben. Einige Mathematiker, so Hamkins, halten daher das Konzept für unnatürlich oder laienhaft. So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom, in Binärform 11011 aber schon, in römischer Zahlschrift XXVII wieder nicht. Die Frage, ob eine Zahl ein Palindrom ist, hängt von der Basis ab, in der sie dargestellt wird. Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom, da sie dann zu einer einzigen Ziffer, sprich einem Palindrom würde.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers. CRC Press, 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 (eingeschränkt (Google Books))

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A050250. Abgerufen am 5. November 2020.
  2. Bundeswettbewerb Mathematik Aufgabenblatt 2009 1. Runde. (PDF; 16 kB) Abgerufen am 16. November 2012.
  3. ↑ Eric W. Weisstein: 196-Algorithm. In: MathWorld. Abgerufen am 12. September 2023 (englisch).
  4. Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter: Every positive integer is a sum of three palindromes In: Mathematics of Computation (arXiv Preprint)
  5. Joel David Hamkins: Lectures on the Philosophy of Mathematics. Hrsg.: The MIT Press. 2021, ISBN 978-0-262-54223-4, S. 2.
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Veröffentlichungsdatum:
Zahlenpalindrome bzw Palindromzahlen sind naturliche Zahlen deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat z B 1331 oder 742247 aber auch 21 zur Basis 2 10101 Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a1a2a3 a3a2a1 fur Zahlen mit der Basis a displaystyle a verwendet Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie einem Teilbereich der Mathematik aus der Sprachwissenschaft ubernommen Inhaltsverzeichnis 1 Palindrome im Dezimalsystem 2 Erzeugung von Zahlenpalindromen 2 1 Quadrieren von 1 er Zahlen 2 2 Umkehrung und Addition 2 3 Palindrome bei Transformation des Zahlensystems 3 Summe von Zahlenpalindromen 4 Zahlen und Zahlworter 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweisePalindrome im Dezimalsystem BearbeitenAlle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen 11 22 33 44 55 66 77 88 99 Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 202 212 222 232 242 252 262 272 282 292 303 313 323 333 343 353 363 373 383 393 404 414 424 434 444 454 464 474 484 494 505 515 525 535 545 555 565 575 585 595 606 616 626 636 646 656 666 676 686 696 707 717 727 737 747 757 767 777 787 797 808 818 828 838 848 858 868 878 888 898 909 919 929 939 949 959 969 979 989 999 sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen 1001 1111 1221 1331 1441 1551 1661 1771 1881 1991 2002 2112 2222 2332 2442 2552 2662 2772 2882 2992 3003 3113 3223 3333 3443 3553 3663 3773 3883 3993 4004 4114 4224 4334 4444 4554 4664 4774 4884 4994 5005 5115 5225 5335 5445 5555 5665 5775 5885 5995 6006 6116 6226 6336 6446 6556 6666 6776 6886 6996 7007 7117 7227 7337 7447 7557 7667 7777 7887 7997 8008 8118 8228 8338 8448 8558 8668 8778 8888 8998 9009 9119 9229 9339 9449 9559 9669 9779 9889 9999 Damit gibt es unter 104 also 10 000 genau 9 9 90 90 198 Zahlenpalindrome Insgesamt gibt es 9 9 90 90 900 1098 Zahlenpalindrome die kleiner sind als 105 also 100 000 Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10n folgt dieser Zahlenreihe 1998 fur n 6 10998 fur n 7 usw 19998 109998 199998 1099998 OEIS A050250 1 Des Weiteren hat jede ganze Zahl die nicht durch 10 teilbar ist ein positives Vielfaches das ein Dezimalpalindrom ist was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 zu beweisen war 2 Aus den Teilbarkeitsregeln ergibt sich ausserdem dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind Erzeugung von Zahlenpalindromen BearbeitenQuadrieren von 1 er Zahlen Bearbeiten Im Dezimalsystem erhalt man durch 1 n 2 displaystyle 1 n 2 nbsp Palindromzahlen wobei 1 n die Kurzschreibweise fur die n fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht 1 1 111 11 121111 111 123211111 1111 123432111111 11111 123454321111111 111111 123456543211111111 1111111 123456765432111111111 11111111 123456787654321111111111 111111111 12345678987654321Umkehrung und Addition Bearbeiten Eine weitere Moglichkeit ist das iterative Schema 3 bei dem eine beliebige positive Zahl die nicht selber schon ein Palindrom ist bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird Drehe die Zahl um z B 84 zu 48 d h erstelle die Spiegelzahl Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl 48 84 132 Drehe die neu entstandene Zahl erneut um 132 zu 231 Addiere erneut beide Zahlen 132 231 363 Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom 3 Allerdings existieren auch Zahlen die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist Solche Zahlen nennt man Lychrel Zahlen die bekannteste Lychrel Zahl ist 196 Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196 Algorithmus Palindrome bei Transformation des Zahlensystems Bearbeiten Zahlenpalindrome konnen auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf fur Zahlen von 10 bis 107 die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben Basis Dezimalzahl Zahl in anderem Zahlensystem4 13 317 23 3246 642116 611215 226 62 2518 oktal 1 527 465 5 647 2519 445 544313 725 527 3133 454 446 6 444 54312 duodezimal 315 231 132 51313 43 3486 68774 47714 834 43816 hexadezimal 53 35371 1735141 141599 481 18 49919 21 1242 2463 3684 48441 144882 2887721 12779471 174921 551 155912 21922 73 37511 11525 83 3828 31 1362 2693 39961 16937 41 1482 2846 51 1555 61 1664 71 1773 81 1882 91 19Summe von Zahlenpalindromen BearbeitenIn einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann unabhangig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder grosser 4 Zahlen und Zahlworter BearbeitenJoel David Hamkins bemerkt in seinen Vorlesungen uber die Philosophie der Mathematik engl Lectures on the Philosophy of Mathematics dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu Dreiecks oder Rechteckszahlen keine Eigenschaften von Zahlen sondern Zahlwortern beschreiben Einige Mathematiker so Hamkins halten daher das Konzept fur unnaturlich oder laienhaft So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom in Binarform 11011 aber schon in romischer Zahlschrift XXVII wieder nicht Die Frage ob eine Zahl ein Palindrom ist hangt von der Basis ab in der sie dargestellt wird Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom da sie dann zu einer einzigen Ziffer sprich einem Palindrom wurde 5 Siehe auch BearbeitenZyklische Zahl Mirpzahl Primzahlpalindrom PalindromtagLiteratur BearbeitenMalcolm E Lines A Number for Your Thoughts Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers CRC Press 1986 ISBN 0 85274 495 1 S 61 eingeschrankt Google Books Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Zahlenpalindrom In MathWorld englisch Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen Zahlen Palindrome interaktiv Zahlen Palindrome Eine nette Spielerei mit der Eins Memento vom 21 Februar 2005 im Internet Archive James Grime Numberphile Every Number is the Sum of Three Palindromes auf YouTube 17 September 2018 englisch Einzelnachweise Bearbeiten A050250 Abgerufen am 5 November 2020 Bundeswettbewerb Mathematik Aufgabenblatt 2009 1 Runde PDF 16 kB Abgerufen am 16 November 2012 a b Eric W Weisstein 196 Algorithm In MathWorld Abgerufen am 12 September 2023 englisch Javier Cilleruelo Florian Luca Lewis Baxter Every positive integer is a sum of three palindromes In Mathematics of Computation arXiv Preprint Joel David Hamkins Lectures on the Philosophy of Mathematics Hrsg The MIT Press 2021 ISBN 978 0 262 54223 4 S 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zahlenpalindrom amp oldid 237257044