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Zyklische Zahl Eine zyklische Zahl auch Phönixzahl 1 2 ist eine n displaystyle n stellige natürliche Zahl deren Produkt

Zyklische Zahl

Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl) ist eine -stellige natürliche Zahl, deren Produkt bei Multiplikation mit einer natürlichen Zahl von 1 bis die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge enthält.

Die zyklische Zahl 142857 multipliziert mit den Zahlen 1 bis 6

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl im Dezimalsystem ist 142857:

Generierung Bearbeiten

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: . Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

Generatorzahlen im Dezimalsystem sind genau die Primzahlen , welche die folgenden Bedingungen erfüllen:

1. Die Zahlenbasis 10 ist kein Vielfaches von .

2. Für natürliche Zahlen ist kein Vielfaches von .

3. teilt die Zahl , das heißt ist Vielfaches von bzw. es gilt .

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige bekannte, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode von auch nur so viele Stellen wie die von , eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.

Werte Bearbeiten

Triviale zyklische Zahlen sind alle einstelligen Zahlen (). Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:

  1. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
  2. 0588235294117647   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
  3. 052631578947368421   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
  4. 0434782608695652173913   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
  5. 0344827586206896551724137931   (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede nicht-triviale zyklische Zahl (im Dezimalsystem) ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
  • Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
  • Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142 + 857 = 999 und 14 + 28 + 57 = 99 (Midy's Theorem). Dafür muss die Gruppenlänge hinreichend groß sein. Ist die Anzahl der Stellen durch eine Zahl beginnend bei 1 nicht teilbar, so sind für Aufteilungen in eine größere Anzahl an Gruppen keine Neunen-Folge mehr zu erwarten.
  • Emil Artin stellte im Jahr 1927 die Vermutung auf, dass der Anteil der Generatorzahlen an der Menge aller Primzahlen gleich der Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS) ist. Diese ist über die Lucas-Zahlen mit der Primzetafunktion verknüpft und bestimmbar.

Andere Zahlenbasen Bearbeiten

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zur Zahlenbasis ist für die Zahl

eine zyklische Zahl. Denn es ist:

Deshalb wird die Primzahl eine lange Primzahl im Dualsystem (d. h. zur Basis ) genannt.

In vielen Zahlenbasen kann man zyklische Zahlen nach der Formel (mit der Zahlenbasis und dem Teiler ) darstellen, sofern und ( ) teilerfremd sind und die Modulzahl ( modulo ) nicht , oder größer sind. Schöne zyklische Zahlen enthalten jede Ziffer nur einmal. Hier ist eine Tabelle aus jüngster Zeit:

  1. , : 13
  2. , : 1254
  3. , : 1463
  4. , : 142857
  5. , : 186A35
  6. , : 12495BA837
  7. , : 13ABF5HCIG984E27
  8. , : 13A95H826KIBCG4DJF
  9. , : 248H36CPK9J7ETSQMDROI5ALBNG
  10. , : 139TPC4D7N5GHKUSM26JRIO8QFEB
  11. , : 139TKSHILVRE8QAWUO4D5GFC26JP7N
  12. , : 1248GXSHZWQDRFVO9IbaYUM5AL36CPBN7ETK
  13. , : 139SeThdQYAW4CcNORbKEigaH5G26JBZDfX7MLI8PV
  14. , : 139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH
  15. , : 139STWgEiL7MAVd5FlUZphHrnasqkRQNDfBYmXjOGoe8PK4Cc26J
  16. , : 1248GX36COna9IbBMjRtmY5AKfJdFUzywskTxuocDQriPpeHZ7ESvqgLhNlW

Dabei werden die Buchstaben A, B, C, ... für die Ziffernwerte 10, 11, 12, ... verwendet sowie a, b, c, ... für die Ziffernwerte 36, 37, 38, ...

Siehe auch Bearbeiten

Parasitäre Zahl

Literatur Bearbeiten

  • Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  • Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Washington 1932 (3 Bde.)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
  2. Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  3. Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime. In: MathWorld (englisch).
  4. (Memento vom 12. November 2013 im Internet Archive)
  5. Eric W. Weisstein: Midy's Theorem. In: MathWorld (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine zyklische Zahl auch Phonixzahl 1 2 ist eine n displaystyle n stellige naturliche Zahl deren Produkt bei Multiplikation mit einer naturlichen Zahl von 1 bis n displaystyle n die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge enthalt Die zyklische Zahl 142857 multipliziert mit den Zahlen 1 bis 6Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl im Dezimalsystem ist 142857 1 142 857 142 857 2 142 857 285 714 3 142 857 428 571 4 142 857 571 428 5 142 857 714 285 6 142 857 857 142 7 142 857 999 999 displaystyle begin array rrr 1 cdot 142 857 amp amp mathtt 142 857 2 cdot 142 857 amp amp mathtt 285 714 3 cdot 142 857 amp amp mathtt 428 571 4 cdot 142 857 amp amp mathtt 571 428 5 cdot 142 857 amp amp mathtt 714 285 6 cdot 142 857 amp amp mathtt 857 142 7 cdot 142 857 amp amp mathtt 999 999 end array Inhaltsverzeichnis 1 Generierung 2 Werte 3 Eigenschaften 4 Andere Zahlenbasen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseGenerierung BearbeitenLeonard E Dickson fand heraus dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann So ist der Kehrwert von 7 gleich 0 142857142857 und enthalt genau die erste zyklische Zahl als Periode 142857 displaystyle overline 142857 nbsp Solche Zahlen die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen werden auch Generatorzahlen genannt 7 17 19 23 29 47 59 61 97 109 113 131 149 167 179 181 193 223 229 233 257 263 269 313 Folge A001913 in OEIS Generatorzahlen im Dezimalsystem sind genau die Primzahlen p displaystyle p nbsp welche die folgenden Bedingungen erfullen 3 1 Die Zahlenbasis 10 ist kein Vielfaches von p displaystyle p nbsp 2 Fur naturliche Zahlen 0 lt n lt p 1 displaystyle 0 lt n lt p 1 nbsp ist 10 n 1 displaystyle 10 n 1 nbsp kein Vielfaches von p displaystyle p nbsp 3 p displaystyle p nbsp teilt die Zahl 10 p 1 1 displaystyle 10 p 1 1 nbsp das heisst 10 p 1 1 displaystyle 10 p 1 1 nbsp ist Vielfaches von p displaystyle p nbsp bzw es gilt 10 p 1 1 mod p displaystyle 10 p 1 equiv 1 pmod p nbsp Die 486 stellige zyklische Zahl die bei 487 entsteht ist bisher die einzige bekannte die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist Damit hat die Periode von 1 487 2 displaystyle tfrac 1 487 2 nbsp auch nur so viele Stellen wie die von 1 487 displaystyle tfrac 1 487 nbsp eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 487 236682 Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw Einsen Repunitzahl der Faktor 487 im Quadrat 4 Werte BearbeitenTriviale zyklische Zahlen sind alle einstelligen Zahlen n 1 displaystyle n 1 nbsp Die ersten nicht trivialen zyklischen Zahlen sind 142857 6 stellig erzeugt aus 1 7 0588235294117647 16 stellig erzeugt aus 1 17 052631578947368421 18 stellig erzeugt aus 1 19 0434782608695652173913 22 stellig erzeugt aus 1 23 0344827586206896551724137931 28 stellig erzeugt aus 1 29 Eigenschaften BearbeitenJede nicht triviale zyklische Zahl im Dezimalsystem ist durch 9 teilbar z B 142857 9 15873 Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen z B 142857 7 999999 Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen z B 142 857 999 und 14 28 57 99 Midy s Theorem 5 Dafur muss die Gruppenlange hinreichend gross sein Ist die Anzahl der Stellen durch eine Zahl beginnend bei 1 nicht teilbar so sind fur Aufteilungen in eine grossere Anzahl an Gruppen keine Neunen Folge mehr zu erwarten Emil Artin stellte im Jahr 1927 die Vermutung auf dass der Anteil der Generatorzahlen an der Menge aller Primzahlen gleich der Artin Konstante C 0 3739558136192 Folge A005596 in OEIS ist Diese ist uber die Lucas Zahlen mit der Primzetafunktion verknupft und bestimmbar Andere Zahlenbasen BearbeitenZyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist im Quaternarsystem Basis 4 2 oder im Hexadezimalsystem Basis 16 4 gibt es daher keine zyklischen Zahlen Beispiel Zur Zahlenbasis B 2 displaystyle B 2 nbsp ist fur p 11 displaystyle p 11 nbsp die Zahl z B p 1 1 p 2 10 1 11 1023 11 93 0001011101 2 displaystyle z frac B p 1 1 p frac 2 10 1 11 frac 1023 11 93 0001011101 2 nbsp eine zyklische Zahl Denn es ist 1 93 0001 2 0001011101 2 0001011101 2 2 93 0010 2 0001011101 2 0010111010 2 3 93 0011 2 0001011101 2 0100010111 2 4 93 0100 2 0001011101 2 0101110100 2 5 93 0101 2 0001011101 2 0111010001 2 6 93 0110 2 0001011101 2 1000101110 2 7 93 0111 2 0001011101 2 1010001011 2 8 93 1000 2 0001011101 2 1011101000 2 9 93 1001 2 0001011101 2 1101000101 2 10 93 1010 2 0001011101 2 1110100010 2 11 93 1011 2 0001011101 2 1111111111 2 displaystyle begin array rrrrr 1 cdot 93 amp amp 0001 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 0001011101 2 2 cdot 93 amp amp 0010 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 0010111010 2 3 cdot 93 amp amp 0011 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 0100010111 2 4 cdot 93 amp amp 0100 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 0101110100 2 5 cdot 93 amp amp 0101 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 0111010001 2 6 cdot 93 amp amp 0110 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 1000101110 2 7 cdot 93 amp amp 0111 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 1010001011 2 8 cdot 93 amp amp 1000 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 1011101000 2 9 cdot 93 amp amp 1001 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 1101000101 2 10 cdot 93 amp amp 1010 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 1110100010 2 11 cdot 93 amp amp 1011 2 cdot 0001011101 2 amp amp mathtt 1111111111 2 end array nbsp Deshalb wird die Primzahl p 11 displaystyle p 11 nbsp eine lange Primzahl im Dualsystem d h zur Basis B 2 displaystyle B 2 nbsp genannt In vielen Zahlenbasen kann man zyklische Zahlen z displaystyle z nbsp nach der Formel z B q 1 1 q displaystyle z frac B q 1 1 q nbsp mit der Zahlenbasis B displaystyle B nbsp und dem Teiler q displaystyle q nbsp darstellen sofern B displaystyle B nbsp und q displaystyle q nbsp 0 lt q lt B displaystyle 0 lt q lt B nbsp teilerfremd sind und die Modulzahl B displaystyle B nbsp modulo q displaystyle q nbsp nicht 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp oder grosser 3 displaystyle 3 nbsp sind Schone zyklische Zahlen enthalten jede Ziffer nur einmal Hier ist eine Tabelle aus jungster Zeit B 5 displaystyle B 5 nbsp q 3 displaystyle q 3 nbsp 13 B 7 displaystyle B 7 nbsp q 5 displaystyle q 5 nbsp 1254 B 8 displaystyle B 8 nbsp q 5 displaystyle q 5 nbsp 1463 B 10 displaystyle B 10 nbsp q 7 displaystyle q 7 nbsp 142857 B 12 displaystyle B 12 nbsp q 7 displaystyle q 7 nbsp 186A35 B 13 displaystyle B 13 nbsp q 11 displaystyle q 11 nbsp 12495BA837 B 20 displaystyle B 20 nbsp q 17 displaystyle q 17 nbsp 13ABF5HCIG984E27 B 22 displaystyle B 22 nbsp q 19 displaystyle q 19 nbsp 13A95H826KIBCG4DJF B 31 displaystyle B 31 nbsp q 29 displaystyle q 29 nbsp 248H36CPK9J7ETSQMDROI5ALBNG B 32 displaystyle B 32 nbsp q 29 displaystyle q 29 nbsp 139TPC4D7N5GHKUSM26JRIO8QFEB B 34 displaystyle B 34 nbsp q 31 displaystyle q 31 nbsp 139TKSHILVRE8QAWUO4D5GFC26JP7N B 39 displaystyle B 39 nbsp q 37 displaystyle q 37 nbsp 1248GXSHZWQDRFVO9IbaYUM5AL36CPBN7ETK B 46 displaystyle B 46 nbsp q 43 displaystyle q 43 nbsp 139SeThdQYAW4CcNORbKEigaH5G26JBZDfX7MLI8PV B 50 displaystyle B 50 nbsp q 47 displaystyle q 47 nbsp 139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH B 56 displaystyle B 56 nbsp q 53 displaystyle q 53 nbsp 139STWgEiL7MAVd5FlUZphHrnasqkRQNDfBYmXjOGoe8PK4Cc26J B 63 displaystyle B 63 nbsp q 61 displaystyle q 61 nbsp 1248GX36COna9IbBMjRtmY5AKfJdFUzywskTxuocDQriPpeHZ7ESvqgLhNlWDabei werden die Buchstaben A B C fur die Ziffernwerte 10 11 12 verwendet sowie a b c fur die Ziffernwerte 36 37 38 Siehe auch BearbeitenParasitare ZahlLiteratur BearbeitenManfred Scholtyssek Hexeneinmaleins 3 Auflage 1984 Kinderbuchverlag Berlin DDR Leonard E Dickson History of the Theory of Numbers Washington 1932 3 Bde Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Cyclic Number In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Endre Hodi Hrsg Mathematisches Mosaik Urania Leipzig 1977 Manfred Scholtyssek Hexeneinmaleins 3 Auflage 1984 Kinderbuchverlag Berlin DDR Eric W Weisstein Full Reptend Prime In MathWorld englisch Factorizations of 11 11 Repunit Memento vom 12 November 2013 im Internet Archive Eric W Weisstein Midy s Theorem In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zyklische Zahl amp oldid 222679125