Unter der Lucas Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge Einerseits die Folge der Lucas Zahlen 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349 15127 Folge A000032 in OEIS dd bei der jedes Folgenglied ab dem dritten die Summe der beiden vorhergehenden ist Andererseits die beiden allgemeinen Lucas Folgen U n P Q displaystyle U n P Q und V n P Q displaystyle V n P Q die abhangig von den Parametern P displaystyle P und Q displaystyle Q als diejenigen Folgen definiert sind dieU 0 0 U 1 1 displaystyle U 0 0 quad U 1 1 bzw V 0 2 V 1 P displaystyle V 0 2 quad V 1 P dd erfullen und den RekursionsformelnU n P U n 1 Q U n 2 displaystyle U n PU n 1 QU n 2 bzw V n P V n 1 Q V n 2 displaystyle V n PV n 1 QV n 2 dd fur n gt 1 displaystyle n gt 1 genugen Die Lucas Folgen sind nach dem franzosischen Mathematiker Edouard Lucas benannt der sich als erster mit ihnen beschaftigt hat Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Explizite Formeln 2 1 Vorbereitung 2 2 Die allgemeinen Lucas Folgen 3 Beziehungen zwischen den Folgegliedern 4 Spezialfalle 5 Die allgemeinen Lucas Folgen U P Q V P Q und die Primzahlen 5 1 Die Folgen U P Q 5 2 Die Folgen V P Q 6 Die spezielle Lucas Folge 6 1 Reziproke Reihe 6 2 Lucas Primzahlen 7 Zusammenhang zur Artinschen Konstante 8 Siehe auch 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenSei P 1 displaystyle P 1 nbsp und Q 1 displaystyle Q 1 nbsp Dann ist U n P Q U n 1 1 displaystyle U n P Q U n 1 1 nbsp die folgende Folge U 0 0 U 1 1 displaystyle U 0 0 U 1 1 nbsp U 2 P U 1 Q U 0 1 1 1 0 1 displaystyle U 2 PU 1 QU 0 1 cdot 1 1 cdot 0 1 nbsp U 3 P U 2 Q U 1 1 1 1 1 2 displaystyle U 3 PU 2 QU 1 1 cdot 1 1 cdot 1 2 nbsp U 4 P U 3 Q U 2 1 2 1 1 3 displaystyle U 4 PU 3 QU 2 1 cdot 2 1 cdot 1 3 nbsp U 5 P U 4 Q U 3 1 3 1 2 5 displaystyle U 5 PU 4 QU 3 1 cdot 3 1 cdot 2 5 ldots nbsp dd Kurz geschrieben erhalt man die Fibonacci Folge 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 Folge A000045 in OEIS dd Sei P 1 displaystyle P 1 nbsp und Q 1 displaystyle Q 1 nbsp Dann ist V n P Q V n 1 1 displaystyle V n P Q V n 1 1 nbsp die folgende Folge V 0 2 V 1 P 1 displaystyle V 0 2 V 1 P 1 nbsp V 2 P V 1 Q V 0 1 1 1 2 3 displaystyle V 2 PV 1 QV 0 1 cdot 1 1 cdot 2 3 nbsp V 3 P V 2 Q V 1 1 3 1 1 4 displaystyle V 3 PV 2 QV 1 1 cdot 3 1 cdot 1 4 nbsp V 4 P V 3 Q V 2 1 4 1 3 7 displaystyle V 4 PV 3 QV 2 1 cdot 4 1 cdot 3 7 nbsp V 5 P V 4 Q V 3 1 7 1 4 11 displaystyle V 5 PV 4 QV 3 1 cdot 7 1 cdot 4 11 ldots nbsp dd Kurz geschrieben erhalt man eine Folge die man ebenfalls kurz spezielle Lucas Folge oder noch einfacher nur Lucas Folge nennt namlich 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349 15127 24476 39603 64079 103682 Folge A000032 in OEIS dd Die einzelnen Zahlen dieser Folge nennt man Lucas Zahlen auf die weiter unten naher eingegangen wird In einer Tabelle zusammengefasst erhalt man fur gewisse Startwerte fur P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp die Tabelle im Abschnitt Spezialfalle Explizite Formeln BearbeitenVorbereitung Bearbeiten Zur Bestimmung der Folgenglieder der allgemeinen Lucas Folge muss vorbereitend die zugeordnete quadratische Gleichung gelost werden Fur die expliziten Formeln werden die beiden Losungen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp der quadratischen Gleichung x 2 P x Q 0 displaystyle x 2 Px Q 0 nbsp benotigt Es sind dies a P 2 P 2 4 Q P P 2 4 Q 2 displaystyle a frac P 2 sqrt frac P 2 4 Q frac P sqrt P 2 4Q 2 nbsp und b P 2 P 2 4 Q P P 2 4 Q 2 displaystyle b frac P 2 sqrt frac P 2 4 Q frac P sqrt P 2 4Q 2 nbsp Ist P 2 4 Q lt 0 displaystyle P 2 4Q lt 0 nbsp so ist eine der beiden komplexen Wurzeln zu wahlen Welche der beiden Zahlen a displaystyle a nbsp und welche b displaystyle b nbsp genannt wird ist hierbei nicht von Belang Die Parameter P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp und die Werte a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sind voneinander abhangig es gilt umgekehrt P a b Q a b displaystyle P a b quad Q a cdot b nbsp Satz von Vieta Die Formeln fur a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp lassen sich in Bezug auf die Potenzen verallgemeinern Und zwar gilt a n V n U n P 2 4 Q 2 displaystyle a n frac V n U n sqrt P 2 4Q 2 nbsp b n V n U n P 2 4 Q 2 displaystyle b n frac V n U n sqrt P 2 4Q 2 nbsp Die allgemeinen Lucas Folgen Bearbeiten Falls P 2 4 Q 0 displaystyle P 2 4Q neq 0 nbsp gilt oder aquivalent dazu falls die Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp verschieden sind so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas Folge U n P Q displaystyle U n P Q nbsp nach folgender Formel U n P Q a n b n a b displaystyle U n P Q frac a n b n a b nbsp fur alle n 0 displaystyle n geq 0 nbsp Im Spezialfall P 2 4 Q 0 displaystyle P 2 4Q 0 nbsp gilt stattdessen U n P Q n a n 1 n P 2 n 1 displaystyle U n P Q na n 1 n left frac P 2 right n 1 nbsp Das Glied der allgemeinen Lucas Folge V n P Q displaystyle V n P Q nbsp berechnet sich nach folgender Formel V n P Q a n b n displaystyle V n P Q a n b n nbsp fur alle n 0 displaystyle n geq 0 nbsp Beziehungen zwischen den Folgegliedern BearbeitenEine Auswahl der Beziehungen zwischen den Folgengliedern ist 1 U 2 n U n V n displaystyle U 2n U n cdot V n nbsp V n U n 1 Q U n 1 displaystyle V n U n 1 QU n 1 nbsp V 2 n V n 2 2 Q n displaystyle V 2n V n 2 2Q n nbsp ggT U m U n U ggT m n displaystyle operatorname ggT U m U n U operatorname ggT m n nbsp falls ggT P Q 1 displaystyle operatorname ggT P Q 1 nbsp m n U m U n displaystyle m mid n implies U m mid U n nbsp fur alle U m 1 displaystyle U m neq 1 nbsp Spezialfalle BearbeitenEs folgen ein paar Spezialfalle die zu Folgen fuhren die in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen und deswegen sogar eigene Namen haben P displaystyle P nbsp Q displaystyle Q nbsp a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp U P Q displaystyle U P Q nbsp V P Q displaystyle V P Q nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 5 2 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 nbsp 1 5 2 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 nbsp 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 displaystyle 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 ldots nbsp Folge A000045 in OEIS Fibonacci Folge 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 displaystyle 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 ldots nbsp Folge A000032 in OEIS spezielle Lucas Folge 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 displaystyle 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 ldots nbsp Folge A001045 in OEIS Jacobsthal Folge 2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 displaystyle 2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 ldots nbsp Folge A014551 in OEIS Jacobsthal Lucas Folge 2 displaystyle 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 nbsp 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 nbsp 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 displaystyle 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 ldots nbsp Folge A000129 in OEIS Pell Folge 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 displaystyle 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 ldots nbsp Folge A002203 in OEIS Companion Pell Folge Pell Lucas Folge 3 displaystyle 3 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 3 7 15 31 63 127 255 511 displaystyle 0 1 3 7 15 31 63 127 255 511 ldots nbsp Folge A000225 in OEIS Mersenne Zahl Folge 2 3 5 9 17 33 65 129 257 513 displaystyle 2 3 5 9 17 33 65 129 257 513 ldots nbsp Folge A000051 in OEIS Zahlen der Form 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp enthalten die Fermat Zahlen A displaystyle A nbsp 1 displaystyle 1 nbsp A A 2 4 2 displaystyle frac A sqrt A 2 4 2 nbsp A A 2 4 2 displaystyle frac A sqrt A 2 4 2 nbsp Fibonacci Polynome Lucas Polynome2 A displaystyle 2A nbsp 1 displaystyle 1 nbsp A A 2 1 displaystyle A sqrt A 2 1 nbsp A A 2 1 displaystyle A sqrt A 2 1 nbsp Tschebyschow Polynome zweiter Art Tschebyschow Polynome erster Art mit 2 displaystyle 2 nbsp multipliziertA 1 displaystyle A 1 nbsp A displaystyle A nbsp A displaystyle A nbsp 1 displaystyle 1 nbsp a i 1 a i 1 A displaystyle a i 1 a i 1 cdot A nbsp mit a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp Repunits zur Basis A A n 1 displaystyle A n 1 nbsp FolgeEs gibt aber auch viele weitere Spezialfalle die zu Folgen fuhren die einen OEIS Eintrag haben und somit in der Mathematik ebenfalls eine gewisse Rolle spielen Es folgen ein paar Beispiele P displaystyle P nbsp Q displaystyle Q nbsp a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp U P Q displaystyle U P Q nbsp V P Q displaystyle V P Q nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 displaystyle 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 ldots nbsp Folge A128834 in OEIS 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 displaystyle 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ldots nbsp Folge A087204 in OEIS 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 1 1 3 1 5 7 3 17 displaystyle 0 1 1 1 3 1 5 7 3 17 ldots nbsp Folge A107920 in OEIS 2 1 3 5 1 11 9 13 31 5 displaystyle 2 1 3 5 1 11 9 13 31 5 ldots nbsp Folge A002249 in OEIS 2 displaystyle 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 displaystyle 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ldots nbsp Folge A001477 in OEIS 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 displaystyle 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ldots nbsp Folge A007395 in OEIS 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 2 2 0 4 8 8 0 16 displaystyle 0 1 2 2 0 4 8 8 0 16 ldots nbsp Folge A009545 in OEIS 2 2 0 4 8 8 0 16 32 32 displaystyle 2 2 0 4 8 8 0 16 32 32 ldots nbsp Folge A009545 in OEIS 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 0 1 2 1 4 11 10 13 56 73 displaystyle 0 1 2 1 4 11 10 13 56 73 ldots nbsp Folge A088137 in OEIS 2 2 2 10 14 2 46 86 34 190 displaystyle 2 2 2 10 14 2 46 86 34 190 ldots nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 0 1 2 0 8 16 0 64 128 0 displaystyle 0 1 2 0 8 16 0 64 128 0 ldots nbsp Folge A088138 in OEIS 2 2 4 16 16 32 128 128 256 1024 displaystyle 2 2 4 16 16 32 128 128 256 1024 ldots nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 1 2 1 12 19 22 139 168 359 displaystyle 0 1 2 1 12 19 22 139 168 359 ldots nbsp Folge A045873 in OEIS 2 2 6 22 14 82 234 58 1054 2398 displaystyle 2 2 6 22 14 82 234 58 1054 2398 ldots nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 3 19 87 451 2223 11179 55767 279091 displaystyle 0 1 3 19 87 451 2223 11179 55767 279091 ldots nbsp Folge A015528 in OEIS 2 3 29 117 641 3093 15689 77997 390881 1952613 displaystyle 2 3 29 117 641 3093 15689 77997 390881 1952613 ldots nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 1 3 14 57 241 1008 4229 17727 74326 displaystyle 0 1 3 14 57 241 1008 4229 17727 74326 ldots nbsp Folge A015523 in OEIS 2 3 19 72 311 1293 5434 22767 95471 400248 displaystyle 2 3 19 72 311 1293 5434 22767 95471 400248 ldots nbsp Folge A072263 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 3 13 51 205 819 3277 13107 52429 displaystyle 0 1 3 13 51 205 819 3277 13107 52429 ldots nbsp Folge A015521 in OEIS 2 3 17 63 257 1023 4097 16383 65537 262143 displaystyle 2 3 17 63 257 1023 4097 16383 65537 262143 ldots nbsp Folge A201455 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 0 1 3 12 45 171 648 2457 9315 35316 displaystyle 0 1 3 12 45 171 648 2457 9315 35316 ldots nbsp Folge A030195 in OEIS 2 3 15 54 207 783 2970 11259 42687 161838 displaystyle 2 3 15 54 207 783 2970 11259 42687 161838 ldots nbsp Folge A172012 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 3 11 39 139 495 1763 6279 22363 displaystyle 0 1 3 11 39 139 495 1763 6279 22363 ldots nbsp Folge A007482 in OEIS 2 3 13 45 161 573 2041 7269 25889 92205 displaystyle 2 3 13 45 161 573 2041 7269 25889 92205 ldots nbsp Folge A206776 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 displaystyle 0 1 3 10 33 109 360 1189 3927 12970 ldots nbsp Folge A006190 in OEIS 2 3 11 36 119 393 1298 4287 14159 46764 displaystyle 2 3 11 36 119 393 1298 4287 14159 46764 ldots nbsp Folge A006497 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 3 8 21 55 144 377 987 2584 displaystyle 0 1 3 8 21 55 144 377 987 2584 ldots nbsp Folge A001906 in OEIS 2 3 7 18 47 123 322 843 2207 5778 displaystyle 2 3 7 18 47 123 322 843 2207 5778 ldots nbsp Folge A005248 in OEIS 3 displaystyle 3 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 1 3 4 3 29 72 71 147 796 displaystyle 0 1 3 4 3 29 72 71 147 796 ldots nbsp Folge A0190959 in OEIS 2 3 1 18 49 57 74 507 1151 918 displaystyle 2 3 1 18 49 57 74 507 1151 918 ldots nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 4 21 104 521 2604 13021 65104 325521 displaystyle 0 1 4 21 104 521 2604 13021 65104 325521 ldots nbsp Folge A015531 in OEIS 2 4 26 124 626 3124 15626 78124 390626 1953124 displaystyle 2 4 26 124 626 3124 15626 78124 390626 1953124 ldots nbsp Folge A087404 in OEIS 4 displaystyle 4 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 0 1 4 19 88 409 1900 8827 41008 190513 displaystyle 0 1 4 19 88 409 1900 8827 41008 190513 ldots nbsp Folge A015530 in OEIS 2 4 22 100 466 2164 10054 46708 216994 1008100 displaystyle 2 4 22 100 466 2164 10054 46708 216994 1008100 ldots nbsp Folge A080042 in OEIS 4 displaystyle 4 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 4 18 80 356 1584 7048 31360 139536 displaystyle 0 1 4 18 80 356 1584 7048 31360 139536 ldots nbsp Folge A090017 in OEIS 2 4 20 88 392 1744 7760 34528 153632 683584 displaystyle 2 4 20 88 392 1744 7760 34528 153632 683584 ldots nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 displaystyle 0 1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 ldots nbsp Folge A001076 in OEIS 2 4 18 76 322 1364 5778 24476 103682 439204 displaystyle 2 4 18 76 322 1364 5778 24476 103682 439204 ldots nbsp Folge A014448 in OEIS 4 displaystyle 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 4 15 56 209 780 2911 10864 40545 displaystyle 0 1 4 15 56 209 780 2911 10864 40545 ldots nbsp Folge A001353 in OEIS 2 4 14 52 194 724 2702 10084 37634 140452 displaystyle 2 4 14 52 194 724 2702 10084 37634 140452 ldots nbsp Folge A003500 in OEIS 4 displaystyle 4 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 4 14 48 164 560 1912 6528 22288 displaystyle 0 1 4 14 48 164 560 1912 6528 22288 ldots nbsp Folge A007070 in OEIS 2 4 12 40 136 464 1584 5408 18464 63040 displaystyle 2 4 12 40 136 464 1584 5408 18464 63040 ldots nbsp Folge A056236 in OEIS 4 displaystyle 4 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 4 13 40 121 364 1093 3280 9841 displaystyle 0 1 4 13 40 121 364 1093 3280 9841 ldots nbsp Folge A003462 in OEIS 2 4 10 28 82 244 730 2188 6562 19684 displaystyle 2 4 10 28 82 244 730 2188 6562 19684 ldots nbsp Folge A034472 in OEIS 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 4 12 32 80 192 448 1024 2304 displaystyle 0 1 4 12 32 80 192 448 1024 2304 ldots nbsp Folge A001787 in OEIS 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 displaystyle 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ldots nbsp Folge A000079 in OEIS 5 displaystyle 5 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 5 31 185 1111 6665 39991 239945 1439671 displaystyle 0 1 5 31 185 1111 6665 39991 239945 1439671 ldots nbsp Folge A015540 in OEIS 2 5 37 215 1297 7775 46657 279935 1679617 10077695 displaystyle 2 5 37 215 1297 7775 46657 279935 1679617 10077695 ldots nbsp Folge A0274074 in OEIS 5 displaystyle 5 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 0 1 5 28 155 859 4760 26377 146165 809956 displaystyle 0 1 5 28 155 859 4760 26377 146165 809956 ldots nbsp Folge A015536 in OEIS 2 5 31 170 943 5225 28954 160445 889087 4926770 displaystyle 2 5 31 170 943 5225 28954 160445 889087 4926770 ldots nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 0 1 5 27 145 779 4185 22483 120785 648891 displaystyle 0 1 5 27 145 779 4185 22483 120785 648891 ldots nbsp Folge A015535 in OEIS 2 5 29 155 833 4475 24041 129155 693857 3727595 displaystyle 2 5 29 155 833 4475 24041 129155 693857 3727595 ldots nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 5 26 135 701 3640 18901 98145 509626 displaystyle 0 1 5 26 135 701 3640 18901 98145 509626 ldots nbsp Folge A052918 in OEIS 2 5 27 140 727 3775 19602 101785 528527 2744420 displaystyle 2 5 27 140 727 3775 19602 101785 528527 2744420 ldots nbsp Folge A087130 in OEIS 5 displaystyle 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 5 24 115 551 2640 12649 60605 290376 displaystyle 0 1 5 24 115 551 2640 12649 60605 290376 ldots nbsp Folge A004254 in OEIS 2 5 23 110 527 2525 12098 57965 277727 1330670 displaystyle 2 5 23 110 527 2525 12098 57965 277727 1330670 ldots nbsp Folge A003501 in OEIS 5 displaystyle 5 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 87381 displaystyle 0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 87381 ldots nbsp Folge A002450 in OEIS 2 5 17 65 257 1025 4097 16385 65537 262145 displaystyle 2 5 17 65 257 1025 4097 16385 65537 262145 ldots nbsp Folge A052539 in OEIS 8 displaystyle 8 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 9 displaystyle 9 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 0 1 8 73 656 5905 53144 478297 4304672 38742049 displaystyle 0 1 8 73 656 5905 53144 478297 4304672 38742049 ldots nbsp Folge A015577 in OEIS 2 8 82 728 6562 59048 531442 4782968 43046722 387420488 displaystyle 2 8 82 728 6562 59048 531442 4782968 43046722 387420488 ldots nbsp Die allgemeinen Lucas Folgen U P Q V P Q und die Primzahlen BearbeitenDie allgemeinen Lucas Folgen U P Q displaystyle U P Q nbsp und V P Q displaystyle V P Q nbsp haben fur ganzzahlige Parameter P displaystyle P nbsp und Q displaystyle Q nbsp eine spezielle Eigenschaft hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen Diese Eigenschaft wurde fur Verfahren zur Bestimmung der Primalitat einer Zahl angewandt siehe auch Lucas Lehmer Test 2 Die Folgen U P Q Bearbeiten Fur alle Lucas Folgen U n P Q a n b n a b displaystyle U n P Q frac a n b n a b nbsp gilt Ist p eine Primzahl so ist U p P Q D p displaystyle U p P Q left frac D p right nbsp durch p teilbar Dabei ist D p displaystyle left frac D p right nbsp das Legendre Symbol Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen die diese Bedingung erfullen Diese Zahlen nennt man Lucas Pseudoprimzahlen Die Folgen V P Q Bearbeiten Fur alle Lucas Folgen V n P Q a n b n displaystyle V n P Q a n b n nbsp gilt Ist p eine Primzahl so ist V p P Q P displaystyle V p P Q P nbsp durch p displaystyle p nbsp teilbar Eine zusammengesetzte Zahl die diese Bedingung im Fall von P gt 0 displaystyle P gt 0 nbsp und Q 1 displaystyle Q pm 1 nbsp erfullt heisst Fibonacci Pseudoprimzahl Besonders interessant ist die Teilbarkeitsbedingung fur die Folge V n 3 2 a n b n 2 n 1 displaystyle V n 3 2 a n b n 2 n 1 nbsp Fur diese Folge gilt namlich Wenn n displaystyle n nbsp eine Primzahl ist dann gilt n displaystyle n nbsp teilt 2 n 1 3 2 n 2 displaystyle 2 n 1 3 2 n 2 nbsp Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz Analog zu a p a mod p displaystyle a p equiv a mod p nbsp gilt hier V p a 1 a V 1 a 1 a mod p displaystyle V p a 1 a equiv V 1 a 1 a mod p nbsp Die spezielle Lucas Folge BearbeitenDie allgemein als Lucas Folge bekannte Folge L n displaystyle L n nbsp der Lucas Zahlen 2 1 3 4 7 11 18 29 lasst sich ausser durch die Rekursion L n L n 1 L n 2 displaystyle L n L n 1 L n 2 nbsp mit den Anfangswerten L 0 2 displaystyle L 0 2 nbsp und L 1 1 displaystyle L 1 1 nbsp auch wie folgt erzeugen Wie im allgemeinen Fall fur die Folgen V n displaystyle V n nbsp erwahnt uber die Formel von Binet nach Jacques Philippe Marie Binet L n 1 5 2 n 1 5 2 n displaystyle L n left frac 1 sqrt 5 2 right n left frac 1 sqrt 5 2 right n nbsp da a 1 5 2 displaystyle a frac 1 sqrt 5 2 nbsp und b 1 5 2 displaystyle b frac 1 sqrt 5 2 nbsp gilt a ist ubrigens die goldene Zahl F displaystyle Phi nbsp Eine andere rekursive Formel mit Gaussklammer L n 1 L n 1 5 1 2 displaystyle L n 1 left lfloor frac L n 1 sqrt 5 1 2 right rfloor nbsp Als Summe zweier Glieder der Fibonacci Folge L n f n 1 f n 1 displaystyle L n f n 1 f n 1 nbsp Nach 1 lasst sich alternativ auch L n F n 1 F n displaystyle L n Phi n 1 Phi n nbsp schreiben Da fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp der Betrag von 1 F n displaystyle 1 Phi n nbsp stets kleiner 0 5 ist ergibt sich die Eigenschaft dass die n displaystyle n nbsp te n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp Lucaszahl dem gerundeten Wert der Golden Zahl zur Potenz n displaystyle n nbsp entspricht L n F n 1 2 displaystyle L n left lfloor Phi n frac 1 2 right rfloor nbsp Reziproke Reihe Bearbeiten Der Grenzwert der absolut konvergierenden reziproken Reihe spezieller Lucas Zahlen n 0 1 L 2 n displaystyle sum n 0 infty frac 1 L 2 n nbsp ist irrational 3 Lucas Primzahlen Bearbeiten Eine Lucas Primzahl ist eine Lucas Zahl die prim ist Die kleinsten Lucas Primzahlen lauten 2 3 7 11 29 47 199 521 2207 3571 9349 3010349 54018521 370248451 6643838879 119218851371 5600748293801 688846502588399 32361122672259149 412670427844921037470771 Folge A005479 in OEIS Fur diese Lucas Primzahlen ist der Index n displaystyle n nbsp von L n displaystyle L n nbsp der folgende 0 2 4 5 7 8 11 13 16 17 19 31 37 41 47 53 61 71 79 113 313 353 503 613 617 863 1097 1361 4787 4793 5851 7741 8467 10691 12251 13963 14449 19469 35449 36779 44507 51169 56003 81671 89849 94823 140057 148091 159521 183089 193201 202667 344293 387433 443609 532277 574219 616787 631181 637751 651821 692147 901657 1051849 Folge A001606 in OEIS Beispiel Es ist L 6 18 displaystyle L 6 18 nbsp und L 5 11 displaystyle L 5 11 nbsp Somit ist L 7 L 6 L 5 18 11 29 P displaystyle L 7 L 6 L 5 18 11 29 in mathbb P nbsp eine Primzahl Tatsachlich taucht der Index n 7 displaystyle n 7 nbsp in obiger Liste an der 5 Stelle auf weil er zur funftkleinsten Lucas Primzahl L 7 29 displaystyle L 7 29 nbsp fuhrt dd dd Es gelten folgende zwei Eigenschaften fur Lucas Primzahlen Wenn L n displaystyle L n nbsp eine Primzahl ist dann ist der Index n displaystyle n nbsp entweder gleich 0 displaystyle 0 nbsp oder eine selbst Primzahl oder eine Zweierpotenz 4 L 2 m displaystyle L 2 m nbsp ist eine Primzahl fur m 1 2 3 4 displaystyle m in 1 2 3 4 nbsp Fur keine anderen bekannten Werte von m displaystyle m nbsp erhalt man weitere Primzahlen Es wird vermutet dass es unendlich viele Lucas Primzahlen gibt 4 Zusammenhang zur Artinschen Konstante BearbeitenDie Artinsche Konstante benannt nach Emil Artin ist definiert durch C A r t i n p Primzahl 1 1 p p 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 5 4 0 373 9558136 displaystyle C mathrm Artin prod p text Primzahl left 1 frac 1 p p 1 right left 1 frac 1 2 cdot 1 right left 1 frac 1 3 cdot 2 right left 1 frac 1 5 cdot 4 right cdots 0 3739558136 ldots nbsp Dabei bezeichnet displaystyle textstyle prod nbsp das Produktsymbol wobei sich das Produkt uber alle Primzahlen erstreckt Die Konstante C A r t i n displaystyle C mathrm Artin nbsp taucht in einer tiefen Vermutung von Artin uber die asymptotische Dichte von Primzahlen die Primitivwurzeln zu einer gegebenen Zahl sind auf 5 Eine Primitivwurzel zu einer Primzahl p displaystyle p nbsp ist eine ganze Zahl deren Potenzen bis auf Vielfache von p displaystyle p nbsp alle Zahlen zwischen 1 n p 1 displaystyle 1 leq n leq p 1 nbsp erzeugen konnen Zum Beispiel ist 3 displaystyle 3 nbsp eine Primitivwurzel bezuglich p 5 displaystyle p 5 nbsp denn die ersten echten Potenzen der 3 displaystyle 3 nbsp sind 3 9 27 81 displaystyle 3 9 27 81 nbsp und bis auf Vielfache von 5 displaystyle 5 nbsp entspricht dies den Zahlen 3 4 2 1 displaystyle 3 4 2 1 nbsp Die Artinsche Vermutung besagt grob gesprochen dass zu festem a displaystyle a nbsp die Menge der Primzahlen so dass a displaystyle a nbsp eine Primitivwurzel zu p displaystyle p nbsp ist die asymptotische Dichte C A r t i n displaystyle C mathrm Artin nbsp innerhalb aller Primzahlen hat Also haben ca 37 der Primzahlen diese Eigenschaft unabhangig von a displaystyle a nbsp Jedoch muss a displaystyle a nbsp dafur bestimmte Voraussetzungen erfullen Bezeichnet L n displaystyle L n nbsp die n displaystyle n nbsp te Lucas Zahl so gilt die Formel C A r t i n n 2 z n 1 n k n L k m n k 1 z 2 z 3 z 4 z 5 2 z 6 2 z 7 4 z 8 5 z 9 8 displaystyle C mathrm Artin prod n 2 infty zeta n frac 1 n sum k n L k mu left frac n k right frac 1 zeta 2 zeta 3 zeta 4 zeta 5 2 zeta 6 2 zeta 7 4 zeta 8 5 zeta 9 8 cdots nbsp Dabei bedeutet k n displaystyle k n nbsp in der Summe dass k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp die Zahl n displaystyle n nbsp teilt und es ist m displaystyle mu nbsp die Mobiusfunktion sowie z displaystyle zeta nbsp die Riemannsche Zeta Funktion 6 Siehe auch Bearbeitenlineare DifferenzengleichungLiteratur BearbeitenPaulo Ribenboim Die Welt der Primzahlen Springer Verlag 1996Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Lucas Number In MathWorld englisch Eric W Weisstein Lucas Sequence In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Siehe Ribenboim Die Welt der Primzahlen S 44 70 Siehe das schon angegebene Kapitel im Buch von Ribenboim Paulo Ribenboim Meine Zahlen meine Freunde Glanzlichter der Zahlentheorie Springer Lehrbuch 2009 ISBN 978 3 540 87955 8 S 323 a b Chris K Caldwell Lucas prime Prime Pages abgerufen am 1 Marz 2020 englisch S R Finch Mathematical Constants Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94 Cambridge University Press 2003 S 104 S R Finch Mathematical Constants Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94 Cambridge University Press 2003 S 105 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lucas Folge amp oldid 227751911
